No.13
- 回答日時:
0<h<1
e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
≧1+h
e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]Σ[k=0~n](nCk)(h/n)^k
↓nCk≦n^kだから
≦lim[n→∞]Σ[k=0~n]h^k
↓初項1公比hの等比級数だから
=1/(1-h)
∴
1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)
1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)
1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1
∴
lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1
lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1
∴
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1
(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x
>e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2~n](nCk)(h/n)^k
ーー>
これはテイラー展開を使っている。
テイラー展開は微分から出てきたんだよ!
証明に証明されることを使っているんだよ。
ね!
No.11
- 回答日時:
0<h<1
1+h≦e^h
1-h≦e^{-h}
1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)
1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)
1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1
∴
lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1
lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1
∴
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1
(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x
No.10
- 回答日時:
> どうすればいいんですか?
微分するというのは (d/dx) = lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h という極限操作。
lim[h→0] lim[n→∞] (なんたら) = lim[n→∞] lim[h→0] (なんたら) という
lim の交換が成り立つ (なんたら) の条件を考えれば、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つ条件も判る。
lim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。
要するに、f(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] | (1+x/n)^n - f(x) | = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの | (1+x/n)^n - f(x) | のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。
>lim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。
>要するに、f(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] | (1+x/n)^n - f(x) | = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの | (1+x/n)^n - f(x) | のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。
ーー>
なるへそ・・・
No.9
- 回答日時:
> こゆ証明はどうですか?
話の持っていき方は悪くない。
が、その式変形を証明にするのなら、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x)
が成り立つための fn(x) の条件を挙げて、
fn(x) = (1+x/n)^n がそれを満たすことを示さねば
証明したことにならないよ。
No.8
- 回答日時:
微分を数列の極限で定義しなおすのは面倒なので
e の定義として
e = lim[t →0](1+t)^(1/t)
を採用すると
e^h -1 = t (t >-1)
h → 0 の時 t → 0
e^h -1 = t → h = log(t+1)
なので
(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= lim[h→0]e^x(e^h - 1)/h
= e^x・lim[t→0]t/log(t+1)
= e^x・1/log(lim[t→0](t+1)^(1/t))
= e^x・1/loge = e^x
e の定義として
y = a^x で x = 1 での微分係数 が a になる a を e
を採用すると
(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= e^(x-1)lim[h→0]{e^(1+h) - e^1}/h
= e^(x-1)・e = e^x
No.7
- 回答日時:
> それがテイラー展開なのよ!
exp(x) を「テイラー展開して」 = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k を得たのなら
循環論法になるが、
exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
何の問題もない。
この立場をとる解析の教科書は多い。
高校流の e^x の定義は、関数ができあがるまでの道のりが長くて、
話がゴチャゴチャしてかなわん。
微分方程式 (d/dx) f(x) = f(x), f(1) = e の解のことを f(x) = exp(x) と定義する
立場すらある(たぶん、No.1 はこの話をしている)が、
この質問に対しては流石に木で鼻をくくったようなので、No.2 の立場をとってみた。
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