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今勉強している複素解析学の初歩のところで、ベキ級数の収束半径を求める問題についてお力をお借りしたいです。

テキストにあった問題「Σ(n!)z^nの収束半径は?(Σはn=0から∞まで)」でコーシー・アダマールの公式を使おうと思います。

n!のn乗根をここではn√nと書くことにして
n√n! = n√n・n√(n-1)・…・n√2・n√1
とn個の積だと考えて
それぞれはn→∞の極限で1に行くので、n√n!もn→∞の極限で1になると思い、公式から収束半径ρは1だと考えました。

ら、解答には収束半径は0とありました。そして「なぜならz≠0ならばn!|z^n|→∞が成り立つ」とあるのですが、納得できません。

自分の考え方は何が間違っているのでしょうか?よろしくお願いいたします。

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A 回答 (5件)

既に Tacosan さんと BO-BO-keshi さんのご回答がありますので


二番,三番煎じですが...

BO-BO-keshi さんご指摘のように,
積の因子の個数が一定ではなくて n 自身に依存しますから,
もっと慎重に扱わないといけません.
kokkoro さんの質問のやり方では,
一部の n だけ先に無限大にもって行ったことになっています.

x の n 乗根を TeX 流に \sqrt[n]{x} と書くことにします.
問題の式は
(1)  \sqrt[n]{n}・\sqrt[n]{n-1}・・・\sqrt[n]{2}・\sqrt[n]{1}
ですが,1つ1つの因子は1より大きいですから,
無限個掛ければ無限大に発散するとも言えることになります.

もっと極端な例を出すなら
n^2/n の n→∞ 極限を論じるとき,
分母の n だけ先に∞に持っていってしまえばゼロという極限値が
出ますが,これではまずいのは明らかです.
この極端例でこのような間違った計算をやる人はまずいませんが,
kokkoro さんのご質問の間違いも同種のものです.

上の極端例では分母と分子の振るまいが競合的になっています.
質問の例でも,1つの因子と因子の数の振る舞いがやはり競合的です.
BO-BO-keshi さんが説明されていますように,
どちらが勝つか,
あるいは同程度か(0 でも ∞ でもない)で,
極限値が異なることになります.
Tacosan さんの例を拡張してみると(a≠0)
(1+a/n)^n → e^a
{1+a/(n^2)}^n → 0
(1+a/√n)^n → ∞
というわけです(as n→∞).

ベキ級数の収束半径を与える二大有名公式が
コーシー・アダマールの公式とダランベールの公式ですが,
後者だともっと簡単に収束半径ゼロがわかるでしょう.

それから,係数を逆数にした
Σz^n/(n!)
は指数関数 e^z の展開になっていますが,
これはよく知られているように収束半径が∞です.
質問の Σ(n!)z^n が有限(ゼロでないという意味)の収束半径だと,
この事実と矛盾することになります.
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この回答へのお礼

詳しいご説明をありがとうございます。
もっと慎重に考えなくてはいけないということがわかりました。
もっと極限の概念を論理的に理解して納得しながら計算などができるようにしていかないと、と思いました。

話がそれてしまって恐縮ですが、ご説明中にあったダランベールの公式、とは「z^nの係数a_nとしたときに、|a_n|/|a_n-1|のn→∞での極限値があればそれが収束半径に等しい」というものでしたよね、この公式はn→∞での極限が0や∞でも使えるものなのですか??

お礼日時:2005/07/11 23:23

siegmund です.



> ご説明中にあったダランベールの公式、とは「z^nの係数a_nとしたときに、
> |a_n|/|a_n-1|のn→∞での極限値があればそれが収束半径に等しい」というものでしたよね、
> この公式はn→∞での極限が0や∞でも使えるものなのですか??

ダランベールの公式もコーシー・アダマールの公式も,
n→∞での極限が0や∞でも使えます.

No.4 で
> ベキ級数の収束半径を与える二大有名公式が
> コーシー・アダマールの公式とダランベールの公式ですが,
と書いたのですが,他に収束半径を与える公式はないような気がします.
収束発散の判定法はいろいろな数学者の名前がついた方法がありますが,
収束半径そのものを与える公式は,上の2つ以外ちょっと思い当たりません.
便乗ですが,どなたかご存知でしたらついでにご教示下さい.

この回答への補足

だいぶ質問してから日が経ってしまったので、残念ですが、ここで締め切ることにしました。

回答いただいた皆様、どうもありがとうございましたm(_ _)m

補足日時:2005/07/21 23:50
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この回答へのお礼

そうだったのですか、どうもありがとうございます。

僕も、収束半径を求める公式がほかにもあったら是非見てみたいので、このまましばらく締め切らずにおくことにします。

お礼日時:2005/07/16 20:16

こんばんは!



私も同じ事で悩んだ記憶があります。極限の考え方で間違っておられるのではないでしょうか?

極限の公式で
lim an・bn=lim an ・ lim bn
というのはありますが、これはあくまでも有限個の積に関して言える事で、質問文の式ではnを無限に大きくしてゆくと、積の個数も無限に増えていってしまいます。よってこの公式を適用できないというのが理由だと思います。

もっとこのことを直感的な言い方をしますと、
確かに個々は1に近づきますが、1に近づくと同時にそのかけられる個数が増えていくわけですから、そのその近づき方が弱いと、その個数の増え方に負けて、どんどん大きくなっていってしまうかもしれません。
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この回答へのお礼

直感的なご説明、わかりやすかったです。
もっと慎重に考えないといけませんね。
どうもありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2005/07/11 23:18

あ, ついでに:


n-th root of n! = (n-th root of n) (n-th root of (n-1)) ...
ですが, このそれぞれが n→∞ で 1 に収束するからといって「全部掛けて 1」としちゃダメです. なぜダメかは, (1+1/n)^n の n→∞ の極限を考えれば明らかかと.
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この回答へのお礼

確かにそうでしたね、簡単に考えすぎていました。もっと自分の計算や操作に自信をもっていけるようにしっかりと極限の概念などを勉強しようと思います。

ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2005/07/11 23:16

そもそも n! = n (n-1) (n-2) ... 1 ≧ (n/2)^(n/2) だから n-th root of n! ≧ √(n/2) ですよ.


もっと精密に評価するなら, Stirling の公式: n! ~ √(2π) n^(n+1/2) e^(-n) を使って
n-th root of n! ~ n/e.
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Q収束半径の求め方

Σ[0,∞]nz^(n^2)
の収束半径を求める問題なのですが,いまいちよく分かりません。

コーシーの収束判定法で求めるため,
まず一般項anを出そうと思い
どのように変形したら
Σ[0,∞]an*z^n
の形になるかを考えているのですが
一向に思い浮かびません(汗)

どなたかご教授してして下さるかた、お願いいたします。。

Aベストアンサー

n^(1/(2n)) は n→∞ で 1 に収束します. だから上極限と下極限も一致してその値は 1.
というか, 「収束半径を求める」ことが問題であるならどんな方法を取ってもいいわけで, あえてコーシーにこだわる必要もないのではないかと.
#1 でも書いたけど, |z| > 1 で発散することは見た目で明らかです. だから |z| < 1 のときにどうなるかを考えればいいんだけど,
Σ[0,∞] |nz^(n^2)| = Σ[0,∞] |n|×|z^(n^2)| ≦ Σ[0,∞] |√n|×|z^n|
が明らかで, 後者の級数は収束半径が 1 です (ダランベールの収束判定でもやってください). 従って元の級数も |z| < 1 で絶対収束します.

Q収束半径の求め方

y=a0Σn=0~∞(x^n/n!)
上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、
答えが、
r=lim n→∞|an/an+1|=lim n→∞(n+1)=∞
になることはわかっているのですが、
どのような考え方でこのようになるのかわかりません。
教えていただけましたら幸いです。
宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

「収束半径」の意味と #1 の等比級数のイメージがきちんと理解できていれば
「なぜ収束半径を求めるときには、これが逆になってlim n→∞|an/an+1|となるかわからない」
ということはないはずです.
等比級数だと思えば収束条件は |an+1x^(n+1) / an x^n| < 1 で, これを満たす x は |x| < |an/an+1| ですね.

Qべき級数の収束半径

べき級数の収束半径を求めよ。

1,Σn=1 ∞ ((-1)^n)*n*2^n*z^n
2,Σn=1 ∞ n^3*z^n
3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n
4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n

以上の問題がわかりません。教えてください。
あまりわかっていないので丁寧にお願いします。

Aベストアンサー

整級数 Σ{n=0~∞} a_n x^n の収束半径は

ρ = 1 / (lim{N→∞} sup{n≧N} |a_n|^(1/n)    …(i)

で定義されます。これにしたがって解いてもいいのですが、lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|が存在すれば

1 / ρ = lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|    …(ii)

が成り立ちますので、実際の問題を解くときには計算の楽なこちらを良く使います。
(ii)は「証明せよ」と指定のない限り、成り立つものとして使ってしまって大丈夫だと思います。
ご興味があれば証明を載せても良いのですが、あまり分かってらっしゃらないとの事なのでちょっと難解かもしれません。
ともあれ、解いて行きましょう。

1.
1 / ρ = lim{n→∞} |(-1)^n * n * 2^n|/|(-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-1)|
    = 2 * lim{n→∞} |n / (n - 1)|
    = 2
 ∴ρ = 1/2

2.
1 / ρ = lim{n→∞} |n^3 / (n - 1)^3|
    = 1
 ∴ρ = 1

3.
1 / ρ = lim{n→∞} |(2n + 1) / n! / ((2(n - 1) + 1)) / (n - 1)!|
    = lim{n→∞} |(1 / n) * (2 + 1 / n) / (2 - 1 / n)|
    = 0
 ∴ρ = ∞

4.
1 / ρ = lim{n→∞} |(((-1)^n) * n!) / ((-1)^(n - 1)) * (n - 1)!)|
    = lim{n→∞} |n|
    = ∞
 ∴ρ = 0

計算ミスがあったらごめんなさい。(i)と(ii)とで確認しているので結果はあってると思いますが。

整級数 Σ{n=0~∞} a_n x^n の収束半径は

ρ = 1 / (lim{N→∞} sup{n≧N} |a_n|^(1/n)    …(i)

で定義されます。これにしたがって解いてもいいのですが、lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|が存在すれば

1 / ρ = lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|    …(ii)

が成り立ちますので、実際の問題を解くときには計算の楽なこちらを良く使います。
(ii)は「証明せよ」と指定のない限り、成り立つものとして使ってしまって大丈夫だと思います。
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Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qテイラー展開とべき級数展開の違いは何ですか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

ずっとテイラー展開とべき級数展開は同じものであると思っていたのですが、
上記のページをみると
「第1種ベッセル関数はまた、X=0のまわりでのテイラー展開(非整数の に対しては、より一般にべき級数展開)によって定義することもできる。」
と書かれているのですが、
テイラー展開とべき級数展開ってどう違うのでしょうか?

Aベストアンサー

結論から言うと,その記事の言葉の用法がマイナーで,
通常は(原点中心の)テイラー展開とべき級数展開は同じ意味で使われます.

その記事のその部分では,ベッセル関数の級数展開がαが非整数だと
テイラー展開になっていない,ということを注意したかったのだと思います.
しかし,現状では不正確な書き方になっていて,
 (1) 負の整数に対してもテイラー展開にならない.
 (2) 非整数べきの現れる級数を単にべき級数と呼ぶことは少ない.
という2点を考慮して,適当に直すべきです.

ちなみにその記事は,英語版の記事を和訳したものですが,英語版では
 (a) 該当部は単に Taylor series expansion となっている.
 (b) integer or non-integer のコメントは,この文でないところに入っている.
という状況になっています.
きっと和訳した人が (a) はマズイと思って補足したのでしょうが,
そのときに (b) を誤って取り入れてしまい,こんなことになったのだと思います.

QΣ[n=0,∞] n! ・ z^nの収束半径を求めよ。

Σ[n=0,∞] n! ・ z^nの収束半径を求めよ。

…で答えが0になっています。これは、もしかして

Σ[n=0,∞] n!
=Σ[n=0,∞] n!/(n+1)! ←ダランベールの収束判定条件
=Σ[n=0,∞] 1/(n+1)
= 0

…だから、という説明で合っていますか?

Aベストアンサー

確かにダランベールの条件を使うのだが、使い方がおかしい。

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これを、a_n = n! * z^n に対して愚直に当てはめると、
| a_(n+1) / a_n | = (n+1)z 、
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だから、Σ[n=0,∞] n! * z^n は z が 0 のとき以外には収束しない。

Qヘアカラーの前に洗髪した方がいいの?

変な質問ですみませんが、よろしくお願いします。

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今週くらいに染めに行こうと思っているのですが、ふと気になってしまったので・・・
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Aベストアンサー

余程酷い汚れが無い限りヘアダイ(ヘアマニュキュアやヘナなどのように表面につくのではない、毛髪内部まで浸透して染毛する薬剤)をおこなう場合には、
洗髪後すぐにはおこなわない方が良いです(洗髪は前の晩などに)、
これはヘアダイにはパラフェニレンジアミン、フェニレンジアミンやタール系色素などの強いアレルギー反応を起こす可能性のある薬品が含まれている為、
洗髪によって皮脂が洗い流され、
水分によって角質層(皮膚の一番上層部にあるケラチンたんぱく質、異物や化学物質の浸透を防ぐ役割を持つ)がふやけて柔らかくなってしまい、
毛穴も開いた状態になり薬剤が体内に浸透しやすくなります(皮膚のバリアが無い状態になる為)、
このため体質によっては酷いアレルギーを起こし苦しまなくてはならない事が起こりえます(皮膚からの薬剤の浸透は主に毛穴からおきます)、
薬剤の注意書きにはパッチテスト後に使用する事となっていますし、
生理中や妊娠時の使用を控えるように書かれているはずです、

また洗髪直後の髪の毛は、
キューティクルが開いた状態になっているので、
ヘアダイによって毛髪内部のたんぱく質の流出も起こしやすく髪を傷める原因にもなります、
パーマ施術直後のヘアダイが推奨されないのも同じ理由によります、

ヘアダイの浸透力は相当に強いので、
一般の整髪料ぐらいでは影響を受けません、
ポマードが付いていても染まりますし、
一週間ぐらい洗髪していなくても染まります(アルカリの作用で毛髪を柔らかくして内部に浸透しますので)、
セメントの粉や鉄粉などヘアダイ液と化学反応を起こすようなモノが付着していない限り、
まず染まり方への影響は起こしません。

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これはヘアダイにはパラフェニレンジアミン、フェニレンジアミンやタール系色素などの強いアレルギー反応を起こす可能性のある薬品が含まれている為、
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Q証明問題

下記の証明問題(レポートなどではなく、ただ単に趣味で解いている程度のものですから問題ないと思われます)を解いていたのですが、いくら考えてもわからないので、どなたか解いてみていただけないでしょうか?


Vを計量線形空間、Wをその部分空間とする。Wの直交補空間をW⊥とするとき、VはWとW⊥の直和であることを証明しなさい。


以上です。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

dimW=rとして、W正規直交基底{e1,e2,・・・er}をとる。
Vの任意の元vに対し、
v1=Σ(vi,ei)ei、v2=v-v1 [Σ i=1,r]
とおく。
v1∈Wであり、ej(1≦j≦r)に対して、
(v2,ej)=(v-v1,ej)
    =(v,ej)-(Σ(v,ei)ei,ej) [Σ i=1、r]
    =(v,ej)-(v,ej)
    =0
v2は、Wの任意の元と直交する。
故に v2∈W⊥
よって、VはWとW⊥の和となる。
V=W+W⊥

W∩W⊥の元vをとれば、(v,v)=0であるから、v=0 となる。
よって、
W∩W⊥={0}
故に
V=W(+)W⊥    (+)・・・直和

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。


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