虚数係数での解の公式は使えないと思うのですが、なぜ使えないのでしょうか。いつも使えるか使えないかで迷ってしまうのですが、その理由を知りたいです。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

公式というからには、それは証明することができる


つまり自分でも導くことが出来るってことなんですね
じゃあ早速解の公式を導いてみてどこで虚数係数だとまずくなるのかを
見てみましょう

Step1.係数が実数、xも実数のとき

2次方程式ax^2+bx+c=0が与えられたとしましょう
a≠0よりx^2+(b/a)x+c/a=0
平方完成して
(x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a=0
移項して
よって(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=±√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Step2.係数が複素数、xが実数を動くとき
おそらくs-wordさんの質問はこの場合を聞いているのでしょうか?
結論から言うと高校で習った解の公式は使えません
その理由は上の(1)→(2)にあります
√っていうのは実数にしか定義されない関数でした
だから√(複素数)っていうのは意味がわからないんです

では本当に使えないのかというと実は使えるんです
高校で定義した写像√っていうのを複素数上に拡張すればいいんですね
簡単に言うと√(複素数)っていうのも計算できるようにすればいいんです
極座標っていうのはもう習ったでしょうか?
それを使って次のようにします
z=r(cosθ+isinθ)とするとき
√zを√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))と定義します
(これがちゃんと定義になっていることなどは割愛です。大学でやります)
(さらにこれは1価の関数でないことも割愛します)

この定義を使うと(1)→(2)は次のように±がはずれて成り立ちます
(x+(b/2a))^2=(b/2a)^2-c/a・・・(1)
ルートをとって
x+(b/2a)=√[(b^2-4ac)/4a^2]・・・(2)’

後は同様にすると複素係数の実2次方程式の公式↓が得られます
x=(-b+√(b^2-4ac))/2a

注意:さっきもぼそっといいましたがこの新しい√は多価関数なので
値が1つかはわかりません。θを動かしてみる必要があります
例えばa=0,b=0,c=-1のとき
x=(√4)/2となりますが
√4=2,-2の2つの値をとります
よってx=1,-1
とかね。

少々難しいかもしれませんが、またわからないことがあったら聞いてください
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この回答へのお礼

hismixさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。大変わかりやすい解説で疑問がすっきりと解決できました。√(複素数)がだめだったんですね。√(複素数)っていうのも別の考え方で考えればできるんですね。今はそのことはおいておいて、√(複素数)はだめだと覚えておきます。なんだか混乱しそうで(^^)。多分たいていの問題は解と係数の関係などを使えば解けると思うので。大学に行ってから勉強してみようと思います。お返事どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/12/12 20:37

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となります。

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#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

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むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

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