ｅｘｐ（ｘ）の微分が

＝ｅｘｐ（ｘ）
を証明してくだされ。

質問者からの補足コメント

• 

  テイラー展開はだめ！！！
  そこに証明されるべきことがすでに使われているよ―――ん
  つまり質問の微分則が・・・

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:11

• 

  ｌｉｍ（ｎ－＞∞）（１＋ｘ／ｎ）＾ｎ

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:35

• 

  ｅの定義式がつかわれているよーーん「
  ここね！
  
  https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/othe …

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 21:56

• それがテイラー展開なのよ！

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 22:23

• 

  ＞exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
  何の問題もない。
  この立場をとる解析の教科書は多い。
  ーー＞
  なるほど・・・
  アザッス！
  ありがとう・・・

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:37

• なるほどです・・・
  では、こゆのはどですか？

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:45

• こゆ証明はどうですか？

  
    補足日時：2024/12/18 11:47

• 

  なるほどです・・・
  こゆのはどうですか？

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:50

• 

  なるほどです

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:51

• 

  どうすればいいんですか？

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 20:01

No.14 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/20 19:31

(1+h/n)^n=Σ[k=0～n](nCk)(h/n)^k

=1+h+Σ[k=2～n](nCk)(h/n)^k
はテイラー展開ではなく
2項級数展開といいます

この回答へのお礼

了解っす！
わかりました・・・
パスカルの三角形ですね！

いずれにしても級数展開ですかね・・・

お礼日時：2024/12/20 19:40

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/20 19:38

(1+h/n)^n=Σ[k=0～n](nCk)(h/n)^k

=1+h+Σ[k=2～n](nCk)(h/n)^k
はテイラー展開ではなく
2項展開といいます

(a+b)^n=Σ[k=0～n](nCk)(a^{n-k})(b^k)

a=1
b=h/n
とすると

(1+h/n)^n=Σ[k=0～n](nCk)(h/n)^k
=1+h+Σ[k=2～n](nCk)(h/n)^k

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
は
2項展開です

この回答へのお礼

わかりました！！！
ありがとう・・・

お礼日時：2024/12/20 19:55

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/20 18:55

0<h<1

e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2～n](nCk)(h/n)^k
≧1+h

e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]Σ[k=0～n](nCk)(h/n)^k
↓nCk≦n^kだから
≦lim[n→∞]Σ[k=0～n]h^k
↓初項1公比hの等比級数だから
=1/(1-h)

∴
1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)

1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)

1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1
∴
lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1

lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1

∴
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1

(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x

この回答へのお礼

＞e^h
=lim[n→∞](1+h/n)^n
=lim[n→∞]1+h+Σ[k=2～n](nCk)(h/n)^k
ーー＞
これはテイラー展開を使っている。
テイラー展開は微分から出てきたんだよ！
証明に証明されることを使っているんだよ。


ね！

お礼日時：2024/12/20 19:14

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/19 17:33

No.11 の計算は、既に No.8 が示している。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/20 07:51

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/19 17:05

0<h<1

1+h≦e^h
1-h≦e^{-h}
1+h≦e^h≦1/(1-h)
h≦(e^h)-1≦1/(1-h)-1=h/(1-h)

1≦{(e^h)-1}/h≦1/(1-h)

1≦lim[h→+0]{(e^h)-1}/h≦lim[h→+0]1/(1-h)=1
∴
lim[h→+0]{(e^h)-1}/h=1

lim[h→-0]{(e^h)-1}/h
=lim[h→+0]{e^{-h}-1}/-h
=lim[h→+0]{(1/e^h)-1}/-h
=lim[h→+0]{1-(1/e^h)}/h
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/(he^h)
=lim[h→+0]{(e^h)-1}/h
=1

∴
lim[h→0]{(e^h)-1}/h=1

(e^x)'
=lim[h→0](e^{x+h}-e^x)/h
=(e^x)lim[h→0]{(e^h)-1}/h
=e^x

この回答へのお礼

0<h<1
1+h≦e^h
1-h≦e^{-h}

が不明なほかはOK・・・

お礼日時：2024/12/20 16:02

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/19 10:17

＞ どうすればいいんですか？

微分するというのは (d/dx) = lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h という極限操作。
lim[h→0] lim[n→∞] (なんたら) = lim[ｎ→∞] lim[ｈ→0] (なんたら) という
lim の交換が成り立つ (なんたら) の条件を考えれば、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つ条件も判る。

lim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。

要するに、ｆ(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] ｜ (1+x/n)^n - f(x) ｜ = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの ｜ (1+x/n)^n - f(x) ｜ のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。

この回答へのお礼

＞ｌim の交換は、どちらかの順番で内側の lim の収束が
外側の lim の変数について一様収束であれば成り立つことが知られている。
そのことを使って、 lim[n→∞] fn(x) の収束が x について一様なら
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x) が成り立つことも示せる。
この辺の話は、解析の教科書には必ず出てくる。

＞要するに、ｆ(x) = lim[n→∞] (1+x/n)^n の収束が x について一様
であることを示めせばよい。ただし、その具体的な証明は、あまり易しくはない。
一様収束の定義には、εδ論法による基本的なものや、
lim[n→∞] sup[x] ｜ (1+x/n)^n - f(x) ｜ = 0 を使った特徴づけなどがあるが、
いづれにせよ n が大きいときの ｜ (1+x/n)^n - f(x) ｜ のふるまいを考察する。
これから f(x) を定義しようという場面では、 f(x) の持つ性質がまだほとんど
使えないため、これは難儀だ。
ーー＞
なるへそ・・・

お礼日時：2024/12/20 07:50

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/18 13:55

＞ こゆ証明はどうですか？

話の持っていき方は悪くない。

が、その式変形を証明にするのなら、
(d/dx) lim[n→∞] fn(x) = lim[n→∞] (d/dx) fn(x)
が成り立つための fn(x) の条件を挙げて、
fn(x) = (1+x/n)^n がそれを満たすことを示さねば
証明したことにならないよ。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/18 09:55

微分を数列の極限で定義しなおすのは面倒なので

e の定義として
e = lim[t →0](1+t)^(1/t)
を採用すると

e^h -1 = t (t >-1)
h → 0 の時 t → 0
e^h -1 = t → h = log(t+1)
なので

(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= lim[h→0]e^x(e^h - 1)/h
= e^x・lim[t→0]t/log(t+1)
= e^x・1/log(lim[t→0](t+1)^(1/t))
= e^x・1/loge = e^x

e の定義として
y = a^x で x = 1 での微分係数 が a になる a を e
を採用すると

(e^x)' = lim[h→0]{e^(x+h) - e^x}/h
= e^(x-1)lim[h→0]{e^(1+h) - e^1}/h
= e^(x-1)・e = e^x

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/18 07:41

＞ それがテイラー展開なのよ！

exp(x) を「テイラー展開して」 = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k を得たのなら
循環論法になるが、
exp(x) = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k で exp(x) を定義して話を始めるぶんには
何の問題もない。
この立場をとる解析の教科書は多い。

高校流の e^x の定義は、関数ができあがるまでの道のりが長くて、
話がゴチャゴチャしてかなわん。

微分方程式 (d/dx) f(x) = f(x), f(1) = e の解のことを f(x) = exp(x) と定義する
立場すらある(たぶん、No.1 はこの話をしている)が、
この質問に対しては流石に木で鼻をくくったようなので、No.2 の立場をとってみた。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/18 05:12

#4の方法は完全な証明でない。

私の知る限り#2の方法しかない。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/18 11:33