a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

• 2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているかと言えば、
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/10 09:21

• 質問3,
  2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているか
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/11 04:58

• 2025.1.10 18:34にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」を以下の様に編集します。
  
  2025.1.5 12:16にありものがたり様から頂いた解答の
  
  >> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  より、
  
  mtrajcp様もありものがたり様も
  質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/14 20:13

• 質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答を基に、
  
  n≧-1のとき
  z≠π/2のとき
  g(z)=(z-π/2)tan(z)　
  ↓両辺を(n-1)回微分すると
  ...
  ↓z→π/2　とすると
  g^(n-1)(π/2)/(n-1)!={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  ∴
  a(n)
  =g^(n-1)(π/2)/(n-1)!
  ={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  とする事で、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのかわかりました。
  
  質問8,9に関して答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/21 19:51

• 質問10,
  
  2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  ...
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  や
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >> 質問4
  
  展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
  ...
  
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、
  
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の画像より、
  正しくはg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではないでしょうか？

    補足日時：2025/01/22 03:09

• 質問11,
  
  2025.1.15 20:11に頂いた解答の
  
  >> 質問1
  「
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  」
  の
  式は間違っている
  
  ...c(-1)　にならないから
  間違っているから
  
  
  に関して、
  
  右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)
  
  になるから　c(-1)　にならないから
  
  との事ですが、
  c(-1)となる様に、
  右辺でk=0で、n=-1として、
  
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)
  
  となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/22 10:28

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/10 19:56

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いなので

間違いを繰り返さないように
質問文の内容を次のように訂正します
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

留数とは、g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点では為、
(mtrajcp様の2025.1.5 19:47の解答の画像より、無理やりg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は求める事も出来ますが、)
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いであり、

2024.5.8 08:24の質問のmtrajcp様から頂いた2024.5.9 17:30の解答に書いてある様に、g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開から(z-π/2)の次数を-1ずらして、
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式からf(z)=tan(z)のローラン展開の各a(n)を求めて、
f(z)=tan(z)のローラン展開を導いて、
f(z)=tan(z)のローラン展開の留数(分母が0になる様な項での係数)を導くとわかりました。...②

また、以下の今回の2025.1.3 20:14の質問内容を訂正した「」の文章は、
②の内容の計算過程で、
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式を作る過程の解説だとわかりました。

「m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」

お礼日時：2025/01/11 04:55

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/10 19:04

「tan(z)の留数(residue)を求めるために、g(z)をテイラー展開します」

とは書いていません
質問文をよくみてください
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
と書いてあるのがみえないのですか?

質問文にある手順で求まるのが、tan z の z=π/2 における留数ならば
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
展開した式から定数係数を取り出します。
」
でなくてはならないのです
質問文は全くのでたらめの質問なのがわからないのですか?

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

>> 質問文にある手順で求まるのが、tan z の z=π/2 における留数ならば
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
展開した式から定数係数を取り出します。
」
でなくてはならないのです


はい。
質問文にある手順で求まるのが、f(z)=tan(z)のz=π/2 における留数ならば
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
展開した式から定数係数a(-1)(留数=分母が0になる様な項での係数)を取り出します。
」
でなくてはならない事はわかりました。

お礼日時：2025/01/11 04:17

No.26 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/10 18:34

＞ ありものがたり様は

＞ 質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順だと
＞ 勘違いしているだけです

No.8 に
＞ そやないって、No.6 に書きおるやろ。
＞ 質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順として正しい。
＞ 質問にも「tan(z)の留数(residue)を求めるために、g(z)をテイラー展開します」
＞ て書いてあるしな。

って書いたでしょ。
実際、質問文にある手順で求まるのは、tan z の z=π/2 における留数なんだし。
g(z) の留数じゃないけどな。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

mtrajcp様もありものがたり様も
質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

お礼日時：2025/01/14 20:02

No.25 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/10 13:54

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める解答をしているのではありません!

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いです
g(z)=(z-π/2)tan(z)は正則だから
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は0なのです
だから
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は
(z-π/2)の係数にはならないのです

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数a(-2)=0
と
g(z)=(z-π/2)tan(z)テイラー展開した式の(z-π/2)の係数a(0)
は
違うから
質問が間違っているのです

右辺のk=n-1の項の係数というのは
n=1のとき定数係数になるのです
だから
(z-π/2)の係数にはならないのです

ありものがたり様は
tan z の z=π/2 における留数a(-1)
を求める手順を説明しているのであって
質問文中の「方法」
(z-π/2)の係数a(0)を取り出す事を説明してはいません

この回答へのお礼

解答して頂きどうもありがとうございます。
うまく理解することが出来ず申し訳ありません。

mtrajcp様は質問文中の「方法」でのg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める解答をしていて、

ありものがたり様は質問文中の「方法」でのf(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める解答をしていたと言う事がわかりました。


申し訳ありません。
質問が3つあります。


質問1,
2025.1.4 19:49にありものがたり様から頂いた解答において、

>>何を表しているかと言えば、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること
を説明したかった。


との事ですが、
「右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること」の意味がまだ理解出来ていません。

どうか、(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺でk=n-1の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になる事までの過程の計算をわかりやすく証明して頂けないでしょうか。


質問2,
2025.1.4 19:49にありものがたり様から頂いた解答において、

>> ＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0が
＞ どこから出て来て何を表しているのかわかりません。

式自体は、教科書にも載ってる公式 (d/dx) x^k = k x^(k-1) を
繰り返し使うだけ。


との事ですが、
(d/dx)^m x^m = (m！)x^0と(d/dx) x^k = k x^(k-1)は少し違う式に見えますが、同じ式である事をわかりやすく証明して頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/11 04:15

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/08 16:50

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式

g(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

a(-1) は定数係数
a(0) は　(z-π/2)の係数
a(1) は　(z-π/2)^2 の係数
…
だから
(z-π/2)の係数a(0)を取り出すのと
定数係数a(-1)を取り出すのとは違う

定数係数a(-1) は　tan z の z=π/2 における留数だけれども
(z-π/2)の係数a(0)　は　tan z の z=π/2 における留数ではない

ありものがたり様は

質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順だと
勘違いしているだけです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

mtrajcp様は質問文中の「方法」でのg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める解答をしていて、

ありものがたり様は質問文中の「方法」でのf(z)=tan(z)のz=π/2における留数を求める解答をしていたと言う事でしょうか？


また、
mtrajcp様は
2025.1.4 19:49にありものがたり様から頂いた解答において、

>>何を表しているかと言えば、
f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
にするとき、右辺で k=n-1 の項の係数が c(-1) { (n-1)！ } になること
を説明したかった。


との事ですが、
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)の右辺にk=n-1を代入した際の右辺のk=n-1の項の係数がc(-1) { (n-1)！ } になるという事でしょうか？

仮にそうならば、
(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)の右辺にk=n-1を代入した際の右辺のk=n-1の項の係数がc(-1) { (n-1)！ } になる事を証明して頂けないでしょうか。

また、

2025.1.4 19:49にありものがたり様から頂いた解答において、

>> ＞ (d/dx)^m x^m = (m！)x^0が
＞ どこから出て来て何を表しているのかわかりません。

式自体は、教科書にも載ってる公式 (d/dx) x^k = k x^(k-1) を
繰り返し使うだけ。


との事ですが、
(d/dx)^m x^m = (m！)x^0と(d/dx) x^k = k x^(k-1)は少し違う式に見えますが、同じ式である事を証明して頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/10 09:20

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/07 19:38

#8の方は

「
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順として正しい。
」
といっているけれども

#9に書いた通り

もし
質問文中の「方法」が、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順ならば
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から定数係数を取り出します。
」
であるはずなので

「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
という所が間違っているので

「g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める」ことは間違いだけれども
質問文中の「方法」は、 tan z の z=π/2 における留数を求める手順としても間違いです

だから
すべて間違いです

この回答へのお礼

mtrajcp様、解答ありがとうございます。

>> 「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
ではなく
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した
式から定数係数を取り出します。
」


(z-π/2)の係数を取り出すのと定数係数を取り出すのとでは何が違うのでしょうか？

どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

>> すべて間違いです


こちらの質問に置いて、ありものがたり様から頂いた今までの解答やその解答に対する質問の解答もすべて間違えいると言う事でしょうか？

お礼日時：2025/01/08 16:21

No.22 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/07 18:47

←No.20 補足

＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」などが出てきますが、
＞ これはmtrajcp様から頂いた画像みたいな感じに
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
＞ 「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」をして
＞ (z-π/2)の次数をずらしてf(z)=tan(z)の留数を質問文中の「方法」で求めた
＞ 解答と言う事でよろしいでしょうか？

後追いの回答と同じかどうかは、後追いの回答者に聞いたほうがよいのでは？
でも、文面からして同じだよね。


＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。
＞ となぜわかったのでしょうか？
↓
＞ これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。
↓
＞ No.15 の「その箇所」がどの部分なのかを教えて頂けないでしょうか。

これはもう、笑えばいいのか怒ればいいのか判らん。
オイタがすぎるよ。

No.15 に
＞ 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
＞ Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
＞ になっている。だから、
＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。
と書いた。
なぜわかったか、理由が直上の文に書いてあるね？

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 14:38

g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではない為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)は留数を持たない為

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いです

画像のやり方は、
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるものではありません

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数が0であることがわかった上で
g(z)をテイラー展開したものです

No.20 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/06 13:46

←No.17 補足

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めるならば
＞ mtrajcp 様から頂いたその他の解答や画像を載せた解答のやり方で
＞ g(z)=(z-π/2)tan(z) の留数を求めれば良いと言う事でよろしいでしょうか？

回答を読まずに補足質問をつけるのは、いかがなものかと思う。
No.17 には、
＞ lim[z→π/2] g(z) と (d/dz) g(z) を計算してみて、g(z) が z=π/2 で正則
＞ なことから「正則だから留数は 0」と書くだけ。言ったろ？
と書いた。なにを繰り返し繰り返し...


＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
＞ となぜわかったのでしょうか？

これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。
＞ 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
＞ Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
＞ になっている。だから、
だよ。 今回は、黒ヤギさんからお手紙ついた？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

確認としてありものがたり様から2025.1.4 10:07に頂いた解答の一部の

「Res[ tan z, z=π/2 ] を求める方法：
g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開して
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... となることから、
tan z の z=π/2 を中心とするローラン展開は
tan z = -1/(z-π/2) + 1/3 + ... です。
...
tan z の n 位の極 z=π/2 に対して
g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開すると
g(z) = -1 + (1/3)(z-π/2)^2 + ... 。
g(z) を n-1 回微分して
(d/dz)^(n-1) g(z) = { (n-1)(n-2)…1 }(-1) + { { (n-1)(n-2)…2 }(1/3)(z-π/2)^2 + ...
とすると、
...
両辺を (n-1)！ で割ると
{ 1/(n-1)！ } lim[z→π/2] (d/dz)^(n-1) g(z) = (-1) 。
質問文中の「方法」のとおりです。」

には
「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」などが出てきますが、

これはmtrajcp様から頂いた画像みたいな感じに
「g(z) = (tan z)(z - π/2) を z=π/2 中心にテイラー展開」や
「g(z) = (tan z)(z - π/2)^n をテイラー展開」をして

(z-π/2)の次数をずらしてf(z)=tan(z)の留数を質問文中の「方法」で求めた解答と言う事でよろしいでしょうか？

また、

>>＞ Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
＞ Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
＞ となぜわかったのでしょうか？

これも、No.15 のその箇所の直上の文に書いたとおり。


No.15 の「その箇所」がどの部分なのかを教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/06 18:15

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/06 13:13

g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではないので、

テイラー展開するというのは間違いではありません

g(z)はg(z)=(z-π/2)tan(z)でよいのだけれども

「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるために
」
という
目的が間違いなのです

その指示をした人は

f(z)=tan(z) の留数を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)

をテイラー展開するといったのではないのですか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> f(z)=tan(z) の留数を求めるために

g(z)=(z-π/2)tan(z)

をテイラー展開するといったのではないのですか?


何と言われたのかは覚えておりません。
申し訳ありません。

ですが、なぜg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いなのでしょうか？

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求める事自体が間違いとmtrajcp様が仰る理由としては、

留数とは数時間前に頂いた画像の様に、
g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点では為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)は留数を持たない為でしょうか？

数時間前に頂いた画像のやり方をすれば、無理やりg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数は求められるのだと思いますが。

お礼日時：2025/01/06 14:21