至急 a²b＋a－b－1 の因数分解の解き方を教えてください

至急
a²b＋a－b－1
の因数分解の解き方を教えてください

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/07 09:03

>『次数の低い文字について整理する』と

aに関して２次式だから、aで整理すれば絶対因数分解できるからね～

何に最初に目をつけるかということだと思う。

No.12 回答者： AっKI 回答日時： 2025/05/05 18:01

こういうとき

『次数の低い文字について整理する』と
やりやすいと習いませんでしたか？

ここの回答を見てもこれを指摘されている方があまりいないので
今はそういう教え方をしないのかな、と思ってみたり・・・

No.11 回答者： finalbento 回答日時： 2025/05/03 11:13

せっかくなので本題についても書くと、まずは「一発で正解にたどり着こう」と言う考えを捨てて下さい。

因数分解は「うまく行きそうな方法をいろいろ試してみる」と言うのが基本的なやり方です。

まず1項目と2項目の

a^2b+a

からaをくくり出してみます。すると

a(ab+1)

となりますが、これだと残りの

-b-1

と共通している部分はなさそうですね。なので今度は1項目と3項目の

a^2b-b

を考えます。するとbでくくり出せそうなので

b(a^2-1)=b(a+1)(a-1)

これと残った

a-1

を合わせると

b(a+1)(a-1)+a-1

a-1でくくり出せるので

(a-1){b(a+1)+1}

=(a-1)(ab+b+1)

これで因数分解できた事になります。繰り返しになりますが「いろいろ試してみる」と言うのが大事です。

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2025/05/02 13:42

本題からは外れますが、質問文の中の「因数分解の解き方」と言う書き方は間違っています。

因数分解は「行う」ものであって「解く」ものではありません。数学において「解く」と言うのは「方程式や不等式の解を求める」と言う意味であって、数学の問題を解く事を何でもかんでも「解く」と言うわけではありません。もし因数分解について「解く」と言う表現を使いたいのであれば「因数分解の問題の解き方」と書くべきです。「問題の」と言うフレーズをズボラして「因数分解の解き方」と言うのは数学として以前に日本語として間違っています。

「分かったらどっちでもええやん!」と思われたかもしれませんが、例えば「解く」とはどう言う意味かと言うのは基本概念の理解と言う意味で意外と重要です。基本概念の理解ができていないと「覚えなくてもいい公式を覚えないといけなくなる」など学習上も余計な手間がかかる場合があります。

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2025/05/01 21:24

f(a,b)=a²b＋a－b－1

f(1,b)=b+1-b-1=0 より
a=1 即ち　a-1=0 から
a-1 の因数があるので
f(a,b)=(a-1)(ab+b+1)

解説として
次項の最初に　ab とおけば　b a^2 と　-ab
ができるので　次の項に　+b にすれば　ab と　-b となり
ab が消えるから　あと　a-1 があればいいので　
最後の項は　+1　にすればいい!

まーー　次数の低い b でまとめるのが　定石ではあるが　!!

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/01 11:07

多項式は、根を見つけることで

因数定理によって因数分解できます。
根を持たないような多項式でも、
分解体上で一旦一次因子の積へ分解してから
因子を適当に掛け合わせて
基礎体上の因数分解へ加工すればいい。
実係数の多項式は、虚数解を共役対で持つから
対を掛け合わせれば実二次因子にまとまる
...という例のアレです。

質問の多項式 (a^2)b+a-b-1 は、
a について二次、b について一次ですから
根は容易に求まります。

a に着目するなら、
ba^2 + a + (-b-1) = 0 を a について解いて
a = { - 1 ± √(1 - 4b(-b-1)) }/(2b)
　= { - 1 ± √(4b^2+4b+1) }/(2b)
　= { - 1 ± (2b+1) }/(2b)
　= 1, (-b-1)/b
より、a の係数を考慮して
(a^2)b+a-b-1 = b{ a - 1 }{ a - (-b-1)/b }
　　　　　　= (a-1){ ba - (-b-1) }
　　　　　　= (a-1)(ab+b+1).

b に着目するなら、
(a^2)b + a - b - 1 = 0 を b について解いて
ｂ = { a - 1 }/{ a^2 - 1 }
　= 1/(a+1)
より、b の係数を考慮して
(a^2)b+a-b-1 = (a^2 - 1){ b - 1/(a+1) }
　　　　　　= (a+1)(a-1){ b - 1/(a+1) }
　　　　　　= (a-1){ (a-1)b - 1 }
　　　　　　= (a-1)(ab-b-1).

どちらでも、似たようなものです。
途中、分母≠0 を仮定しなければならない箇所が
ありますが、そのような分母は除外しておいて、
後で多項式の連続性から穴を埋めれば十分でしょう。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 09:18

もうひとつ。

思い付きで a = 1 を試してみる。
a²b＋a－b－1 = b + 1 - b - 1 = 0
だから、因数として (a-1) があることがわかる。
(a²b＋a－b－1)/(a-1) = ba+b+1
だから
a²b＋a－b－1 = (a-1)(ba+b+1)

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 08:39

一定の解き方があるとは思えないけど

まずは特定の文字に着目して係数を見て
タスキを試すのが定跡かな。

まず、aについて整理してみる
ba^2 + a + (- b - 1)
として、係数の関係からたすきでよさそうなものが
無いか試してみると
(b, b+1)
(1, -1)
は
b×1 →b
(b+1)×(-1) = -b -1
b×(-1) + (b+1)×1 = 1
となるので、よさそう。

よって、
ba^2 + a + (- b - 1) = (ba+b+1)(a-1)

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/01 08:32

「解き方」というよりは、「気づき」「推察」「ひらめき」「直感」みたいなものでしょう。

数多く経験することで養えます。

それで気づけなければ、あとは「試行錯誤」でドンくさく「ああでもない、こうでもない」とやってみることです。
数学の90％は、「公式に代入して一発解答」ではなく、「ドンくさく、試行錯誤しながら解決の道筋を探す」という行為です。

「a」とか「b」に着目して、共通するもので分けてみる、というのがとりあえずの「試行錯誤」でしょうか。

「a」に着目すれば
　a²b + a - b - 1
= a(ab + 1) - (b + 1)
う～ん、ここから先は見てこない。

「b」に着目すれば
　a²b + a - b - 1
= b(a² - 1) + (a - 1)
= b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)
こう書けば「(a - 1) でくくれる」とわかって
= (a - 1)[b(a + 1) + 1]
= (a - 1)(ab + b + 1)

そんな試行錯誤です。

No.4 回答者： isoworld 回答日時： 2025/05/01 08:25

すでに回答があるように、これは先ず a²b と －b に目を付けるところがポイントなんですよ。

そうすべきヒラメキは、勘と経験とセンスによります。それが十分にないと、解き方は思い付きません。