積分の問題

解説には「lの傾きをaとすると2(a+3)³/6=3³/6」って書いてるんですが、(a+3)³がどこからでてきたのか分かりません

No.1 ベストアンサー 回答者： himagene 回答日時： 2025/04/08 10:31

手書きの図で直線の式が違っていませんか。

点の座標を表すときは特に断りがなければ、(x,y)です。手書きの図は(0,2)を通る直線。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/08 17:39

放物線が(2, 0), (-1, 0)を通ることに気づけば

直線も(2, 0)を通るから
面積計算は簡単になるよね。
あとはもりもり計算するだけ。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/08 13:59

放物線

y=2+x-x^2=(x+1)(2-x)

点(2,0)を通る直線Lの傾きをaとすると
y=a(x-2)

放物線
y=(x+1)(2-x)
と
x軸に囲まれた図形の面積をSとすると

S
=∫[-1～2](x+1)(2-x)dx
=-∫[-1～2](x+1)(x-2)dx

↓t=x+1とすると

=-∫[0～3]t(t-3)dx
=-∫[0～3](t^2-3t)dx
=-[t³/3-3t^2/2][0～3]
=-[3³/3-3³/2]
=-3³/3+3³/2
=3³(1/2-1/3)
=3³/6

放物線
y=(x+1)(2-x)
と
直線L
y=a(x-2)
の
交点を(x,y)とすると
a(x-2)=y=(x+1)(2-x)
(x+1)(x-2)+a(x-2)=0
(x+a+1)(x-2)=0

x=-a-1.または.x=2
x=-a-1のときy=a(-a-3)
x=2のときy=0
交点は
(-a-1,a(-a-3)),(2,0)


放物線
y=(x+1)(2-x)
と直線L
y=a(x-2)
で囲まれた図形の面積はS/2だから

3³/6/2
=S/2
=∫[-a-1～2]{(x+1)(2-x)-a(x-2)}dx
=∫[-a-1～2]{(x+1)(2-x)+a(2-x)}dx
=∫[-a-1～2]{(x+a+1)(2-x)}dx
=-∫[-a-1～2]{(x+a+1)(x-2)}dx

↓t=x+a+1 とすると

=-∫[0～a+3]{t(t-a-3)}dt
=-∫[0～a+3]{t^2-(a+3)t}dt
=-[t³/3-(a+3)t^2/2][0～a+3]
=-[(a+3)³/3-(a+3)³/2]
=-(a+3)³/3+(a+3)³/2
=(a+3)³(1/2-1/3)
=(a+3)³/6

∴
2(a+3)³/6=3³/6

2(a+3)³=3³
{(a+3)/3}^3=1/2
a/3+1=(1/2)^(1/3)
a+3=3(1/2)^(1/3)
a=3{(1/2)^{1/3}-1}

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2025/04/08 13:34

y=2+x-x^2 = - (x-2)(x+1)=f(x) ...................(1)　より

放物線とx軸で囲まれた面積Sは
S=∫　‐１→２　（２＋x－x＾２）ｄｘ＝　‐（１/6）（－１）　（２－（－１））＾３　＝　３＾３　/6
一方
点（２，０）を通る傾きaの直線は
y=a(x-2) +0 =a(x-2) ......................................(2)

(1)と(2)で囲まれた面積S1は
- (x-2)(x+1) - a(x-2)=(x-2)( -x-1-a) = - (x-2)(x+1+a) より
Ｓ１=∫　‐１－ａ→２　 - (x-2)(x+1+a)　ｄｘ
　　＝　－（１／６）（－１）（２－（－１－ａ））＾３
　　＝（ａ＋３）＾３　/6
であり　その２倍の面積がＳになるからです！
単に　１/６公式を使っただけですね！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/08 13:15

どこからって...計算すれば普通に出てくるんですけど。

∫[α,β] (x-α)(x-β) dx = (-1/6)(β-α)³ が成り立ちます。
高校では「1/6公式」と呼ばれることが多い、暗記不要の駄公式です。
導出は簡単で、u = x-α で置換すれば
∫[α,β] (x-α)(x-β) dx = ∫[0,β-α] u(u+α-β) du
　　　　　　　　　　　= [ (1/3)u³ + (α-β)(1/2)u² ]_{u=0→β-α}
　　　　　　　　　　　= (1/3)(β-α)³ - (β-α)(1/2)(β-α)²
　　　　　　　　　　　= (-1/6)(β-α)³
と計算できます。

放物線 y = -x²+x+2 と x軸 y = 0 が囲む領域の面積 S₁ は、
-x²+x+2 = -(x+1)(x-2) より
S₁ = ∫[-1,2] -(x+1)(x-2) dx
　　= (-1/6)(-1){ 2 - (-1) }³
　　= 9/2.

点(2,0) は放物線と x軸の交点の右側のほうで、
ここを通り傾き a の直線　L は
y = a(x-2).

(-x²+x+2) - a(x-2) = -(x+1+a)(x-2) より、
L が S₁ を分割した右側のピースの面積 S₂ は
S₂ = ∫[-1-a,2]{ -(x+1+a)(x-2) }dx
　　= (-1/6)(-1){ 2 - (-1-a) }³
= (1/6)(a+3)³.

S₂ が S₁ の 1/2 になる a を求めろという話なので、
(1/6)(a+3)³ = (1/2)(9/2) を解いて
a = -3 + 3 / ³√2.