実質微分とは

こんばんは。

実質微分とは分かりやすく言うとなにを表しているのでしょうか？
普通の微分、偏微分とはどのように違うのでしょうか？
見識のある方、宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gengen4 回答日時： 2005/11/22 00:09

私なりに微分について回答させてください。

ｙ＝sin x という関数は、ｘが限りなく０に近いときにはｙ＝ｘと近似できることは知っていますか？おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
　微分というのはこのy=sin xという関数をy=x に近似した行為に似ます。今の例では、xが限りなく０に近いという条件がついていましたが、微分をする際にはこの条件が「xの変化が限りなく小さいとき」という条件になるのです。
　たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001に増加したときは、yの増加のしかたはy=x^2とy=2xではほぼ変わりません。
ではx=2.000000000000000001からx=2.000000000000000002に増加したらどうかというと、これも二つの関数の間には差はほぼありません。0.000000000000000001増加するところのどこを取ってもy=2xとy=x^2という関数はほぼ同じものになります。
　x=2からx=5に変化するときは二つの関数は変化の割合もまったく異なる関数に見えますが、微小変化のときは同じ関数とみなせます。
　上空から地上の景色を見たときと、地上にいるときの景色は違います。上空からは広い範囲が見えて、人は米粒のように見えますが、地上にいたら狭い範囲しか見えないが、人の表情や町の様子がはっきり見えます。
　何が言いたいかというとy=x^2に見えていた関数が実は限りなく細かく区切って見てみるとy=2xという関数であった、ということです。
　１人１人の人間に見えても実は無数の分子からできているように、通常の関数の世界と微分した世界では見方が違います。人間界が通常の関数の世界で、微分が分子レベルの世界です。要は関数に対する視点の違いです。
　細かく分けてみたらy=x^2がy=2xに見えた。その細かく分割したのをひとつひとつつなげたのが積分です。
　ちなみにdxというのは微小変化ですよね。これが細かく区切った最小単位だと考えれば、(dy/dx)*dx=dyなどといった意味不明な計算が成り立つのも納得いただけるかもしれません。
　以上、微分の説明でした。とても分かりにくくてすみません。結局言いたかったことは、微分がミクロで積分がマクロの世界だということです。
　また、偏微分はある一方向のみに細かく区切ったときのf(x,y)の振る舞いかたを表します。
　長くてすみません。

この回答へのお礼

わざわざ親切な回答ありがとうございます。
昔から微分というものがなかなか掴み辛くて困っていました。大変参考になりました。
また機会があれば宜しくお願いします。

お礼日時：2005/11/24 10:59

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2005/11/23 21:22

実質微分というのは流体力学で使われる、ラグランジェ的な微分D/Dtです。

流体の微小な部分を一塊りと考えて、流体の運動を論じるのがラグランジェの方法です。これに対して、各点の流れを論じるのがオイラー方法と呼ばれることは、流体力学の教科書の最初のページに書かれていると思います。

実質微分は、あるベクトルをGとすると、
DG/Dt＝∂G/∂t+(ｖ・∇)G
と表せますね。

この回答へのお礼

なるほど、実質微分は流体の微小部分を一塊と捉えているわけですね。
参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2005/11/24 11:03

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/11/22 09:12

これのことでしょうか？

http://www.cv.titech.ac.jp/%7Ekandalab/jp/lectur …
厳密にいえばこれは一種の微分（に近いもの、物理ではあまり区別しませんね）ですが、流体力学の概念です。数学の一般的な概念というわけではありません。

参考URL：http://www.cv.titech.ac.jp/~kandalab/jp/lecture/ …