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下の図において、点Oは△ABCの外心である。α、βを求めよ。 の問題で、これ↓が簡単に解ける式
を知りたいです。解説も入れて下さいると助かります。

「下の図において、点Oは△ABCの外心であ」の質問画像

A 回答 (2件)

下図のようになっています


補助線赤をひくと
OA,OB,OCはともに半径ですから長さは同じです。
よって△OAB,△OBC,△OCAはそれぞれ2等辺三角形となります。
従って赤で示した角度が15°と50°であることが分かります。
次いで△ABCの内角の和から緑で示した部分は25が分かります。(50+50+15+15+25+25=180)
これらのことからα=15+50=65°
β=180-25-25=130です。
円周角の定理からβ=2αであることに気が付ければ
αが分かった時点で
β=2x65=130°となることが分かります。
「下の図において、点Oは△ABCの外心であ」の回答画像2
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OとCの間に補助線を引く。


外心の性質からOA=OB=OCである。
従って三角形OACと三角形OBCは二等辺三角形である。
二等辺三角形の脚の角度が等しいことから
α=15゜+50゜=65゜

円周角の二倍が弧の中心角であることから
β=2α=130゜
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