内積計算の順番について

以下の計算を実施すると、Aベクトル=2*Aベクトルとなってしまいます。内積計算をする順番にルールが決まっているように思うのですが、この理解で合っていますでしょうか？どなたかご教示いただけると幸いです。よろしくお願いします。
以下では*を掛け算の意味で、・を内積計算の意味で、大文字をベクトルの意味で使っています。
A=(Ax, Ay)=(1,2), Ex=(1,0), Ey=(0,1)
Ax=A・Ex
Ay=A・Ey
A=Ax・Ex+Ay・Ey
=A・Ex・Ex+A・Ey・Ey
=2*A
とおかしな計算になってしまいます。

質問者からの補足コメント

• 単なる数式の書き間違いでした。念のため修正した式を書いておきます。
  →A=(Ax, Ay)=(1,2), →Ex=(1,0), →Ey=(0,1)に対して、
  →Aの成分を以下のように基本ベクトル→Ex, →Eyを用いて以下のように書き直します。
  Ax=→A・→Ex ---①
  Ay=→A・→Ey ---②
  一方で、→Aは基本ベクトル→Ex, →Eyを用いて以下のようにも書けるはずです。
  →A=Ax*→Ex+Ay*→Ey ---➂
  ➂式の基本ベクトルの係数部分を①、②を用いて書き直すと
  →A
  =→A・→Ex*→Ex+→A・→Ey*→Ey ---④
  =Ax*→Ex+Ay*→Ey
  =A
  となり何も問題なかったです。④の*を・と勘違いしていただけでした。皆様ありがとうございます。

    補足日時：2025/01/15 21:20

No.1 ベストアンサー 回答者： usa3usa 回答日時： 2025/01/15 18:42

＞おかしな計算になってしまいます。

・を内積計算の意味で使用しているなら
　A=Ax・Ex+Ay・Ey
の等号が成り立ちませんよ

右辺は（内積の和なので）数値ですよね
でも左辺Aはベクトルですよね

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/15 21:20

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/16 10:37

質問自体への回答にはなりませんが、記号の定義が不適切だと思います。

AxやAyがベクトルAの成分(すなわちスカラー)とされている一方でExやEyがそれぞれの座標軸方向の単位ベクトル(すなわちベクトル)となっています。記法がチャンポンになっていたら間違いの元になりやすいので、この場合はExやEyを別の記法にするべきだと思います。

ちなみに数学ではどうやるのが主流なのか分かりませんが、物理ではx軸方向の単位ベクトルをi、y方向の単位ベクトルをj、z軸方向の単位ベクトルをkとする記法がよくつかわれています。なおいずれも実際はベクトルを表す肉太等の書き方をします。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/16 13:56

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/15 22:04

自分で書いてるように、

＞ *を掛け算の意味で、・を内積計算の意味で、大文字をベクトルの意味で使って
いれば、間違えにくかったんじゃないの？
スカラー Ax, Ay とベクトル Ex, Ey の字面が似ていることが
* と ・ を間違えた原因だと思う。

A = (a_x, a_y) = (1,2), Ex = (1,0), Ey = (0,1) と置くと、
a_x = A・Ex
a_y = A・Ey
A = a_x * Ex + a_y * Ey
　= (A・Ex) * Ex + (A・Ey) * Ey
となって、
　= A * (Ex・Ex) + A * (Ey・Ey)
　= 2 * A
にはならない。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/16 13:55

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/15 21:01

内積とはベクトルとベクトルの積で結果はスカラーなのだから

スカラーAx=1
と
ベクトルEx=(1,0)
の
積は内積ではないのだから
Ax・Ex
と書いてはいけません

スカラーAy=2
と
ベクトルEy=(0,1)
の
積は内積ではないのだから
Ay・Ey
と書いてはいけません

スカラーAx=1
と
ベクトルEx=(1,0)
の
積
AxEx
と書いて
ベクトルEx=(1,0) のスカラーAx=1　倍で結果はベクトル

AxEx=1(1,0)=(1,0)
になります

スカラーAy=2
と
ベクトルEy=(0,1)
の
積
AyEy
と書いて
ベクトルEy=(0,1)のスカラーAy=2　倍で結果はベクトル

AyEy=2(0,1)=(0,2)

になります


だから

A
=AxEx+AyEy
=1(1,0)+2(0,1)
=(1,0)+(0,2)
=(1,2)

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/15 21:20

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/15 19:57

ベクトルとスカラーをきちんと区別しましょう。

「ベクトル同士の内積」の結果は「スカラー」になります。

ベクトルに「→」を付けて、あなたの書いた内容を書き直せば

→A = (Ax, Ay) = (1, 2), →Ex = (1, 0), →Ey = (0, 1)
Ax = →A・→Ex
Ay = →A・→Ey

であり

Ax・→Ex = (Ax, 0)
Ay・→Ey = (0, Ay)
なので
　→A = (Ax, Ay) = (Ax, 0) + (0, Ay)
　　　= Ax・→Ex + Ay・→Ey
　　　= (→A・→Ex, →A・→Ey)
　　　= ※

ですが、

→A・→Ex = Ax = 1
→A・→Ey = Ay = 2
なので
　※ = (1, 2)
で何の不思議もありません。

→A・→Ex・→Ex = (→A・→Ex)・→Ex = Ax・→Ex = (Ax, 0)
→A・→Ey・→Ey = (→A・→Ey)・→Ey = Ay・→Ey = (0, Ay)

であり、あなたの式の最終行は
　→A・→Ex・→Ex + →A・→Ey・→Ey = (Ax, Ay) = →A ≠ 2・→A
です。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/15 21:20