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2元1次不定方程式89x+29y=-20の整数解として現れるxの値のうち、正のものを小さい順にx1、x2、x3…とする。このとき、自然数mに対して、xmをmで表せ。

解説お願いします!

A 回答 (3件)

89 と 29 で互除法をして、


89 = 29×3 + 2, ←[*]
29 = 2×14 + 1,
2 = 1×2 + 0.
最大公約数は 1 と判る。

[*] を 10 倍して 89x+29y = -20 に足せば
89(x+10) = 29(-y+30).

89 と 29 が互いに素だから、
x+10 = 29k,
-y+30 = 89k. (kは整数)
が一般解となる。

x = 29k - 10 のうち x が正であるものは、
k ≧ 1 のもの。よって、m = k でよい。
xm = 29m - 10.
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この回答へのお礼

一番よく分かったのでベストアンサーにさせていただきます!ありがとうございました!

お礼日時:2019/03/27 20:37

掛けるの記号を ( * ) で表します。


x, y を自然数とします。
89x+29y=-20 ・・・① 、
89=29*3+2 → -89+29*3=-2 ,
両辺を 10倍します → -89*10+29*3*10=-20 ・・・② 。
①-② 89(x+10)+29(y-30)=0 → 89(x+10)=-29(y-30) 、
89 と 29 は 互いに素であるから、(x+10)=29k と置くことが出来ます。
x が自然数ですから、k も自然数になりますから、k=m とすることが出来ます。
従って、Xm=29m-10 となります。(因みに Ym=30-89m です。)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!分かりやすかったです!

お礼日時:2019/03/27 20:36

9x+29y=-20の解は(280-29k,-860+89k)[kは任意の整数]



xの正のものは、上でk=9,8,7,6,5・・・・を代入したものだから
x1=19
x2=48
x3=77
x4=106
x5=135

xは280-29kなんだから、xnの公差は29。

x1、x2・・・は初項19、公差29の等差数列

∴xm=19+29(m-1)
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