ｅｘｐ（ｘ）の微分が

＝ｅｘｐ（ｘ）
を証明してくだされ。

質問者からの補足コメント

• 

  テイラー展開はだめ！！！
  そこに証明されるべきことがすでに使われているよ―――ん
  つまり質問の微分則が・・・

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:11

• 

  ｌｉｍ（ｎ－＞∞）（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:35

• 

  ｅの定義式がつかわれているよーーん「
  ここね！
  
  https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/othe …

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:56

• それがテイラー展開なのよ！

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 22:23

• 

  ＞exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
  何の問題もない。
  この立場をとる解析の教科書は多い。
  ーー＞
  なるほど・・・
  アザッス！
  ありがとう・・・

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:37

• なるほどです・・・
  では、こゆのはどですか？

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:45

• こゆ証明はどうですか？

  
    補足日時：2024/12/18 11:47

• 

  なるほどです・・・
  こゆのはどうですか？

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:50

• 

  なるほどです

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:51

• 

  どうすればいいんですか？

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 20:01

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/17 22:12

＞ テイラー展開はだめ！！！

＞ そこに証明されるべきことがすでに使われているよ―――ん

No.2 にテイラー展開は出てこんよ。
冪級数で超越関数を定義するのは、普通のこと。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/17 21:47

概略

https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibu …

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/17 21:30

>そこに証明されるべきことがすでに使われているよ―――ん<

●全然です。

ちなみに、あなたの e^x の定義はなんすか?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/17 20:38

定義から素直に行く。

まず、指数関数の定義は exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k.
冪級数の収束は収束円の内部で広義一様収束だが、
この右辺の級数の収束半径は、ダランベールの判定法で
lim[k→∞] ｜ (1/k!) / (1/(k+1)!) ｜ = lim[k→∞] (k+1) = +∞.
よって、｜x｜ < +∞ の範囲で広義一様収束する。

一様収束する級数は項別微分可能だから、
(d/dx)exp(x) = (d/dx)Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k
　　　　　　= (d/dx){ 1 + Σ[k=1→∞] (1/k!)x^k }
　　　　　　= (d/dx)1 + (d/dx)Σ[k=1→∞] (1/k!)x^k
　　　　　　= 0 + Σ[k=1→∞] (1/k!) (d/dx)x^k
　　　　　　= Σ[k=1→∞] (1/k!) kx^(k-1)
　　　　　　= Σ[k=1→∞] (1/(k-1)!)x^(k-1)
　　　　　　= Σ[j=0→∞] (1/j!)x^j
　　　　　　= exp(x).

個人的に、技巧を尽くさない
こういう素朴で素直な計算が好きだ。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/17 20:36

と言うよりそうなる数の事をeとしたわけです。

この回答へのお礼

ホント！！！
嘘！！！

お礼日時：2024/12/17 21:04