虚数係数での解の公式は使えないと思うのですが、なぜ使えないのでしょうか。いつも使えるか使えないかで迷ってしまうのですが、その理由を知りたいです。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

公式というからには、それは証明することができる


つまり自分でも導くことが出来るってことなんですね
じゃあ早速解の公式を導いてみてどこで虚数係数だとまずくなるのかを
見てみましょう

Step1.係数が実数、xも実数のとき

2次方程式ax^2+bx+c=0が与えられたとしましょう
a≠0よりx^2+(b/a)x+c/a=0
平方完成して
(x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a=0
移項して
よって(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=±√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Step2.係数が複素数、xが実数を動くとき
おそらくs-wordさんの質問はこの場合を聞いているのでしょうか?
結論から言うと高校で習った解の公式は使えません
その理由は上の(1)→(2)にあります
√っていうのは実数にしか定義されない関数でした
だから√(複素数)っていうのは意味がわからないんです

では本当に使えないのかというと実は使えるんです
高校で定義した写像√っていうのを複素数上に拡張すればいいんですね
簡単に言うと√(複素数)っていうのも計算できるようにすればいいんです
極座標っていうのはもう習ったでしょうか?
それを使って次のようにします
z=r(cosθ+isinθ)とするとき
√zを√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))と定義します
(これがちゃんと定義になっていることなどは割愛です。大学でやります)
(さらにこれは1価の関数でないことも割愛します)

この定義を使うと(1)→(2)は次のように±がはずれて成り立ちます
(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)’

後は同様にすると複素係数の実2次方程式の公式↓が得られます
x=(-b+√(b^2-4ac))/2a

注意:さっきもぼそっといいましたがこの新しい√は多価関数なので
値が1つかはわかりません。θを動かしてみる必要があります
例えばa=0,b=0,c=-1のとき
x=(√4)/2となりますが
√4=2,-2の2つの値をとります
よってx=1,-1
とかね。

少々難しいかもしれませんが、またわからないことがあったら聞いてください
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この回答へのお礼

hismixさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。大変わかりやすい解説で疑問がすっきりと解決できました。√(複素数)がだめだったんですね。√(複素数)っていうのも別の考え方で考えればできるんですね。今はそのことはおいておいて、√(複素数)はだめだと覚えておきます。なんだか混乱しそうで(^^)。多分たいていの問題は解と係数の関係などを使えば解けると思うので。大学に行ってから勉強してみようと思います。お返事どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/12/12 20:37

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Q虚数から見ると実数は虚になるのでしょうか

虚数と実数では虚数のほうが初めにあったのではないかと根拠もなく、想像(空想)しています。生物学ではRNAとDNAのような感じです。それとも虚数と実数は同時に存在を始めたのでしょうか。歴史からは実数のほうが先に認知されたとのことですが、虚数の世界から見れば実数の世界は虚の世界というようなことはないのでしょうか。実数がなくても虚数だけでi^2で負数、i^4で正数を表せるのに反し、少なくとも正数では虚数を表現できないとすればやはり虚数のほうが先かとも思うのですが・・・

Aベストアンサー

話を純虚数に絞ります。

私も似たような空想をしたことがあります。
純虚数と実数とは、まったく対称なのではないかと。

しかし、ちょっと考えたら、そうでないことに気づきました。

実数同士の掛け算、割り算は、やはり実数になるのに対して、
純虚数同士の掛け算、割り算は、純虚数ではなく実数になります。
純虚数の世界だけで、加減乗除の体系を作ることができないわけです。

ですから、
両者は対称ではない、つまりは、
「純虚数から見て実数は純虚数に見える」わけではない、
と考えました。


ついでに一言。
1つの実数ないしは複素数x+iyをX-Y座標系の1点としてプロットしたとしましょう。
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Q虚数が係数の2次方程式の解

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Aベストアンサー

-1/iという数字はちゃんと存在します。普通こうは書かないだけ。
通常は分母・分子にiをかけて分母から虚数単位iを消します。
-1/i=(-1×i)/(i×i)=-i/(-1)=i
となります。

2次方程式の解の公式は係数が複素数の場合でもきちんと成り立ちます。

Q虚数の意味と意義

おそらく、高校の時の数学で、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。
最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。

一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。
二、虚数の出現の背景。
三、虚数の意味するところ。
四、虚数はなぜ必要か。
五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

 位相空間上の方向・・・というか・・

この話、図を描かないと丁寧な説明ができない
のですが・・・

 オイラーの式というのをどこかで、探して
みて下さい。虚数が三角関数を通じて
回転と結びついていることが分かると
思います。

 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは
メビウスの輪というのを探して下さい。

 メビウスの帯びの上に1本の針を置くこと
を想像してみてください。帯びの方向に
ころころ転がしていくのです。
メビウスの帯は途中でねじれているので、
帯を1周すると、針の方向が上向きから
下向きになっていることが分かると
思います。

 これが回転すると1からー1に符号が
変わるオイラーの式の意味するところで、
オイラーの式で、角度を90°とし
2回かけるとー1になることと
関連しています。

 すいません、言葉でうまく説明できません。

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか...続きを読む

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【数学って「解の公式」を丸暗記しないと解けないの?】


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(x^3-2y)^8におけるx^9y^5の係数を求めよという問題があります。

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(ー2)^5・56=ー8・4・56=ー1792

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同じく(ー2)^5・56=ー1792

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Aベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
 たぶん、X^2=ー1 から i
が出てくるのに
x^2=i から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか?  と言う質問でしょう。
答えは、 複素数が代数閉体だから です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。 ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

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二次方程式x^2+(p-1+2i)x-19p+50-2pi=0が1個の実数解と1個の虚数解を持つような実数pを求めよ


解き方がわかりません 教えてください

Aベストアンサー

実数係数の2次方程式が 実数解と虚数解を同時に持つことはない。
従って。。。。

先ず、実数部と虚数部に分ける。
{x^2+(p-1)x+50-19p}+2*i(x-p)=0 だから x^2+(p-1)x+50-19p=0、x-p=0.
よって、実数解は x=p だから x^2+(p-1)x+50-19p=0 に代入して解くと p=5.
この時、方程式は (x-5)*(x+9)+2*i(x-5)=(x-5)*{x+9-10*i}=0となり 題意を満たす。


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