a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

• 2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているかと言えば、
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/10 09:21

• 質問3,
  2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているか
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/11 04:58

• 2025.1.10 18:34にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」を以下の様に編集します。
  
  2025.1.5 12:16にありものがたり様から頂いた解答の
  
  >> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  より、
  
  mtrajcp様もありものがたり様も
  質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/14 20:13

• 質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答を基に、
  
  n≧-1のとき
  z≠π/2のとき
  g(z)=(z-π/2)tan(z)　
  ↓両辺を(n-1)回微分すると
  ...
  ↓z→π/2　とすると
  g^(n-1)(π/2)/(n-1)!={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  ∴
  a(n)
  =g^(n-1)(π/2)/(n-1)!
  ={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  とする事で、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのかわかりました。
  
  質問8,9に関して答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/21 19:51

• 質問10,
  
  2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  ...
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  や
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >> 質問4
  
  展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
  ...
  
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、
  
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の画像より、
  正しくはg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではないでしょうか？

    補足日時：2025/01/22 03:09

• 質問11,
  
  2025.1.15 20:11に頂いた解答の
  
  >> 質問1
  「
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  」
  の
  式は間違っている
  
  ...c(-1)　にならないから
  間違っているから
  
  
  に関して、
  
  右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)
  
  になるから　c(-1)　にならないから
  
  との事ですが、
  c(-1)となる様に、
  右辺でk=0で、n=-1として、
  
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)
  
  となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/22 10:28

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 10:43

留数は(-1)次の項の係数なのだから

tan(z)の(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　の係数(留数)は　a(-1) だけれども

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+…

(-1)次の項　a(-1)/(z-π/2)　は
(0)次の項定数項　a(-1) になるから

a(-1)は　(z-π/2)tan(z)　の　(0)次の項定数項であって(-1)次の項(留数)ではない

①
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)(z-π/2)をテイラー展開した場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開は別の変数b(m)を使って

g(z)=Σ[m=0～∞]b(m)(z-π/2)^m

としなければいけません
そうすると

a(-2)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)を
テイラー展開した際のz=π/2の時の留数
b(-1)
の値が一致し
b(-1)=a(-2)
となるのです

②
f(z)=tan(z)のローラン展開は
tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
と
変数a(n)を使っているけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開した
場合は
f(z)とg(z)が違う関数なのだから
同じ変数a(n)を使ってはいけません
g(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開は別の変数c(j)を使って

g(z)=Σ[j=-2～∞]c(j)(z-π/2)^j

としなければいけません
そうすると
a(0)の値と
g(z)=tan(z)/(z-π/2)を
ローラン展開した際のz=π/2の時の留数
c(-1)
の値が一致し
c(-1)=a(0)
となるのです

③
tan(z)/(z-π/2)の留数
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は
g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
ではありません
といっているのだから

a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)より
a(0)の値と
g(z)=tan(z)(z-π/2)をローラン展開した際のz=π/2の時の
a(-2)
の値は
一致しません

No.17 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/06 08:30

←No.15 補足

おそらく No.14 が唯一の正解なんだろうし、
さすがにそろそろ本気で腹が立ってきた。

＞ 質問文中の「方法」では g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求める事は出来ない
＞ と言う事でしょうか？

そう言ってるだろ。

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めるならば mtrajcp 様から頂いた
＞ 画像付きの解答のやり方で g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良い
＞ と言う事でよろしいでしょうか？

画像？ 冗長な計算は要らん。
lim[z→π/2] g(z) と (d/dz) g(z) を計算してみて、g(z) が z=π/2 で正則
なことから「正則だから留数は 0」と書くだけ。言ったろ？

＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0 と (d/dx) x^k = k x^(k-1) は少し違う式
＞ に見えますが、同じ式である事を証明して頂けないでしょうか。

これは、No.8 に「繰り返し使うだけ」って書いた。
これがピンと来ない奴に留数は無理ゲーだとも書いたね？

数学的帰納法で...
m=0 のとき (d/dx)^0 x^0 = (0！)x^0 で成立。
m=M のとき成立すると仮定すると、
(d/dx)^(M+1) x^(M+1) = (d/dz)^M (d/dx) x^(M+1)
　　　　　　　　　　= (d/dz)^M (M+1)x^M
　　　　　　　　　　= (M+1) (d/dx)^M x^M
　　　　　　　　　　= (M+1) (M！)x^0　　　←帰納法の仮定
　　　　　　　　　　= (M+1)！ x^0.

＞ (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
＞ にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になることはわかっ
＞ のですが、これは何を表しているのでしょうか？

k は右辺の Σ の総和係数であり、
k=n-1 が右辺の冪級数の項が定数項になるときの添字であり、
それが、lim[z→π/2](左辺) の値が c(-1) { (n-1)！ } になるってことである。
だから、lim とった後 両辺を (n-1)！ で割れ！
って話なんやけど、どう説明したら伝わるんや？

この回答へのお礼

説明して下さりありがとうございます。
不快にさせてしまい申し訳ありません。

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるならばmtrajcp様から頂いたその他の解答や画像を載せた解答のやり方でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？


ちなみに、mtrajcp様の2025.1.4 04:04の解答の「その指示は間違っています」とは
ありものがたり様から頂いた「←補足 01/05 01:19

質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの...」から始まる解答の様な事を伝えたかったのだとわかりました。


ありものがたり様、
「質問の

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」

のやり方は、

「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
になっている。だから、

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」

となぜわかったのでしょうか？

どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。」

にも答えて下さるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 10:56

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 19:47

(z-π/2)tan(z)の留数はa(-2)=0≠-1=a(-1)

a(-1)=-1はtan(z)の留数だけれども
a(-1)=-1は(z-π/2)tan(z)の留数ではない
(z-π/2)tan(z)の留数はa(-2)=0である

この回答へのお礼

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？」

と質問しましたが、
g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2での留数は頂いた画像よりa(-2)=0との事ですが、
なぜa(-1)=-1ではないのでしょうか？

また、質問①〜③に関して留数が一致しない事を頂いた解答の様に画像でわかりやすく解説して頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/05 23:18

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/05 12:16

←補足 01/05 01:19

質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
になっている。だから、

Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。

そんなの、No.2 から言ってるじゃないの。
なんだか長くて読みにくい計算を繰り返し書いてる人もいるけど。

Res[ ｇ(z), z=π/2 ] の計算としては、
g(z) が z=π/2 で正則であることを示せば「よって Res=0」でオシマイ。
What else?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
Res[ f(z), z=a ] を求める方法を...
Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。


と言う事は、
質問文中の「方法」 ではg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事は出来ないと言う事でしょうか？

もしそうならば、2025.1.4 10:07に頂いたありものがたり様の解答はf(z)=tan(z)の留数を求める解答であり、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める解答では無いとわかりました。

話を戻し、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるならばmtrajcp様から頂いた画像付きの解答のやり方でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？


また、2025.1.4 19:49に頂いたありものがたり様の解答より

>>＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0が
＞ どこから出て来て何を表しているのかわかりません。

式自体は、教科書にも載ってる公式 (d/dx) x^k = k x^(k-1) を
繰り返し使うだけ。


に関して、(d/dx)^m x^m = (m！)x^0と(d/dx) x^k = k x^(k-1)は少し違う式に見えますが、同じ式である事を証明して頂けないでしょうか。


>> 何を表しているかと言えば、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
...右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること
を説明したかった。


との事ですが、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になることはわかったのですが、これは何を表しているのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 04:16

No.14 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/01/05 10:49

あ～ぁ、またかよ（笑）。

このままでは

　http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs …

のようなことになりかねない。

　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13603166.html

　質問をするなとは言えないから、ギャグと見なして１回だけ回答を与えれば十分ではないか。

　ここの数学カテで、ローラン展開について調べようとする人にとって、まったく迷惑千万な状況になっている。

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 09:46

①

a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)　は　tan(z)(z-π/2)の留数
で
a(-1)=Res(tan(z),π/2)　は　tan(z)の留数
だから

tan(z)(z-π/2)の留数　a(-2)
と
tan(z)の留数 a(-1)
は
違います

②
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)　は　tan(z)/(z-π/2)の留数
で
a(-1)=Res(tan(z),π/2)　は　tan(z)の留数
だから

tan(z)/(z-π/2)の留数　a(0)
と
tan(z)の留数 a(-1)
は
違います

③
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)　は　tan(z)/(z-π/2)の留数
で
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)　は　tan(z)(z-π/2)の留数
だから

tan(z)/(z-π/2)の留数　a(0)
と
tan(z)(z-π/2)の留数　a(-2)
は
違います

④
質問文中の「方法」では

g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

には

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数　a(-2)　が存在しないから

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数
a(-2)=0
を求めることはできません

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数
a(-2)=0
だから
g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開できるのです
g(z)=(z-π/2)tan(z) がテイラー展開できるためには
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数
a(-2)=0
でなければならないのです
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるためにテイラー展開するのではなく
g(z)=(z-π/2)tan(z) がテイラー展開するために
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数
a(-2)=0
を求めるのです
順序が逆です

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 05:12

tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開を

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
とすると
ローラン展開の公式から

a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](tan(z)/(z-π/2)^{n+1})dz
だから

tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn次係数
a(n)
は
tan(z)/(z-π/2)^{n+1}のz=π/2での留数
Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
に
一致するのです

a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)はtan(z)(z-π/2)の留数
a(-1)=Res(tan(z),π/2)はtan(z)の留数
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)はtan(z)/(z-π/2)の留数
a(1)=Res(tan(z)/(z-π/2)^2,π/2)はtan(z)/(z-π/2)^2の留数
…
だから

g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出すと
a(0)
になる

a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)はtan(z)/(z-π/2)の留数
であって
g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
ではありません

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 04:41

tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開を

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
とすると
ローラン展開の公式から

a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](tan(z)/(z-π/2)^{n+1})dz
だから

tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn次係数
a(n)
は
tan(z)/(z-π/2)^{n+1}のz=π/2での留数
Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
に
一致するのです

n=-2とすると
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
だから

tan(z)のz=π/2でのローラン展開の(-2)次係数
a(-2)
は
tan(z)(z-π/2)のz=π/2での留数
Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
に
一致するのです

n=0とすると
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
だから
tan(z)のz=π/2でのローラン展開の0次係数
a(0)
は
tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
に
一致するのです

tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数

g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…
...
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
の
右辺
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)

は留数の定義から

tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数

であって

g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数

a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)

ではありません

この回答へのお礼

質問が4つあります。

①,
頂いた解答より、
n=-2とすると
a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
だから

tan(z)のz=π/2でのローラン展開の(-2)次係数
a(-2)
は
tan(z)(z-π/2)のz=π/2での留数
Res(tan(z)(z-π/2),π/2)
に
一致する。

との事ですが、a(-2)の値とg(z)=tan(z)(z-π/2)をテイラー展開した際のz=π/2の時の留数a(-1)の値が一致すると言う事でしょうか？


②,
n=0とすると
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
だから
tan(z)のz=π/2でのローラン展開の0次係数
a(0)
は
tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
に
一致する。

との事ですが、a(0)の値とg(z)=tan(z)/(z-π/2)をローラン展開した際のz=π/2の時の留数a(-1)の値が一致すると言う事でしょうか？


③,
g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…
...
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
の
右辺
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)

は留数の定義から

tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数

であって

g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数

a(-2)=Res(tan(z)(z-π/2),π/2)

ではありません

に関しては、a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)よりa(0)の値とg(z)=tan(z)(z-π/2)をローラン展開した際のz=π/2の時のa(-2)の値が一致すると言う事でしょうか？

④,
質問の主軸がズレると混乱してしまう為、
質問の主軸を戻す為に改めてお聞きしたいのですが、なぜmtrajps様は質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないのでしょうか？

どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/05 07:09

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/05 04:11

tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開を

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n
とすると
ローラン展開の公式から

a(n)=Res(tan(z)/(z-π/2)^{n+1},π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](tan(z)/(z-π/2)^{n+1})dz
だから

tan(z)/(z-π/2)^{n+1}のz=π/2での留数は
tan(z)のz=π/2でのローラン展開のn次係数に一致する
から
n=0とすると

tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数

Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は
tan(z)のz=π/2でのローラン展開の0次係数
a(0)
に一致するのです

g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…
...
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
の
右辺
Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)

は留数の定義から

tan(z)/(z-π/2)のz=π/2での留数

であって

g(z)=tan(z)(z-π/2)の留数ではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

留数とは分母が0になる様な特異点を持つ式がローラン展開した際に、その展開したローラン展開の係数a(-1)の事を留数と言うと思っていましたが、

g(z)=tan(z)(z-π/2)はf(z)=tan(z)をローラン展開する過程で、
テイラー展開する為に作った式であるので、g(z)=tan(z)(z-π/2)はテイラー展開する為の式であり、ローラン展開は出来ないのに、
なぜg(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開から留数である係数a(-1)を求められたのか疑問でしたが、

頂いた解答の
「g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…」により、
g(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開から留数である係数a(-1)を求められる為だとわかりました。
故に、テイラー展開からでも留数である係数a(-1)を求められる為だとわかりました

お礼日時：2025/01/05 06:52

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/04 21:15

質問の1～3行目に

「(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、g(z)をテイラー展開します。」
と書いてあるけれども

「tan(z)の留数(residue)を求めるために、g(z)をテイラー展開します」
とは書いてありません

g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)+…

となり
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出すと
a(0)
になる

取り出した係数
a(0)
を(n-1)!で割ると

a(0)/(n-1)!

になり
n=1.or.2のとき
a(0)/(n-1)!=a(0)

a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は

tan(z)/(z-π/2)　の留数であって

tan(z) のz=π/2 における留数ではありません
(z-π/2)tan(z) の留数でもありません

だから
「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める」ことは間違いだけれども
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順としても間違いです

だから
すべて間違いです

この回答へのお礼

>> g(z)=(z-π/2)tan(z) をテイラー展開すると

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)+…
...
a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は

tan(z)/(z-π/2)　の留数であって


とありますが、なぜg(z)=tan(z)(z-π/2)の留数ではなく、g(z)=tan(z)/(z-π/2)の留数なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。


>> a(0)=Res(tan(z)/(z-π/2),π/2)
は

tan(z)/(z-π/2)　の留数であって

tan(z) のz=π/2 における留数ではありません
(z-π/2)tan(z) の留数でもありません

だから
「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める」ことは間違いだけれども
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順としても間違いです

だから
すべて間違いです


との事ですが、
質問文中の「方法」は、f(z)=tan(z)の z=π/2 における留数を求める手順ではなく、g(z)=(z-π/2)tan(z)の z=π/2 における留数を求める手順に関してですので、

質問文中の「方法」で、f(z)=tan(z)のz=π/2 における留数を求めるのは間違っていると思います。


今までに頂いたmtrajcp様やありものがたり様の解答は質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2の留数を導いたわけではなく、質問文中の「方法」でf(z)=tan(z)のz=π/2の留数を導いたわけである為、

今までに頂いたmtrajcp様やありものがたり様の解答は質問文中の「方法」でf(z)=tan(z)のz=π/2の留数を導けていないと言う意味ではすべて間違いですね。

お礼日時：2025/01/05 01:14