a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/04 04:04

g(z)に対し

z=aが孤立特異点であるとき
g(z)の
z=aにおける
留数Res(g,a)が
Res(g,a)={1/(2πi)}∫[|z-a|=r]g(z)dz
と定義されるのです

g(z)=(z-π/2)tan(z)
は
z=π/2で正則なので
z=π/2は特異点ではないし
g(z)のz=π/2での留数は

コーシーの積分定理から
正則関数の積分は
0
だから

Res(g,π/2)
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r]g(z)dz
={1/(2πi)}∫[|z-π/2|=r](z-π/2)tan(z)dz
=0

となるから

その指示は間違っています

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/03 20:25

g(z)=(z-π/2)tan(z)

g(π/2)=-1
はz=π/2で正則なので
g(z)のz=π/2での留数は
0
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。」
と言う指示に従った上でg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

また、g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める上でなぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかを教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/04 01:18