a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

• 2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているかと言えば、
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/10 09:21

• 質問3,
  2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているか
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/11 04:58

• 2025.1.10 18:34にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」を以下の様に編集します。
  
  2025.1.5 12:16にありものがたり様から頂いた解答の
  
  >> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  より、
  
  mtrajcp様もありものがたり様も
  質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/14 20:13

• 質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答を基に、
  
  n≧-1のとき
  z≠π/2のとき
  g(z)=(z-π/2)tan(z)　
  ↓両辺を(n-1)回微分すると
  ...
  ↓z→π/2　とすると
  g^(n-1)(π/2)/(n-1)!={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  ∴
  a(n)
  =g^(n-1)(π/2)/(n-1)!
  ={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  とする事で、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのかわかりました。
  
  質問8,9に関して答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/21 19:51

• 質問10,
  
  2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  ...
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  や
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >> 質問4
  
  展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
  ...
  
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、
  
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の画像より、
  正しくはg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではないでしょうか？

    補足日時：2025/01/22 03:09

• 質問11,
  
  2025.1.15 20:11に頂いた解答の
  
  >> 質問1
  「
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  」
  の
  式は間違っている
  
  ...c(-1)　にならないから
  間違っているから
  
  
  に関して、
  
  右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)
  
  になるから　c(-1)　にならないから
  
  との事ですが、
  c(-1)となる様に、
  右辺でk=0で、n=-1として、
  
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)
  
  となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/22 10:28

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/04 19:49

＞ 質問文中の指示の「方法」のやり方から

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めたと言う事でしょうか？
＞ 質問文中の指示の「方法」は正しかったと言う事でしょうか？

そやないって、No.6 に書きおるやろ。
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順として正しい。
質問にも「tan(z)の留数(residue)を求めるために、g(z)をテイラー展開します」
て書いてあるしな。

下のほうで「指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて」
て言ってることが間違いだ...ということも No.6 に書いた。
No.1 No.4 No.5 No.7 は、その一点だけをツッコむにしては
長すぎるし、くどすぎる。あほちゃうかと。

＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0が
＞ どこから出て来て何を表しているのかわかりません。

式自体は、教科書にも載ってる公式 (d/dx) x^k = k x^(k-1) を
繰り返し使うだけ。

何を表しているかと言えば、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること
を説明したかった。伝わらなかったのは残念だが、
あそこでああ書かれてピンと来ない相手に
ローラン展開だの留数だのを説明するのは無理ゲーって気もする。

この回答へのお礼

質問文中の「方法」は、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を求める手順としてはありものがたり様やmtrajcp様のやり方のどちらも正しいと言う事でしょうか？

要はmtrajcp様のやり方でも正しいg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を求められますが、
mtrajcp様のやり方は質問文中の様な
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開して、
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出して、
取り出した係数を(n-1)!で割ってg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を求めるやり方はしていない為、
質問文中の「方法」に従っていないと言う事を伝えたかったのでしょうか？

申し訳ありません。
混乱して「何」が間違っているのかがわかりません。
何が間違っているかをわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2025/01/04 21:58

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/04 16:45

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は0であることを求めるためには

g(z)がz=π/2で正則であることをいえばよいのです
lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z)=-1
だから
g(π/2)=-1とすれば
g(z)はz=π/2で正則
コーシーの積分定理から
正則関数の積分は
0
だから
g(z)の
z=π/2における
留数
Res(g,π/2)={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](z-π/2)tan(z)dz=0
∴
g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2での留数は0である
---------------------------------------------------
tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開を
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
とすると
a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](tan(z)/(z-π/2)^{n+1})dz
だから
tan(z)/(z-π/2)^{n+1}のz=π/2での留数は
tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn次係数に一致する

n≦-2のときa(n)=0
n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]
だから

(z-π/2)tan(z)のz=π/2でのテイラー展開のn+1次係数
と
tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn次係数
と
tan(z)/(z-π/2)^{n+1}のz=π/2での留数
は
一致する

n≧-1のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)[(z-π/2)tan(z)]
の
nをn-2に置き換えると
n-2≧-1
n≧1 のとき
a(n-2)={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1)[(z-π/2)tan(z)]
だから

(z-π/2)tan(z)のz=π/2でのテイラー展開のn-1次係数
と
tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn-2次係数
と
tan(z)/(z-π/2)^{n-1}のz=π/2での留数
は
一致するから

n≧1のとき
tan(z)/(z-π/2)^{n-1}のz=π/2での留数
を求めるため
(z-π/2)tan(z)のz=π/2でのテイラー展開のn-1次係数
{1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1)[(z-π/2)tan(z)]
を求めるため
(z-π/2)tan(z)を(n-1)回微分すると
n-1次係数は0次定数項になり
z→π/2として
(n-1)!で割ると
{1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1)[(z-π/2)tan(z)]
が求まるから
tan(z)/(z-π/2)^{n-1}のz=π/2での留数
が求まる

から
質問文中の「方法」は間違いです

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/04 10:07

「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを

書かないから、話が食い違うんですよ。
「指示に従い g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求める」という説明は
「方法」の内容と異なっています。

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める方法：
g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開して
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... となることから、
tan z の z=π/2 を中心とするローラン展開は
tan z = -1/(z-π/2) + 1/3 + ... です。
この式から留数 -1 を取り出すには
lim[z→π/2] g(z) = -1 を計算すればよいです。

Res[ tan z, z=π/2 ] の例では、
ｚ=π/2 が tan z の 1 位の極なので
n が果たしている役割が見えにくくなっています。
n=1 と置いて、
tan z の n 位の極 z=π/2 に対して
g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開すると
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... 。
g(z) を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) g(z) = { (n-1)(n-2)…1 }(-1) + { { (n-1)(n-2)…2 }(1/3)(z-π/2)^2 + ...
とすると、目的の留数 -1 が級数の定数項に移動するので、
z→π/2 の極限をとれば
lim[z→π/2] (d/dz)^(n-1) g(z) = { (n-1)(n-2)…1 }(-1) 。
両辺を (n-1)！ で割ると
{ 1/(n-1)！ } lim[z→π/2] (d/dz)^(n-1) g(z) = (-1) 。
質問文中の「方法」のとおりです。

(n-1)！ で割るのは、
tan z のローラン展開の項 (留数)/(z-π/2) に由来する
g(z) の項 (留数)・(z-π/2)^(n-1) が
n-1 回微分したときに
(d/dz)^(n-1) g(z) の項 (留数)・{ (n-1)(n-2)…1 }(z-π/2)^0 になって、
{ (n-1)(n-2)…1 } が掛かっているからですね。

(d/dx)^m x^m = (m！)x^0 であることは、解りますか？

この回答へのお礼

mtrajcp様は教えて頂いた質問文中の指示の「方法」は間違いと言っていますが、
ありものがたり様は質問文中の指示の「方法」のやり方からg(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めたと言う事でしょうか？

仮にそうならば、mtrajcp様の質問文中の指示の「方法」は間違いと言う考えは間違えであり、
教えて頂いた質問文中の指示の「方法」は正しかったと言う事でしょうか？

>> (d/dx)^m x^m = (m！)x^0 であることは、解りますか？

申し訳ありません。
(d/dx)^m x^m = (m！)x^0がどこから出て来て何を表しているのかわかりません。

お礼日時：2025/01/04 19:02

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/04 04:51

正則でなければテイラー展開できないのだから

テイラー展開できる関数は正則だから
正則関数の留数は
0
となるのだから
留数を求めるために、
g(z)をテイラー展開するというのは間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではないので、テイラー展開するというのは間違いではないと思うのですが、

mtrajcp様の仰るg(z)はg(z)=(z-π/2)tan(z)ではないのでしょうか？

mtrajcp様の仰るg(z)がg(z)=(z-π/2)tan(z)ではないならば、どんなg(z)の式なのかどうか教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 11:03

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/04 04:04

g(z)に対し

z=aが孤立特異点であるとき
g(z)の
z=aにおける
留数Res(g,a)が
Res(g,a)={1/(2πi)}∫[|z-a|=r]g(z)dz
と定義されるのです

g(z)=(z-π/2)tan(z)
は
z=π/2で正則なので
z=π/2は特異点ではないし
g(z)のz=π/2での留数は

コーシーの積分定理から
正則関数の積分は
0
だから

Res(g,π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r]g(z)dz
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](z-π/2)tan(z)dz
=0

となるから

その指示は間違っています

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/03 20:25

g(z)=(z-π/2)tan(z)

g(π/2)=-1
はz=π/2で正則なので
g(z)のz=π/2での留数は
0
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。」
と言う指示に従った上でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

また、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める上でなぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/04 01:18