この世界は本当に３次元か？ もしそうなら、なぜ３次元なのか？

この現実の世界は（いわゆる時間軸を除いて），本当に３次元でしょうか？
直感的には３次元だとしても，それならなぜ３次元なのでしょうか？
「４」でも「２」でもなく，なぜ「３」なのでしょうか？
何か「正当な」理由があるのでしょうか？

それとも，これは単なる偶然であって，
ほかのどこかに４次元の世界や，２次元の世界とかが広がっているのでしょうか？

また，なぜ人間には，互いに直交する４本の直線が想像できないのでしょうか？
（いや，もしかすると，想像できる人がいるかもしれませんが・・・）
それは，単に想像しにくいだけで，答えを示されれば理解・納得するのでしょうか？
それとも，人間が３次元の存在なので，（その思考も制約されて）
３次元までしか想像できないという原理があるからなのでしょうか？
それとも，そもそも，そうした物（４次元）が存在しないからなのでしょうか・・・？

どうぞよろしくおねがいします。

No.1 回答者： piricara 回答日時： 2005/09/27 23:55

想像するのではなくて、

実際に空間内の面が互いに垂直になるように何面置けるか、がその空間次元になります。

数学の世界では、もっと高次元について研究がなされていますので、想像できないわけでは無いと思います。が、実際目で見れる形は作れないし、想像することもできないと思います。

ところで、次元というと、
ある一つの値を変化させても、他の値が変化しない場合、それらは異なる次元にある。ということができます。
空間内のある点の明るさを、変化させる方法はありますが、明るさを変化させたからといって、空間内の他の点に移動することは無いため、空間次元の３次元に加えて、明るさという別の次元があるという言い方もできます。

電球にかける電圧を変化させると、電球の明るさが変化します。この場合、電圧と明るさは同じ次元にあるといえます。

２次元世界や、４次元世界があるかについては、われわれが認識できる空間や物理法則と異なる形で次元を形成している部分が、宇宙内にある可能性はありますが、それを見つけ出すことは難しいと思います。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

やはり人間には、４次元は（目に見えるような形では）想像できませんかね？

「ある一つの値を変化させても、他の値が変化しない場合、それらは異なる次元にある。ということができます。」
ということですが、まさしく空間に対する「時間軸」などはそういった例でしょうね。

また、電球における「電圧と明るさ」についても、「１つの電球で、例えば温度なども一定」であれば、
確かに同じ次元と言ってもよいかもしれません。
しかし、もっと別の「次元の候補」を考えると、
例えば電球内の「温度」やフィラメントの「材質」といった別の「次元の候補」を考えると、
これらの「温度」や「材質」を変えることによって、
「電圧」を変えても「明るさ」を一定にすることは出来るでしょう。
ですから、こうした新たな「次元の候補」までを含めた「空間」で考えると、
「電圧」と「明るさ」は「異なる次元」とも言えるのではないでしょうか？
分かりませんが・・・

いずれにしろ、ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/09/28 00:18

No.2 回答者： DrONE 回答日時： 2005/09/28 01:21

なぜ３次元なのか？と問われたら，「ビッグバンのとき，そうなった」としか現在のところ答えられないでしょう。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

「ビッグバン」については詳しくありませんが、
なぜビッグバンのときに、例えば第４の次元の方向まで「爆発」して行かなかったのでしょうか・・・ね？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/28 01:33

No.3 回答者： SortaNerd 回答日時： 2005/09/28 03:41

10次元だそうです。

素粒子はひもに例えられますが、私たちが見ているのはそのひもが3次元と7次元をつないでいる3次元側だそうです。
残り7次元は"コンパクト"なので見えないそうです。
宇宙がビッグバン直後に膨張した時に3次元の見える次元と7次元の見えない次元が出来たそうです。

さっぱり分かりません。

きっと宇宙のでき方によっては4次元や2次元だったのでしょう。

http://www.aip.org/pnu/2005/split/745-1.html
http://www.excite.co.jp/world/english/web/

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。
色々と調べていただいたようで、参考のＵＲＬには翻訳用のページも付けていただき、
勉強になりました。

何となく、１０次元とかは聞いたことがあります。
例えば、細長いカーボン・ナノ・チューブ？のような物を考えると、
全体的には１次元に見えるが、よく見ると２次元構造をしていて、
さらにもっとその細部を見ると３次元の（原子から出来ている）構造をしていて、
さらにもっと細部は４次元の構造をしていて、・・・とか？？！

「ビッグバン」についても、高次元だと「初期のインフレーション的膨張？」も説明しやすいのでは？
つまり、３次元くらいなら相似比で２倍になったときでも、その容積比は８倍程度にしかなりませんが、
例えば１０次元なら相似比で２倍のとき、その容積比は２^10で１０００倍程度になりますからね！？？

思いつきで述べてすみません。
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/28 06:08

No.4 回答者： satoumasaru 回答日時： 2005/09/28 07:21

こんにちは、はじめまして、なかなか哲学的な問題ですね。

>この現実の世界は（いわゆる時間軸を除いて），本当に３次
>元でしょうか？　直感的には３次元だとしても，それならな
>ぜ３次元なのでしょうか？

この世の世界では３次元ではなく４次元です。空間は３次元ですがこれに時間の座標が加わりますから４次元時空です。これは相互に影響を与えますから、空間だけをきりとるのはどうかな？と思います。＃１様がおっしゃられている「電球の点滅」はまさに時間軸のなせるわざですものね。

空間が３次元というのはまちがいありません。物質の相互の働きは相互作用といいますが、ご存じだと思いますが４つあります。強い力、電磁力、弱い力、重力です。このなかで原子核以上の距離で働くのは、電磁力及び重力です。ところがこれは距離の逆２乗で働く力ですよね。そうなると空間は３次元になります。もし空間が４次元ならば、逆３乗になります。ですから空間的には３次元にはまちがいありません。

>「４」でも「２」でもなく，なぜ「３」なのでしょうか？
>何か「正当な」理由があるのでしょうか？

なぜ空間が３次元なのかというのはわかりません。おそらく宇宙誕生の時に私達の宇宙が４次元時空を選択したのでしょう。じゃあなぜ４次元時空なのか、これは現在も解明されていません。多くの学者が宇宙誕生の謎を研究していますが、まだ確立された議論はありません。重力理論でもっとも有力なのは一般相対論ですが（意外なようですが一般相対論は特殊相対論と異なり、正しいことが確立した理論ではありません）、極微の世界では一般相対論は通用しませんし、現在の量子力学では重力を取り扱えないからです。その統一理論の有力候補として「超弦理論」等があります。

>　なぜ人間には，互いに直交する４本の直線が想像できないのでしょうか？

やはりおっしゃられているとおり、３次元空間に生きているからでしょうね。要はある現象を記述するのにいくつの座標が必要なのかというのが次元ですから、数学的には１０次元であろうが、１００次元であろうが、いくらでもかまわないわけです。しかし空間は３次元ですよね。だから次元を空間という具体的なもので考えた場合は３次元しかイメージできないのはあたりまえといえばあたりまえなんです。

> 例えば、細長いカーボン・ナノ・チューブ？のような物を考えると、
> 全体的には１次元に見えるが、よく見ると２次元構造をしていて、
> さらにもっとその細部を見ると３次元の（原子から出来ている）構造をしていて、
> さらにもっと細部は４次元の構造をしていて、・・・とか？？！

そうですね。超弦理論では空間的には３次元以上の残りの次元はコンパクトにまとまっているといわれています。超弦理論では、次元数は１０次元という説もありますし、２６次元だという説もあります。このふたつのいずれかでないと安定しないそうです。

>「ビッグバン」についても、高次元だと「初期のインフレーション
>　的膨張？」も説明しやすいのでは？
>つまり、３次元くらいなら相似比で２倍になったときでも、その容
> 積比は８倍程度にしかなりませんが、例えば１０次元なら相似比で
>　２倍のとき、その容積比は２^10で１０００倍程度になりますからね！？？

おもしろい説ですが、次元がおおいからといって、それがそのまま３次元空間にはなおせないでしょう。ただ、超弦理論では残りの次元がコンパクトにまとまったため、エネルギーを放出してインフレーションがおこったと説明していますよ。　あたらずといえども遠からずでは？

この回答へのお礼

詳しく丁寧なご回答をありがとうございました。

「電磁力及び重力は距離の逆２乗で働く力ですので、空間は３次元になります。
もし空間が４次元ならば、逆３乗になります。ですから空間的には３次元にはまちがいありません。」
なるほど、そういう説明もあるのですね。
ただ、電磁力や重力に言及するまでもなく、この宇宙には直交する４方向はないと思われますから、
確かに３次元でしょうね。

ただ、この世界が３次元だから、
「次元を空間という具体的なもので考えた場合は、３次元しかイメージできないのは、
あたりまえといえばあたりまえなんです。」
というのは、ちょっと分からないのですが・・・
つまり、「想像は出来るけれども、実際には存在しないもの」というのは沢山ある気がしますから、
「現実にあるのが３次元だけだから、それ以上にはイメージできない」
という感じはどうもよく分からないのですが・・・

なお、ビッグバン直後の「インフレーション的膨張」について、
「超弦理論では、残りの次元がコンパクトにまとまったためエネルギーを放出してインフレーションがおこった、
と説明していますよ。」
とのことで、面白いなと思いました。

いずれにしろ、この世界がなぜ３次元であるのかは未だ説明できていない、ということですね。
ありがとうございました！

お礼日時：2005/09/28 21:57

No.5 回答者： kobarero 回答日時： 2005/09/28 19:59

「この世界は３次元か？」いう問いは、ある人の写真を撮って、「この人は、この写真か？」と問うのと同じことだと思います。

写真がその人の特徴を捉えていることは確かですが、その写真が、本人そのものであるとは言えないように、３次元空間モデルは、この世界の特徴を捕らえていますが、この世界そのものではないということです。

すなわち、３次元モデルは、この世界を説明するのに、もっとも矛盾の少ないモデルだと言えるだけのことです。例えば、我々の日常世界に、もし、４次元モデルを持ち込んだとすると、現実の世界がうまく説明できなくなるということであって、世界そのものが３次元か４次元かという話ではないのです。

実際、日常世界ではなく、この宇宙全体について観測すると、この宇宙は無限に広がっているのではなく、宇宙空間自体が湾曲していると考えた方がよりよく説明できる現象もあります。その場合は、４次元空間やもっと多次元の空間モデルを考えて、それによってこの宇宙の現象を説明した方が、３次元で説明するより、矛盾なく説明できます。

でも、たとえば、宇宙空間の湾曲が５次元空間モデルによって説明できたからと言って、この世界や宇宙が５次元空間なのだというのは、やはり当たらないと思います。というのは、空間モデルは、あくまで、我々の頭の中のモデルであって、現実の世界や宇宙ではないからです。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

「「この世界は３次元か？」という問いは、
ある人の写真を撮って、「この人は、この写真か？」と問うのと同じことだと思います。」
というご意見ですが、例えば、
「この世界には、互いに直交する直線（方向）は何本（何方向）存在するか？　４本（４方向）存在するか？」
という質問についてはどうでしょうか？

こうした質問についても、
「あくまで、我々の頭の中のモデルであって、現実の世界や宇宙ではないからです。」
ということになりますか？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/29 06:15

No.6 回答者： shiara 回答日時： 2005/09/28 22:03

　この世界が4次元（3次元＋1次元）であるのは必然ではないかと考えています。

複素数は2つの要素を持つ数ですが、より多い要素をもつ数は4元数と言われています。これが3や5でなく、4であるというところが、重要な意味を持つ訳ですが、この世界が4次元であることと、何か関係があるのではないかと考えています。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

何となく「数秘主義？」的な感じもしますが、
もし四元数がこの現実の時空に対応している（関係している）としたら、
複素数に対応している「空間」が存在するのでしょうか？
さらには、八元数に対応している「空間」とか、十六元数に対応している「空間」とかも・・・？
どうなのでしょうか？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/29 20:12

No.7 回答者： kobarero 回答日時： 2005/09/29 19:48

＃５です。

＞「この世界には、互いに直交する直線（方向）は何本（何方向）存在するか？　４本（４方向）存在するか？」
という質問についてはどうでしょうか？

話を簡単にするため、初めに、初回の質問に戻ります。

＞「４」でも「２」でもなく，なぜ「３」なのでしょうか？　何か「正当な」理由があるのでしょうか？

これは、「３」である「正当な」理由があります。それは、ある物体をこの世界に置いたとき、その物体の位置は、３つの数値のみで正確に決定でき、かつ、３つ未満の数値では正確に決定できないからです。すなわち、互いに直交するＸ、Ｙ、Ｚ軸を決めれば、点（ｘ、ｙ、ｚ）は１つしかないですが、もし、互いに直交するＸ，Ｙ軸だけ決めた場合は、点（ｘ、ｙ）である点は、Ｚ方向に無限にあり、一点を特定できないということです。もう一つ重要なことは、３つの数値は、必ずしも互いに直交する座標でなくても良いということです。互いに独立な３つの座標であれば、円柱座標でも、球座標でも、互いに４５度で交わる独立な直線座標でもいいわけです。

では、「２」ではなく「３」であったとしても、何故「４以上」ではないのかというと、４以上の座標値を導入しても、それ以外の互いに独立な３座標系だけで、４番目の数値は自動的に決定してしまい、４番目の数値が不要になるからです。

以上のことが、何故正しいと考えられるかの根拠は、日常世界では、３つの座標だけで、位置が一義的に決まらないという「事実」が発見できないからです。もし、３つの座標値で決めた位置が、この世界に２つ以上あるという「事実」が発見されれば、そのときは、この世界は、４次元以上あると考えなければなりません。実際、我々が慣れ親しんでいる日常世界ではなく、ミクロ・マクロな世界では、重力による空間の歪み現象が無視できなくなりますから、３つの座標では決まらない場合が出てきます。そのため、最新の「超ひも理論」では、この世界を１０次元と見ています。

それで、初めのご質問に対しては、以下のようなお答えになります。

「この世界」というものは、実際のところ我々は、直接認知する手段を持っていません。どういうことかと言うと、我々が見るこの世界は、眼球という一種のテレビ・カメラで捕らえ、神経と脳細胞という一種のネットワークとコンピュータを通して認識しているわけです。従って、テレビ・カメラが実際には３次元の映像を撮影したとしても、テレビ画面に映し出される映像は２次元になってしまうのと同様に、客観的なこの世界（もし、そういうものがあると仮定して）が、Ｎ（Ｎ＞３）次元であったとしても、我々には３次元としてしか把握する能力がないということです。

ただし、これは、あくまで、我々の直感的イメージの能力の話です。直感的イメージとしては、３次元までしか想像できませんが、「考える」ことなら、４次元以上を、いくらでも考えることができます。例えば、「互いに直交する４軸座標系」を考えることも当然できます。４次元座標系上の点Ｐ１は例えば、Ｐ１（x1,x2,x3,x4）で表されます。原点からＰ１までの距離は、（x1^2+x2^2+x3^2+x4~2）のルートで表されますし、点Ｐ１（x1,x2,x3,x4）と点Ｐ２（y1,y2,y3,y4）との距離は、（（x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2+(x4-y4)^2)のルートで表されます。Ｎ＞４のＮ次元空間でも同様です。このように図的なイメージは３次元までしか想像できませんが、数学的に考えることならば、何次元でも考えられます。

この回答への補足

再度のご回答をありがとうございます。
（字数の関係で、「補足」の欄に書かせていただきました。）

この世界には、必ずしも互いに直交しているとは限らない３つの線形独立な「方向」が存在するから、
３次元（以上）であり、４つの線形独立な「方向」は存在しないので、４次元ではない。
したがって、この世界は３次元である。
ということのようですが、

ではなぜ、この世界には３個の線形独立な「方向」は存在し、４個のものは存在しないかというと、
それは現実に、第４番目の「方向」が存在する事実が見つかっていないから、
ということでしょうか？

見つかっていないから、「３次元」ということでしょうか？
見つかるまでは、「３次元」ということでしょうか？

そして、
ミクロ・マクロな世界では、「重力による空間の歪み現象」が無視できなくなる
ので、
３つの座標では決まらない場合が出てきます。
とありますが、

この「重力による空間の歪み現象」というのは、具体的にはどんな現象でしょうか？
あの相対性理論に出てくる「空間の歪み」というものでしょうか？
それによって第４の「方向」が実際に観測される、といったものなのでしょうか？

また、
３つの座標では決まらない場合が出てくるため、最新の「超ひも理論」では、この世界を１０次元と見ている、
とありますが、
なぜ「１０」次元なのでしょうか？
「４」でも「５」でもなく、「９」でも「１１」でもなく・・・
「１０」でないといけない何か理由があるのでしょうか？

そして、
日常世界では、３つの座標だけで、位置が一義的に決まらないという「事実」が発見できない、
のに、つまり、
日常世界では、３つの座標だけで、位置が一義的に決まるという「事実」が常に発見できている、
のに、結局、
「この世界」というものは、実際のところ我々は、直接認知する手段を持っていません。
となっています。

次元に関する事実を実際に「発見している」のに、直接認知する手段を「持っていない」というのは、
どういうことを言っているのでしょうか？

この場合の「直接認知する」とはどのような場合を指しているのでしょうか？
「直接触る」とか「直接見る？」とか・・・？？
どういうことを意味しているのでしょうか？

また、
テレビ・カメラが実際には３次元の映像を撮影したとしても、
テレビ画面に映し出される映像は２次元になってしまうのと同様に、
客観的なこの世界（もし、そういうものがあると仮定して）が、Ｎ（Ｎ＞３）次元であったとしても、
我々には３次元としてしか把握する能力がない、
とありますが、

我々についても頭の中に映し出される映像は、テレビと同じように「２次元」なのではないでしょうか？

また、なぜ
我々には３次元としてしか把握する能力がない
のでしょうか？
この世界が、もしかすると４次元以上かもしれないのに、その一部分になっている「我々」が・・・
「我々という部分」だけは３次元だから、とか・・・？？！

なお、我々が世界を把握する能力について、
「直感的イメージ」や「図的なイメージ」の能力としては、なぜ「２」や「４」でなく「３」なのでしょうか？
なぜ、３次元より大きい次元はイメージもできないのでしょうか？
（当初の質問の繰り返しのようになりますが・・・）

どうでしょうか？

補足日時：2005/10/01 05:43

No.8 回答者： kobarero 回答日時： 2005/10/01 21:31

＃７です。

＞見つかっていないから、「３次元」ということでしょうか？
＞見つかるまでは、「３次元」ということでしょうか？

以下の２つのことを分けて考える必要があると思います。

(1)この世界が「３次元」というのは、あくまで、日常世界の話であり、マクロ・ミクロの世界では、既に４次元以上の世界を想定した方が合理的な説明ができること。
(2)この世界が４次元以上であったとしても、我々が「直感的」にイメージできるのは、３次元までだということ。ただし、イメージではなく、「思考」するなら何次元でも可能であること。

＞あの相対性理論に出てくる「空間の歪み」というものでしょうか？

そうです。実際、皆既日食のときに、太陽の両側にある２個の星と地球が構成する三関形の内角の和を測定し、それが、１８０度より多きいことが観測されています。１８０度より大きいということは、空間が湾曲していることを意味します。

＞なぜ「１０」次元なのでしょうか？

量子力学と一般相対性理論の両方を統一的に説明する理論を作るために考え出された理論により、１０次元という仮説が出されました（１９９０代半ばに１０次元は近似値で、正確には１１次元だという説も出たようです）。１０次元の内、３次元は通常我々が直接観察できる次元で、各次元に付き少なくとも１５０億光年程度が直線的に伸張していると考えられています（それ以上先は、湾曲しているかも知れません）。他の１次元は時間です。残りの６次元が超ひも理論で考えられている次元で、これらは、巻き込まれた空間で、その大きさは、１０＾－３３ｃｍレベルの広がりしかないので、日常で観測することはできません。なぜ、９や１１でなく、「１０」なのかについては、統一的に説明できるように数学モデル上での次元数を増やしていくと、１０次元（あるいは、１１次元）で丁度うまく説明ができるということなので、直感的には説明できないと思います。

＞次元に関する事実を実際に「発見している」のに、直接認知する手段を「持っていない」というのは、どういうことを言っているのでしょうか？

えーと、考えてみたら、ご質問は物理学の分野でしたね。私は、いつの間にか哲学の分野に入り込んでいたみたいです。でも、少なくともニュートンの頃までは、哲学と科学は一体だったので、全くおかしいわけでもないと思います。単純に言うと、我々人間の意識と独立に、「客観的世界」や「もの自体」というものがあるかということです。私は、「ない」あるいは「見えているものとは全く異なった次元の原因系がある」と思っているので、そのようなものを直接認知する手段を「持っていない」と考えました。

ですから、もし、この世界が、我々が見えているような姿として客観的に存在していると考えるのであれば（というか、これが、世間、あるいは、科学の常識だと思います）、「発見」＝「認知」と考えて問題ないと思います。

＞この場合の「直接認知する」とはどのような場合を指しているのでしょうか？

この世界は、直接認知することはできないと思っているので、うまく説明できませんが、例えば、テレビ・ゲームで、敵のキャラを蹴倒したとした場合、その蹴倒されたキャラを「直接認知する」には、どうすれば良いかという質問と同じです。表面的には、ディスプレイ上のグラフィクスを指して、「これ」と言えばよいわけですが、そのキャラの実体は、コンピュータ・メモリ上のデータなわけです。そのデータを「直接認知する」ことは難しいのと同じように、この世界の実体も直接認知することは難しいと考えます。

＞我々についても頭の中に映し出される映像は、テレビと同じように「２次元」なのではないでしょうか？

ご質問の意味があまりよくわかりませんので、答えにならないかも知れませんが、もし、「２次元」であるとすれば、立体メガネ（下記ＵＲＬ）の商品価値がなくなってしまうと思います。すなわち、立体メガネをかけても「２次元」にしか見えないのなら、かける意味がないのにも関わらず、この商品が恐らく売れているということは、やはり、頭の中で「３次元」が映し出されているのだと思います。
http://www.iodata.jp/news/2004/02/04_pr001.htm

＞我々には３次元としてしか把握する能力がないのでしょうか？

「把握する能力」という日本語の意味をどう考えるかによると思います。先にも書きましたように、何次元でも「考える」ことはできるわけですから、「把握する能力」がないと一概には、言えないと思います。直感的にイメージできないというだけです。ただし、直感的にもある程度は可能だと思います。例えば、時間は第４次元と考えることができるわけですから、この世界の過去の履歴を頭の中に思い浮かべれば、４次元空間を想像することはできます。コンピュータ・グラフィクスで、キャラの動線に沿って図を消さずに上書きし続けたときのイメージを頭の中で仮想軸に沿って描けばよいわけです。

＞「直感的イメージ」や「図的なイメージ」の能力としては、なぜ「２」や「４」でなく「３」なのでしょうか？

２つの可能性があります。一つは、人間の脳の映像処理能力が最大３次元までに限られているという考え。もう一つは、人が生まれて、この世界と接触を繰り返す過程で、この世界の出来事が全て３次元で片付くことを認識した、その結果、３次元までのイメージ処理能力しか発達しなかったとも考えられます。その場合は、もし、人の子が、４次元世界に生まれたとすると、そこでは、机の上のリンゴの位置にミカンも同時に置かれていて、しかも、お互いに潰れ合うことなく取り出せるような世界ですから、そのような世界に生まれたときから慣れ親しんでいれば、４次元空間をイメージとしても把握できるようになる可能性は高いと思います。

この回答への補足

繰り返しのご回答をありがとうございました。
１つ１つの疑問に丁寧に答えていただき、感謝いたします。
（字数の関係で、こちらの欄に前半を書かせていただきました！）

ご回答いただいた中で、まだよく分からないところやいくつかの感想がありますので、
書かせていただきます。スミマセン！

(1) 相対性理論の「空間の歪み」の例で、いわゆる「重力レンズ(?)」の例が挙げられていますが、
この場合が、前に書かれていた
「３つの座標値で決めた位置が、この世界に２つ以上あるという「事実」が発見されれば、
そのときは、この世界は、４次元以上あると考えなければなりません。」
という例でしょうか？

そうだとしたら、この場合は
「３つの座標値で決めた位置が、この世界に２つ以上あるという「事実」」
とは、個の例の場合には具体的にはどのような状況なのでしょうか？

(2) 「我々人間の意識と独立に、「客観的世界」や「もの自体」というものがあるか」
ということについてですが、（これは確かに哲学的な内容を含んでいると思いますが、）
Ｎｏ．７さんは「ない」または「全く異なった次元の原因系がある」とのことです。
しかしいずれにしろ、我々に知覚をもたらす何かの「原因」が存在することは確かではないでしょうか？

例えば「１つの石」が「見えている」とき、
その原因がいわゆる「実在の物体」なのか、ただの「物体の映像」なのかは別としても、
頭の中に起こった唯の「幻覚」でもない限り・・・。
しかし、
今体感している「視覚」や「触覚」を含んだこの「現実」のすべてが、ただの「夢」だとしたら・・・？？？　そんなバカな・・・！？！？
また分からなくなりました・・・。

このテーマは取りあえず、この質問欄ではこれ以上追求するのは止めておきましょう！

(3) この客観的世界には「全く異なった次元の原因系がある」と仮定して、
「この世界は、直接認知することはできない」
ということですが、考えてみると、
どんな対象物でも「直接認知」というのはない
かもしれませんよね。

「見る」にしても「触る」にしても、その対象物から得られる「物理的な情報」から、
その相手を認識する訳で、
その意味では確かに、どんな場合も「直接認知」というのはないのかもしれませんね。

(4) 「我々の頭の中に映し出される映像」について、
それはテレビと同じように「２次元」なのではないでしょうか？
という点ですが、これはまず
「視覚の入り口である網膜上に映る映像は、２次元ではないでしょうか」
という意味でした。

次に、
その２次元の映像を左右２枚取り込んで、頭の中で処理をして、
過去の３次元のイメージと重ね合わせることにより、「立体感」を得ているのではないでしょうか？
ということです。

つまり、頭の中で想像したりイメージしている場合でも、
１つの瞬間に見えているのは、あくまでもパソコンやテレビの画面のような２次元平面的画像で、
その画像について、過去の経験などから立体的なイメージを当てはめている、
だけではないでしょうか？

例えば、平面的な「絵画」を見たとき、
画像としては網膜にも脳の中にも、２次元の画像として映っていると思いますが、
人間は想像をして、その絵に立体的な奥行きなどを感じ取ることができる訳です。

補足日時：2005/10/02 21:00

この回答へのお礼

（前半を「補足の欄」に書いたものの後半です。）

(5) 「直感的イメージ」や「図的なイメージ」の能力として、なぜ「３」次元なのか？
という点ですが、確かに、
人が生まれて以来、この世界と接触を繰り返す過程で身に付けてきた、
視覚などの「知覚」と触覚などの「知覚」との「結びつき」が、
いわゆる「外界の認識」を形作る訳でしょう。

そして、我々の身近では行動にはそれほどの制限もないので
（例えば、２次元方向だけにしか移動できないというような制限もほとんどないので）、
「学習」した結果、３次元までのイメージ処理能力しか発達しなかったということは、
少なくとも我々の身近な行動範囲では、「自分」自身を含めてこの世界がやはり３次元である
（または３次元の中にある）
ということなのでしょうね。

ただし、
「もし、人の子が、４次元世界に生まれたとすると、そこでは・・・」
とありますが、これは考えにくい感じがするのですが・・・

つまり、
「この３次元と思われる現実世界に、２次元の生物が存在したとしたら、・・・」
というアナロジーで考えると、
この世の中に「厳密な意味」での２次元状態の生物が存在するのは、無理があると思われます。

その生物の体は、なにで出来ているのでしょうか？
それはもちろん、２次元の物質！？？　そんなのないよ～っ！
その生物は、なにを取り入れ、なにを出して生きているのでしょうか？
それはもちろん、２次元の物質！？？　そんなのないよ～っ！
といった感じ。

これと同じで、我々が厳密に３次元の生物だとしたら、
４次元の世界には存在できないのではないでしょうか？

・・・色々と思いついたままを書きなぐった感じで、すみませんが、
以上のような点はいかがでしょうか？

お礼日時：2005/10/02 21:06

No.9 回答者： apple-man 回答日時： 2005/10/02 15:45

＞この現実の世界は（いわゆる時間軸を除いて），本当に３次元でしょうか？

　我々の住む世界は、直感的は３次元ということで
現在のところ、ほぼ間違いないようです。
証明内容と、出典元を忘れてしまったのですが、
１９世紀の数学の証明問題でそうゆうのがあった
と思います。興味があったら、アンリ・ポアンカレ
というフランスの数学者の業績を調べてみて下さい。


　ただ３次元という認識は、厳密にはちょっと
違うというか、そう簡単なことじゃなさそうです。
　数学的な次元の定義の方法の問題と、
実際の物理現象の問題があるからなんですが。

　他の方が言われている、ＸＹＺといった直行
座標での定義の仕方では矛盾が出るということが
１９世紀に言われ始めたんです。
こういった線形代数的定義では、次元とは
空間上の１点を示すために必要な、最小限度
のパラメーター（媒介変数）の数ということに
なりますが、それでは例えば以下のような
問題がおきます。ランダムウォークの軌跡の問題とか、
一筆書きの次元の問題とか言うのですが・・・

　ある大きさの正方形があると考えて下さい。
この内側をエンピツの一筆書きで塗りつぶして
行くんです。この方法で正方形の内側を全て
塗りつぶした場合、一筆書きの軌跡は２次元的な
面になります。
　ここで、この軌跡が数直線だとします。目盛りが
あるんで、書き始めを原点０として、そこからの
移動距離を指定することで、点を指定できます。
　一筆書きは正方形の内側一面に広がっている
ので、この指定方法で、面上の１点を指定できます。
　面上の１点を指定するのに必要な最小のパラメーター
数は、１つで済みますから、面は１次元であると
言えてしまうんです。

　一般的なアバウトな感覚で行くと、これは屁理屈に
聞こえるのでしょうが、数学的な定義の上では
大問題だったんです。

　そこで次元の定義の仕方について多くの
理論が出されましたが、１９７０年ころ
ベノワ・マンデルブロという数学者が
これらの理論をまとめて、フラクタル幾何学
と名付けたんです。

　フラクタルとか、フラクタル幾何学に
ついてちょっと調べてみて頂くと分かるの
ですが、１．２６次元といった表現が出て
きます。線が１次元で、面が２次元といった
中学校でやる幾何学の定義をそのまま信じて
いると理解できません。次元の定義のほうにも
いろいろあるということなんです。

＞直感的には３次元だとしても，それならなぜ３次元なのでしょうか？

　結論が出ていないことですが、空間の次元と物質の構造の
安定性の関係だろうと言われてます。

　高校の化学で、面心立法、体心立法、六方最密
といった結晶構造というのをやったと思います。
物質には数学的に意味のある、安定した構造と
いうのがあり、空間の次元のよってこの構造が
変わってきます。
　安定した結晶構造というのは、群論という
数学の分野で言われる対称性があるんです。
　
　似たような複数の構造が、同じ安定性を
持っていると、特定の状態で物質が安定せず
壊れてしまうので、そういった次元も
存在しないのでは？ということなんです。

　物質が壊れやすい状態があるというのと、
空間の存在は関係ないと思われるかもしれませんが、
物質の状態が空間に影響を与えるのではないかと
いう理論も複数あり、１９６０年に発表された
ロジャー・ペンローズのスピンネットワークと
いったものが有名です。電子のスピンで空間が
決まるというものなんですが。

　
　空間の次元と、物質の安定性については、
数学の世界で言う接吻数（kissing Number)が
関係しているのではと言われています。
　接吻数は、同じ大きさの円、又は球を
並べたとき、１つの円、又は球の周りに
最大何個の円、又は球が接するのかと
いう、接触する数のことなんですが。

　接吻数が単純に１つに決まってしまう次元が
安定らしいといいうことで、それなら他に
安定と思われる次元があるため、物理学で
大きな次元を想定して理論を作ってみると
いう試みがあるんです。それで他の方の回答に
あるような１０次元とか２６次元といった数が
出てくるんです。

＞ほかのどこかに４次元の世界や，２次元の世界とかが広がっているのでしょうか？

　考える空間の大きさ、つまりスケールを変えると
認識できる、あるいは認識する必要性が出てくる
次元が変わるということがあるわけです。

　地図を考えてみると、日本全土くらいなら平らな
紙の地図、ついり２次元的認識で済むわけですが、
全世界を考え、２個所の最短距離などを
考えるとき、平面では不十分になります。
地球は球という３次元的存在なわけですから。

　本当の次元は幾つなのかといった問題
以前に、今の物理学でも、上の地図の例の
ように考えるスケールを変えたとき、
考える空間の次元も変えてみたほうが
いいということになっています。
　ここで言うスケールとは、大きささけでなく
運動するときのスピードというスケールも
ということですが。

　高校まででやるニュートンの物理学、つまり
狭い世界で、光速よりはるかに遅い速度と
いうスケールで考えているぶんには、空間は
３次元と認識していて問題ないわけです。
　光速に近づく、つまり速度のスケールを変えた
とき、アインシュタインの相対性理論
で言う４次元時空を考えないといけなくなる
わけです。
　さらに１０のマイナス３３乗ｃｍという、プランク長
以下のスケールの世界は、４次元時空の考えで説明がつかない
ため、１９８０年代にエドワード・ウイッテンと
いう学者が、プランク長以下は１０次元の
カラビ・ヤウ多様体（という空間）であるという
理論を出して、これが１９７０年に南部陽一郎
博士の出した超弦理論とともに発展して現在に
至っているんです。

　他の方が言われている、２６次元というのは
この南部博士使った超弦が振動する空間の
次元です。

　
　先の地図の例のように、本当は球という３次元でも、
考えるスケールを限定すると２次元という平面で
済むように、人間が感じる３次元という空間の
感覚は、スケールを限定したもので、
宇宙の本当の次元とは違うと考えたほうが
いいのだと思います。


　ご質問の内容については、最終的結論は
出ていないものの、

「次元の秘密―自然単位系からDブレーンまで」

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4777511 …

という本で、もう少し詳しい説明が読める
ものと思います。この本で、著者の竹内薫
さんが、接吻数の参考書として外国の文献を
挙げていますが、ご興味があれば
翻訳本として以下がお勧めです。

「ケプラー予想」
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4105454 …



　
　

この回答へのお礼

詳しいご回答をありがとうございました。

数学者のポアンカレが「この世界は３次元である」ということ？を証明していたとは！
物理関係の仕事もしていたような気はしていましたが・・・

「平面を埋め尽くす曲線」というのは、どこかで見たことがあります。
この曲線は、平面を埋め尽くしはするけれども、写像としては１：１ではない！？
確か、「全単射」で「連続」な？写像で「次元」を超えるものはない！？
だったような・・・

接吻数というのは何となくどこかで聞いたような気がしますが、
空間の安定性と関係があるとは知りませんでした。

そしてやはり、
身近な空間は３次元として扱ってよいが、
ミクロな空間は１０次元とか、それが振動する２６次元とかの空間になっている、
という訳ですね。

様々な情報をありがとうございました。

お礼日時：2005/10/03 00:23

No.10 回答者： kobarero 回答日時： 2005/10/03 00:22

＃８です。

(1)星１、星２、地球上の各点をＰ１，Ｐ２，Ｐ３とします。Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３で構成される３角形の内角の和は、夜は、１８０度ですが、皆既日食時の昼には、見かけ上１８０度以上あります。しかし、３次元空間の三角形は、常に１８０度であるはずですから、それが、１８０度以上あるということは、その三角形の中心位置が、盛り上がっているか、盛り下がっているはずです。すなわち、３次元的には(x,y,z)で一義的に表される三角形の中心点が２個あることになります。

(2)「原因」は存在すると思います。夢であることを仮定する必要はないと思います。例えば、この世界は、方程式とデータでだけで出来ていると考えても矛盾がないし、その場合、方程式とデータが「原因」だと考えればよいと思います。

(4)絵画を見ているときは、対象（絵画）から２次元情報しか来ないし、リンゴを見ているときは、３次元情報が来るわけですから、この２つは、異なるデータであり、脳の中でも異なる処理がされると思います。

(5)２次元の物質がないかどうかを考えるには、「物質」とは何かがわからないと答えが出ないと思います。もし、物質が「方程式とデータ」だとすれば、２次元の物質も考えられると思います。例えば、机は分子で出来ていて、分子は素粒子で出来ていて、素粒子は粒ではなく、「場」ではないかと思います。磁石のＮとＳの間の磁場みたいなものが振動しているようなものであって、いかなる固体でもないわけです。そのようなものなら、２次元でも存在し得る気もします。よくはわかりませんが、単純に否定はできない気がします。

この回答への補足

再度のご回答をありがとうございます。
繰り返しお手数をおかけし、スミマセン！

私は物理は専門ではありませんし、思い込みが激しいせいか、なかなか頑固で・・・
また、いくつか疑問があるのですが、２点にしぼって質問させてください。

(1) 宇宙における大三角形の件ですが、この三角形は、いわゆる「重力レンズ」の例しょうか？
太陽の質量によって星から出た光が曲げられるので、
「本来ない所に星が見えた」り、「三角形の内角が本来より大きく見えた」りする
という例でしょうか？

もしそうならば、
この例の三角形は、その辺が真っ直ぐか湾曲しているかの違いだけなので、
その中心は、
「盛り上がっているか、盛り下がっているはず」
ではなくて、
「夜」でも「皆既日食時」でも、空間の同じ１か所にあると思いますが・・・

この例が、なぜ
「３次元的には(x,y,z)で一義的に表される三角形の中心点が２個ある」
例なのかがよく分からないのですが・・・

(2) は、お聞きしたいことはありますが、省略します。

(4) 「２次元情報」と「３次元情報」についてですが、
「絵画を見ているときは、対象（絵画）から２次元情報しか来ないし、
リンゴを見ているときは、３次元情報が来るわけですから、
この２つは、異なるデータであり、脳の中でも異なる処理がされると思います。」
とありますが、
この場合の「情報」とはどんなことを言っているのでしょうか？

もし「文字等での記述」とか「データの列」などであれば、
「２次元情報」と「３次元情報」は自ずから違いますから、問題ないと思いますが、
もしそれが「画像」ということであれば、「２次元画像」と「３次元画像」という区別はない、
と思うのですが・・・

例えば、
のぞき穴を片目でのぞいたら、「画用紙の上にのっている紙でできた立方体」が見えた。
このとき、この画像は
「本物の立方体」を見ている「３次元画像」だろうか？
それとも
「本物の立方体を撮した精密な写真」を見ている「２次元画像」だろうか？
これを、片目で見ている「画像」だけからでは、区別できないのではないでしょうか？

思考の対象物についての「情報」には、色々なものがありますが、
「画像」という場合は、あくまでも「２次元的情報」ということだと思うのですが・・・

「リンゴを見ているときは、３次元情報が来るわけですから、」
とありますが、
もしそれが本当に「３次元」的「情報」であれば、例えば、
「そのリンゴの見えない裏側には、大きな傷がある」
といったことも判るはずですが、
１枚の「リンゴの画像」だけからでは、そういった「情報」は得られないのでは？
ということなのですが・・・

ですから、「画像」という場合は、どのような場合でも「２次元情報」ということだと思うのですが・・・

(5) これも聞きたい点はありますが、省略をします。

補足日時：2005/10/05 05:39