a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)t

a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
取り出した係数を(n-1)!で割ります。
この方法によって、留数を求めることができます。

と言われたのですが、どうか指示に従いg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• はぜ取り出した係数を(n-1)!で割るのかわかりません。
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/03 20:20

• g(z)=(z-π/2)tan(z)がz=π/2の時、
  g(π/2)=-1となる為、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2の時、正則となり、留数は0になる事は、
  https://batapara.com/archives/laurent-and-residu …のサイトの画像よりわかりました。

  
    補足日時：2025/01/04 01:28

• ありものがたりさんから頂いた
  「「この方法によって、『何の』留数を求めることができる」のかを
  書かないから、話が食い違うんですよ。」から始まる解答はg(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答ではなく、
  f(z)=tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答なのでしょうか？
  
  仮にそうならば、g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2における留数を質問文中の「方法」で求めた解答を頂きたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/05 01:19

• ありものがたり様に質問したいのですが、
  
  質問の
  
  「a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれるg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために...留数を求めることができます。」
  
  のやり方は、
  
  「一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  Res[ tan z, z=π/2 ] を求める計算として正しく、
  Res[ ｇ(z), z=π/2 ], g(z)=(z-π/2)(tan z) を求める計算としては正しくない。」
  
  となぜわかったのでしょうか？
  
  どうかわかった理由をわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/06 04:23

• 2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているかと言えば、
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/10 09:21

• 質問3,
  2025.1.4 19:49の解答において、
  
  >> 何を表しているか
  ...
  (d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)
  ...
  を説明したかった。
  
  
  に(d/dz)^(n-1) { f(z) (z-π/2)^n } = Σ[k=n-1→∞] c(k+n) { kP(n-1) }(z-π/2)^(k-n+1)...①のkやPなどの変数を含んだ式がありますが、
  
  これはf(z)=tan(z)のz=π/2におけるローラン展開の係数や留数(分母が0になる様な項での係数)を求める上で、
  画像の赤い下線部の式を導く為に、
  画像の青い下線部の様なkやPなどの変数を含んだ①の式を作ったと言う事でしょうか。
  
  仮にそうならば、①の式が画像の計算過程のどの部分に当たるのでしょうか。

  
    補足日時：2025/01/11 04:58

• 2025.1.10 18:34にありものがたり様から頂いた解答の「質問者さんからお礼」を以下の様に編集します。
  
  2025.1.5 12:16にありものがたり様から頂いた解答の
  
  >> 質問の「この方法」は、一般に関数 f(z) が z=c に n 位の孤立した極を持つとき
  Res[ f(z), z=a ] を求める方法を f(z)=tan z, c=π/2, n=1 に適用したもの
  になっている。だから、
  
  より、
  
  mtrajcp様もありものがたり様も
  質問文中の「方法」でg(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程を利用して、2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答の画像の様にg(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(分母が0になる様な項での係数)を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2025/01/14 20:13

• 質問7に関しては、2024.8.20 18:17の質問の2024.8.27 18:55にmtrajcp様から頂いた解答を基に、
  
  n≧-1のとき
  z≠π/2のとき
  g(z)=(z-π/2)tan(z)　
  ↓両辺を(n-1)回微分すると
  ...
  ↓z→π/2　とすると
  g^(n-1)(π/2)/(n-1)!={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  ∴
  a(n)
  =g^(n-1)(π/2)/(n-1)!
  ={1/(n-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n-1){(z-π/2)tan(z)}
  
  とする事で、
  g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!をどの様に導いたのかわかりました。
  
  質問8,9に関して答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2025/01/21 19:51

• 質問10,
  
  2025.1.15 09:33にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >>g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  ...
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  や
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の
  
  >> 質問4
  
  展開した式から(z-π/2)^{n+1}の項を
  ...
  
  g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次係数は
  
  g^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!
  
  
  では、g(z)をテイラー展開した式の(n-1)次の係数であるg^{'(n-1)}(π/2)/(n-1)!を求めていますが、
  
  2025.1.16 10:46にmtrajcp様から頂いた解答の画像より、
  正しくはg(z)をテイラー展開した式の(n+1)次の係数であるg^{'(n+1)}(π/2)/(n+1)!を求めるではないでしょうか？

    補足日時：2025/01/22 03:09

• 質問11,
  
  2025.1.15 20:11に頂いた解答の
  
  >> 質問1
  「
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  」
  の
  式は間違っている
  
  ...c(-1)　にならないから
  間違っているから
  
  
  に関して、
  
  右辺でk=0の　項は　c(n)(z-π/2)^0=c(1)
  
  になるから　c(-1)　にならないから
  
  との事ですが、
  c(-1)となる様に、
  右辺でk=0で、n=-1として、
  
  f(z) (z-π/2)^n = Σ[k=0→∞] c(k+n) (z-π/2)^k
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(0-1) (z-π/2)^0
  
  f(z) (z-π/2)^(-1) = c(-1)
  
  となり、c(-1) = f(z) (z-π/2)^(-1)とc(-1)になるのではないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2025/01/22 10:28

No.38 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/01/14 21:42

> 質問文中の「方法」で

> g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開してf(z)=tan(z)の留数を求める過程
> を利用して

　その「方法」なるものがどんなものか確認するのはアフォらしいので、ようわからんのだが

　　tan(z) を z = π/2 でローラン展開したときの、「留数を求める」

のに、わざわざ

　　g(z) = (z-π/2)tan(z) をテイラー展開

する暇人はあんまりいないと思うがwwwwwwwwwwwwwww

No.37 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/14 21:32

f(z)(z-c)^n

の
テイラー展開の式は

(d/dz)^(n-1) { f(z)(z-c)^n }

ではありません

f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのものです

f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式
f(z)(z-c)^n
そのものから
(z-c)^(n-1) 項の係数を取り出すために

(z-c)^(n-1) 項を

n-1回微分し
(n-1)!で割るのです

だから係数を割るのではありません
項を
n-1回微分し
(n-1)!で割るのです

(n-1)!で割るのが省略できないと同様に
n-1回微分するのも省略できないのです

だからその「方法」は間違っているのです

No.36 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/14 21:18

f(z)(z-c)^n

の
テイラー展開の式は

(d/dz)^(n-1) { f(z)(z-c)^n }

ではありません

f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式は

f(z)(z-c)^n

そのものです

f(z)(z-c)^n
の
テイラー展開の式
f(z)(z-c)^n
そのものから
(z-c)^(n-1) 項の係数を取り出すために

n-1回微分し
(n-1)!で割るのです

No.35 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/14 19:52

n が何なのかを確認のこと。

質問文中の「方法」は、f(z) が z=c に n 位の極を持つ場合の
Res[ f(z), z=c ] を求める手順としては正しい。
( Res[ f(z)(z-c)^n, z=c ] を求める手順ではないが。

f(z) のローラン展開における (z-c)^-1 項の係数 a(-1) は、
そのまま f(z)(z-c)^n の (z-c)^(n-1) 項の係数になる。
テイラー展開の式を知っていれば解るように、
(d/dz)^(n-1) { f(z)(z-c)^n } の定数項は { (n-1)！ }a(-1) となる。
だから、a(-1) を求めるには
lim[z→c] (d/dz)^(n-1) { f(z)(z-c)^n } の値を (n-1)！ で割る必要がある。
この作業は、z=c が f(z) の極である限り変わらないし、省略はできない。

f(z) = tan z, c = π/2 のように n = 1 である場合は、
(n-1)！ = (1-1)！ = 0！ = 1 であるため
(n-1)！ で割るとはすなわち 1 で割ることであり、
そこに割り算があることを見落としがちだが、
(n-1)！ で割っていることに違いはないのだ。

No.34 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/13 17:02

質問文

「
a(n) = 1/(n+1)! lim[z->π/2] (d/dz)^(n+1) [(z-π/2)tan(z)] に含まれる

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、

g(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。

取り出した係数を(n-1)!で割ります。

この方法によって、留数を求めることができます。
」
の
中の
2行目
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
」
は間違っています

3行目
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。
」
だけは正しいのです

4行目
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
から

g(z)=(z-π/2)tan(z)を
テイラー展開した式の(z-π/2)の係数は
h(z)=tan(z)/(z-π/2)の留数(residue)
だから
3行目はg(z)=(z-π/2)tan(z)のまま変更しないで

2行目を
「
h(z)=tan(z)/(z-π/2)の留数(residue)を求めるために、
」
とすると

取り出した係数はそのまま求める
h(z)=tan(z)/(z-π/2)の留数(residue)
となるから

5行目
「
取り出した係数を(n-1)!で割る
」
必要がなくなるのです
だから
4行目
「
展開した式から(z-π/2)の係数を取り出します。
」
は間違っています

取り出した係数がそのまま留数になるのだから

5行目
「
取り出した係数を(n-1)!で割る
」
も間違っています

質問文の「方法」の中で正しいのは
3行目
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。
」
だけです

だから
質問文の内容に対する訂正は以下のようになるのです
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

2025.1.10 13:54にmtrajcp様から頂いた解答の2025.1.11 04:15の「質問者さんからお礼」に書いてある質問1と質問2と2025.1.11 04:58の「質問者からの補足」に書いた質問3にも解答して頂きたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2025/01/14 19:30

No.33 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/13 10:54

←No.30 補足

＞ 2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答やその解答に載せてある画像より、
＞ g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2の正則な点でも留数が0だと求められる為、

まあ、そのやり方でも、なんとなく求めたような形には見えるんだけど...

質問文中の「方法」は、f(z) が z=c に n 位の極を持つとき、
g(z) = f(z) (z-c)^n が z=c で正則になるため
g(z) をテイラー展開すれば係数は微分で取り出せるよね？
という考え方。そのポイントを把握していれば、
(z-π/2)(tan z) の留数を求めるために (z-π/2)^2 (tan z) をテイラー展開
することは「方法」に沿ったものではないし、
そもそも tan z が 1 位の極を持つことから (z-π/2)(tan z) が正則であること
を導くのでは話の順番が逆だ ってことも解るはずなんだがな。

正則点で留数が 0 になるのは、具体的な計算手法以前に
コーシーの積分定理から自明であり、むしろ
質問者自身が貼付している 01/04 01:28 補足の画像で理解したほうがよい。


いろいろ脱線したが、当初の質問の回答は、
No.6　01/04 10:07 のとおり。

No.32 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/13 10:46

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いなのです

正則な点でも留数は定義されるし、求めることもできるけれども
何の役にも立たないものだから

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いなのです

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/12 19:09

g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのが間違いというよりも

質問文の1～3行目
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開する
」
のが間違いなのです

正則でなければテイラー展開できないのだから
テイラー展開できる関数は正則だから
その留数は
0
となり
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求める
という目的が達成されたので
g(z)をテイラー展開する必要がなくなるから
質問文の1～3行目
「
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数(residue)を求めるために、
g(z)をテイラー展開する
」
のが無意味<ナンセンス>で間違いなのです

無意味な質問を繰り返さないように
質問文の内容に対する訂正を再掲します
------------------------------------------
m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
の留数(residue)を求めるために、

g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開します。

展開した式から(z-π/2)^{m-1}の係数を取り出すために
展開した式から(z-π/2)^{m-1}の項を取り出し
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

2025.1.10 19:56の解答の2025.1.11 04:55の「質問者さんからお礼」に書いた文章を編集しました。

留数とは、g(z)の式に対して正則、正則ではないに関係なく2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答に載せてある画像の様な部分の係数である為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではないが、
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いではない。


2024.5.8 08:24の質問のmtrajcp様から頂いた2024.5.9 17:30の解答に書いてある様に、
ローラン展開の為の積分公式(2024.8.31 00:04にした質問の2024.9.3 16:48の解答の「a(n)=res(g(z),π/2)…(1)」を導くまでの解答)より、
a(n)=res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=res(g(z),π/2)={1/(2π)}_[C}∮{f(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzより、
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)としても積分が難しい為、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)の式からはf(z)=tan(z)のローラン展開は導けない。

なので、
g(z)=(z-π/2)tan(z)をテイラー展開から(z-π/2)の次数を-1ずらして、
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式からf(z)=tan(z)のローラン展開の各a(n)を求めて、
f(z)=tan(z)のローラン展開を導いて、
f(z)=tan(z)のローラン展開の留数(分母が0になる様な項での係数)を導くとわかりました。...②


また、以下の今回の2025.1.3 20:14の質問内容を訂正した「」の文章は、
②の内容の計算過程で、
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式を作る過程の解説だとわかりました。

「m=n+2
h(z)=tan(z)/(z-π/2)^{m-1}
...
m-1回微分し
(m-1)!で割ります。」


出来れば、質問1〜3に関して解答して頂きたく思います。

お礼日時：2025/01/13 10:00

No.30 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/11 07:15

＞ 留数とは、g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、

＞ g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点では為、
＞ g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いであり、

そんなことはない。
正則な点でも留数は定義されるし、求めることもできる。
ただ普通に Res[ (z-π/2)tan(z), z=π/2 ] = 0 だってだけ。

質問文の「方法」は、 ｚ=π/2 が f(z) の n 位の極である場合に
Res[ f(z), z=π/2 ] を求めることができる計算の手順なので、
ｚ=π/2 で正則な g(z) には使えないってだけの話。

最初からずっとそう言ってるだろ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答やその解答に載せてある画像より、

g(z)=(z-π/2)tan(z)のz=π/2の正則な点でも留数が0だと求められる為、

「留数とは、g(z)の式に対して特異点となる点での係数である為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではない為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いであり、」

と言う部分は正しくは、

「留数とは、g(z)の式に対して正則、正則ではないに関係なく2025.1.5 19:47にmtrajcp様から頂いた解答に載せてある画像の様な部分の係数である為、
g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則なのでz=π/2は特異点ではないが、
g(z)=(z-π/2)tan(z)の留数を求めるのは間違いではない。」

です。

お礼日時：2025/01/13 08:59

No.29 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2025/01/10 22:50

>> No27

> 質問文は全くのでたらめの質問なのがわからないのですか?
（笑）（笑）（笑）（笑）（笑）（笑）（笑）（笑）
　何を今さら。最初から質問文はデタラメではないか。
　それがわかっていて、おもしろがって執拗に回答を繰り返したのではないのかwwwwwww。
　http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs …
のときとまったく同じだ。おかげで、質問者のデタラメさが加速している。

　デタラメな質問には、それに負けないくらい、いいかげんな回答で対抗して大いに楽しめばいいのだ（笑）。

　tan(z)は z = π/2 で特異点を持つ。z = π/2 は1位の極なので

tan(z) = a(-1)/(z-π/2) + ∑[n=0→∞]a(n)(z-π/2)^n …… ①

とローラン展開できる。a(-1) は留数である。ローラン展開した係数 a(n) のうち、とくに 1/(z-π/2) の係数を留数と名付ける。

a(-1) = (1/2πi)∮_C tan(ζ) dζ …… ②
a(n) = (1/2πi)∮_C tan(ζ)/(ζ-π/2)^(n+1) dζ …… ②'

で、a(-1)、a(n) を求めたいところだが、どちらも右辺の積分が困難である。

　そこで①の両辺に (z-π/2) をかけた

(z-π/2)tan(z) = a(-1) + ∑[n=0→∞]a(n)(z-π/2)^(n+1) …… ③

という関数を考える。

　関数 (z-π/2)tan(z) を持ち出したのは、以上が理由だったはずである。

　z = π/2 は tan(z) の孤立特異点なので、tan(z)をローラン展開しなくても、③を利用して留数 a(-1) を求めることができる。そのためには③が

　　z→π/2 で収束するかかどうか

を確認すればよい。実際にやってみると③は z→π/2 としたとき、-1 という有限確定値を持つ。

　この有限確定値 -1 こそ、tan(z)を z = π/2 のまわりでローラン展開したときの留数 a(-1) である。

　さて、③は z→π/2 としたとき、-1 という有限確定値を持つのだから、ここで改めて

　　g(z) = (z-π/2)tan(z) (z≠π/2)
　　g(z) = -1 (z=π/2)

で g(z) を '定義' すると、g(z) は z = π/2 で正則となり、めでたくz = π/2 のまわりで「テイラー展開」できる。
　テイラー展開できる以上、g(z)の留数を考えること自体がバカげている。

　g(z) を「テイラー展開」できれば、それを微分し、極限をとることで、

tan(z)を z = π/2 のまわりに「ローラン展開」したときの係数 a(n)

が

a(n) = 1/( (n+1)!)lim[z→π/2]{ ( d^(n+1)/dz^(n+1) )g(z) } …… ④

という式で求められることがわかる。
　つまり、「g(z) をテイラー展開」することで、間接的に「tan(z) のローラン展開」を求めるのだ。
　しかし、実際に④でa(n)を計算するのは大変である。

　なお、質問者は有限確定値の求め方、テイラー展開したg(z) を微分する方法などはまったくわからないだろうし、留数や特異点の意味もわかっていないのだから
　　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13603166.html
のレベルの数学をもう少し勉強してからローラン展開にとりくもう。