
No.4
- 回答日時:
放物線
y=2+x-x^2=(x+1)(2-x)
点(2,0)を通る直線Lの傾きをaとすると
y=a(x-2)
放物線
y=(x+1)(2-x)
と
x軸に囲まれた図形の面積をSとすると
S
=∫[-1~2](x+1)(2-x)dx
=-∫[-1~2](x+1)(x-2)dx
↓t=x+1とすると
=-∫[0~3]t(t-3)dx
=-∫[0~3](t^2-3t)dx
=-[t³/3-3t^2/2][0~3]
=-[3³/3-3³/2]
=-3³/3+3³/2
=3³(1/2-1/3)
=3³/6
放物線
y=(x+1)(2-x)
と
直線L
y=a(x-2)
の
交点を(x,y)とすると
a(x-2)=y=(x+1)(2-x)
(x+1)(x-2)+a(x-2)=0
(x+a+1)(x-2)=0
x=-a-1.または.x=2
x=-a-1のときy=a(-a-3)
x=2のときy=0
交点は
(-a-1,a(-a-3)),(2,0)
放物線
y=(x+1)(2-x)
と直線L
y=a(x-2)
で囲まれた図形の面積はS/2だから
3³/6/2
=S/2
=∫[-a-1~2]{(x+1)(2-x)-a(x-2)}dx
=∫[-a-1~2]{(x+1)(2-x)+a(2-x)}dx
=∫[-a-1~2]{(x+a+1)(2-x)}dx
=-∫[-a-1~2]{(x+a+1)(x-2)}dx
↓t=x+a+1 とすると
=-∫[0~a+3]{t(t-a-3)}dt
=-∫[0~a+3]{t^2-(a+3)t}dt
=-[t³/3-(a+3)t^2/2][0~a+3]
=-[(a+3)³/3-(a+3)³/2]
=-(a+3)³/3+(a+3)³/2
=(a+3)³(1/2-1/3)
=(a+3)³/6
∴
2(a+3)³/6=3³/6
2(a+3)³=3³
{(a+3)/3}^3=1/2
a/3+1=(1/2)^(1/3)
a+3=3(1/2)^(1/3)
a=3{(1/2)^{1/3}-1}
No.3
- 回答日時:
y=2+x-x^2 = - (x-2)(x+1)=f(x) ...................(1) より
放物線とx軸で囲まれた面積Sは
S=∫ ‐1→2 (2+x-x^2)dx= ‐(1/6)(-1) (2-(-1))^3 = 3^3 /6
一方
点(2,0)を通る傾きaの直線は
y=a(x-2) +0 =a(x-2) ......................................(2)
(1)と(2)で囲まれた面積S1は
- (x-2)(x+1) - a(x-2)=(x-2)( -x-1-a) = - (x-2)(x+1+a) より
S1=∫ ‐1-a→2 - (x-2)(x+1+a) dx
= -(1/6)(-1)(2-(-1-a))^3
=(a+3)^3 /6
であり その2倍の面積がSになるからです!
単に 1/6公式を使っただけですね!
No.2
- 回答日時:
どこからって...計算すれば普通に出てくるんですけど。
∫[α,β] (x-α)(x-β) dx = (-1/6)(β-α)³ が成り立ちます。
高校では「1/6公式」と呼ばれることが多い、暗記不要の駄公式です。
導出は簡単で、u = x-α で置換すれば
∫[α,β] (x-α)(x-β) dx = ∫[0,β-α] u(u+α-β) du
= [ (1/3)u³ + (α-β)(1/2)u² ]_{u=0→β-α}
= (1/3)(β-α)³ - (β-α)(1/2)(β-α)²
= (-1/6)(β-α)³
と計算できます。
放物線 y = -x²+x+2 と x軸 y = 0 が囲む領域の面積 S₁ は、
-x²+x+2 = -(x+1)(x-2) より
S₁ = ∫[-1,2] -(x+1)(x-2) dx
= (-1/6)(-1){ 2 - (-1) }³
= 9/2.
点(2,0) は放物線と x軸の交点の右側のほうで、
ここを通り傾き a の直線 L は
y = a(x-2).
(-x²+x+2) - a(x-2) = -(x+1+a)(x-2) より、
L が S₁ を分割した右側のピースの面積 S₂ は
S₂ = ∫[-1-a,2]{ -(x+1+a)(x-2) }dx
= (-1/6)(-1){ 2 - (-1-a) }³
= (1/6)(a+3)³.
S₂ が S₁ の 1/2 になる a を求めろという話なので、
(1/6)(a+3)³ = (1/2)(9/2) を解いて
a = -3 + 3 / ³√2.
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