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=exp(x)
を証明してくだされ。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    テイラー展開はだめ!!!
    そこに証明されるべきことがすでに使われているよ―――ん
    つまり質問の微分則が・・・

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/17 21:11
  • どう思う?

    lim(n->∞)(1+x/n)^n

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/17 21:35
  • どう思う?

    eの定義式がつかわれているよーーん「
    ここね!

    https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/othe …

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/17 21:56
  • それがテイラー展開なのよ!

    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/17 22:23
  • うーん・・・

    >exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
    何の問題もない。
    この立場をとる解析の教科書は多い。
    ーー>
    なるほど・・・
    アザッス!
    ありがとう・・・

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 11:37
  • なるほどです・・・
    では、こゆのはどですか?

    「exp(x)の微分が」の補足画像6
    No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 11:45
  • こゆ証明はどうですか?

    「exp(x)の微分が」の補足画像7
      補足日時:2024/12/18 11:47
  • どう思う?

    なるほどです・・・
    こゆのはどうですか?

    「exp(x)の微分が」の補足画像8
    No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 11:50
  • うーん・・・

    なるほどです

    No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 11:51
  • うーん・・・

    どうすればいいんですか?

    No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 20:01

A 回答 (15件中1~10件)

(1+h/n)^n=Σ[k=0~n](nCk)(h/n)^k


=1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
はテイラー展開ではなく
2項級数展開といいます
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう

了解っす!
わかりました・・・
パスカルの三角形ですね!

いずれにしても級数展開ですかね・・・

お礼日時:2024/12/20 19:40

(1+h/n)^n=Σ[k=0~n](nCk)(h/n)^k


=1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
はテイラー展開ではなく
2項展開といいます

(a+b)^n=Σ[k=0~n](nCk)(a^{n-k})(b^k)

a=1
b=h/n
とすると

(1+h/n)^n=Σ[k=0~n](nCk)(h/n)^k
=1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

2項展開です
    • good
    • 0
この回答へのお礼

助かりました

わかりました!!!
ありがとう・・・

お礼日時:2024/12/20 19:55

0<h<1



e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
≧1+h

e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]Σ[k=0~n](nCk)(h/n)^k
↓nCk≦n^kだから
≦lim[n→∞]Σ[k=0~n]h^k
↓初項1公比hの等比級数だから
=1/(1-h)


1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)

1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)

1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1

lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1

lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1


lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1

(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x
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    • 0
この回答へのお礼

>e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
ーー>
これはテイラー展開を使っている。
テイラー展開は微分から出てきたんだよ!
証明に証明されることを使っているんだよ。


ね!

お礼日時:2024/12/20 19:14

No.11 の計算は、既に No.8 が示している。

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    • 0
この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時:2024/12/20 07:51

0<h<1


1+h≦e^h
1-h≦e^{-h}
1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)

1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)

1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1

lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1

lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1


lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1

(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x
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この回答へのお礼

うーん・・・

0<h<1
1+h≦e^h
1-h≦e^{-h}

が不明なほかはOK・・・

お礼日時:2024/12/20 16:02

> どうすればいいんですか?



微分するというのは (d/dx) = lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h という極限操作。
lim[h→0] lim[n→∞] (なんたら) = lim[n→∞] lim[h→0] (なんたら) という
lim の交換が成り立つ (なんたら) の条件を考えれば、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つ条件も判る。

lim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。

要するに、f(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] | (1+x/n)^n - f(x) | = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの | (1+x/n)^n - f(x) | のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。
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    • 0
この回答へのお礼

助かりました

>lim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。

>要するに、f(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] | (1+x/n)^n - f(x) | = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの | (1+x/n)^n - f(x) | のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。
ーー>
なるへそ・・・

お礼日時:2024/12/20 07:50

> こゆ証明はどうですか?



話の持っていき方は悪くない。

が、その式変形を証明にするのなら、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x)
が成り立つための fn(x) の条件を挙げて、
fn(x) = (1+x/n)^n がそれを満たすことを示さねば
証明したことにならないよ。
この回答への補足あり
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微分を数列の極限で定義しなおすのは面倒なので


e の定義として
e = lim[t →0](1+t)^(1/t)
を採用すると

e^h -1 = t (t >-1)
h → 0 の時 t → 0
e^h -1 = t → h = log(t+1)
なので

(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= lim[h→0]e^x(e^h - 1)/h
= e^x・lim[t→0]t/log(t+1)
= e^x・1/log(lim[t→0](t+1)^(1/t))
= e^x・1/loge = e^x

e の定義として
y = a^x で x = 1 での微分係数 が a になる a を e
を採用すると

(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= e^(x-1)lim[h→0]{e^(1+h) - e^1}/h
= e^(x-1)・e = e^x
この回答への補足あり
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> それがテイラー展開なのよ!



exp(x) を「テイラー展開して」 = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k を得たのなら
循環論法になるが、
exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
何の問題もない。
この立場をとる解析の教科書は多い。

高校流の e^x の定義は、関数ができあがるまでの道のりが長くて、
話がゴチャゴチャしてかなわん。

微分方程式 (d/dx) f(x) = f(x), f(1) = e の解のことを f(x) = exp(x) と定義する
立場すらある(たぶん、No.1 はこの話をしている)が、
この質問に対しては流石に木で鼻をくくったようなので、No.2 の立場をとってみた。
この回答への補足あり
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#4の方法は完全な証明でない。

私の知る限り#2の方法しかない。
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この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時:2024/12/18 11:33

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