参考書に
「近似値の加法・減法は、有効数字の末位の最も高い位にそろえてから、計算する」とあり、例題として
近似値9.44+12.7+0.613の計算は、
少数第1位未満を四捨五入して、9.4+12.7+0.6=22.7
とあります
ところで、上の式で、計算を先にして、次に少数第1位未満を四捨五入して(答え:22.8)では、どうして、いけないのでしょうか?

A 回答 (4件)

2番目の回答をしたものです。

補足を読みました。

「kihon」さんは小数点以下第2位が誤差を含んでいるとされていますが、実測値では、最後の桁が誤差を含んでいるのが通常です。

ものさしで長さを測ることを例にすると、私たちが通常使っているものさしは、ミリの単位までのメモリがついています。そして、ものさしの精度として、普通は「誤差1ミリメートル以下を保証」とされている筈です。(たまに、2ミリ以上のものもありますが...)
そのものさしで、私たちは「0.1ミリ」単位で読み取ります。「1ミリ」以下の値は、目見当で判断していて、例えば「15.8ミリ」とする訳です。この数値は、(ものさしとしての誤差をある程度無視し)目見当での「0.1ミリ」単位での誤差を含んでいることみなすのが一般的です。
つまり、最後の桁が誤差を含んでいるのです。

この例で納得していただけたでしょうか?

ついでに、「0.1」に「0.01」を何回足しても「0.1」のままになるという矛盾を指摘していますが、例えば1メートルの棒(誤差1ミリ)を100本つなげて100mにするときに、接続部分が0.1ミリ(誤差0.1ミリ)の接着剤であるので、1000(ミリ)+0.1(ミリ)*99で1010(ミリ)になるとは、実際上考えないということなのです。
大きな誤差があるものに小さな誤差のものを多数付け加えることが、実際上意味を持たないと考えてください。

以上。
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうごさいます。
ものさしの例で、誤差の意味がわかりました。

お礼日時:2001/12/13 13:56

こんにちは!何を勉強している、年齢がどの程度の方か分かりませんが、確かに「22.8と22.7が同じ」は納得がいかないかもしれません。


この問題はよく質問されるのですが、簡単に言うと
四捨五入は誤差を含んでいることは分かりますよね。
最初に四捨五入してからたすと、誤差を含んでいるもの同士の足し算になるので誤差の部分が大きくなるのです。
それを防ぐには第1位四捨五入なら第3位でやっといて足し算をすれば問題ないと思います。
私は数学をしているのでこう考えています。
ただ、物理やさんは、先にやっちゃうんじゃないですか。
この程度の誤差は問題ないと考えるのでしょうね。
(実際に欲しいのは整数部分じゃないのかなー)
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうございした。

お礼日時:2001/12/13 13:48

「kihon」さんは、近似値の計算がなぜ必要か解りますか?



純粋数学で考えれば、すべての計算を正確に行うのが正しいのですが、例えば物理では実測値に基づく数値を計算する必要がある場合、すべての数値の少なくても最後の桁は誤差を含んでいると考えます。従って、「有効数字の末位の最も高い位」以下は、誤差を含んだ桁よりも小さい数値なので、正確に計算することに意味が無いということです。
だから、質問の数値を正確に計算して「22.8」としようが、近似値をとってから「22.7」としようが、どちらにしても最後の桁は誤差を含んでいるのだから、物理という立場にとっては、同じだということなのです。ここが理論としての数学と、実学としての物理などの大きな差だと思ってください。

以上。

この回答への補足

この例題の場合、誤差を含んでいるのは、小数第2位以下になるので、「22.8」と「22.7」とは、同じとは、言えないのないでしょうか?
(すいません、『補足』を お礼の欄に書いてしまいましたので・・・)

補足日時:2001/12/12 20:09
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます。

ただ、この問題の場合の、(誤差が含まれる)最後の桁は、小数第2位の位になるのでは、ないでしょうか?

お礼日時:2001/12/12 19:49

> 計算を先にして、次に少数第1位未満を四捨五入して


>(答え:22.8)では、どうして、いけないのでしょうか?
 いけなくはないと思いますが,その必要がないということじゃないでしょうか。

 近似値ですから,正確に出すよりも早く簡単に計算できることが必要だと思います。それはどちらの方法でしょうか?私には参考書の方法が,より早く簡単な方法に思えますが。

 いかがでしょうか?
 

この回答への補足

あれから、もう少し考えてみましたが、別の例題で考えたら、
近似値1.0+0.01 なら、1.0+0.0=1.0
近似値1.0+0.01+0.01 なら、1.0+0.0+0.0=1.0
近似値1.0+0.01+・・・は、1.0+0.0+・・・=1.0
で、いくら足しても、答えは、1.0になってしまいます。
どこが、おかしいんでしょうか?

(すいません、質問を お礼 の欄に書いてしまったので、書き直しました)

補足日時:2001/12/12 20:17
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

あれから、もう少し考えてみましたが、別の例題で考えたら、
近似値1.0+0.01 なら、1.0+0.0=1.0
近似値1.0+0.01+0.01 なら、1.0+0.0+0.0=1.0
近似値1.0+0.01+・・・は、1.0+0.0+・・・=1.0
で、いくら足しても、答えは、1.0になってしまいます。
どこが、おかしいんでしょうか?

お礼日時:2001/12/12 19:33

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QsinXとcosXの近似値

大学のレポートでテーラーの近似値に関するレポートを書くことになりました。
高校のときに「近似値」をすらっと目を通した程度なので、あまりよくわかってないのが現状です(汗

1.近似値とは具体的にどういうものか?
2.概数との違い
3.sinXとcosXを3次式に近似する

以上の3点を教えて頂けないでしょうか?
参考文献やウェブサイトを捜しましたがイマイチよく分かりませんでした

Aベストアンサー

3.

sin x = x - (1/2/3) x^3 + (1/2/3/4/5) x^5 - ...
cos x = 1 - (1/2) x^2 + (1/2/3/4) x^4 - ...

ですよね.よって,3次までの近似は,

sin x は x - (1/2/3) x^3
cos x は 1 - (1/2) x^2

になります.
(自信あり)
------------------------------------------------------------
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(必ずしもキリのいい数字にはならない)
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Q(5√2+7)2n+1乗(2n+1)までがべき乗!の整数部A少数部をaとし(A+a)aの値?

友人から以下のような謎のメールが届きました。
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>ムスメハアズカッタ、返して欲しければ次の問題をとけ!
>nを負でない整数として
>(5√2+7)2n+1乗(2n+1)までがべき乗!
>の整数部分A少数部分をaとするとき
>(A+a)aの値を求めよ!

Aベストアンサー

ここにも投稿していたんですか?

aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)^(2n+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)を計算すると
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7^(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)は整数です
しかも、-1<7-5√2=√49-√50<0ですから、-1<(7-5√2)^(2n+1)<0です。
よって
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)<(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)+1
が成立します。
よって(7+5√2)^(2n+1)の整数部はA=(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
小数部はa=-(7-5√2)^(2n+1)となります。

以上より(A+a)a=(7+5√2)^(2n+1){-(7-5√2)^(2n+1)}=(-1)(49-50)^(2n+1)=(-1)(-1)=1
となります。

よって、(A+a)a=1と求まりました。

ここにも投稿していたんですか?

aのm乗はa^mと表記します。
ですから、(5√2+7)^(2n+1)と書いた方がわかりやすいですね。

二項定理を用いて(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)を計算すると
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)
=7^(2n+1)+・・・+[(2n+1)!/{(2i)!(2n+1-2i)!}]*7^(2n+1-i)*50^i+・・・+(2n+1)*7*(50)^n
となりますから
(7+5√2)^(2n+1)+(7-5√2)^(2n+1)は整数です
しかも、-1<7-5√2=√49-√50<0ですから、-1<(7-5√2)^(2n+1)<0です。
よって
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Q近似値と無理数・有理数の関係

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0.33333・・・を0.33で打ち切る場合と同じことなのでしょうか。近似値としてしか表現できないものもあるように思うのですが。

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どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。
うろ覚えですが「はじめての数論」という本で読んだことです。

正の無理数αに対して
自然数の組(x,y)と|x-y*α|について考えます
細かい説明はしませんが引き出し論法により
  |x-y*α|<1/y
となる(x,y)が無限に存在します。
少し変形すると
  |x/y-α|<1/y^2
となる(x,y)が無限に存在し、これは十分大きな(x,y)について最適な組を探し計算すれば、|x/y-α|は十分小さくなるということです。
このときx/yがαを有理数で近似したものであることがわかると思います。

この場合目的の無理数と近似値の距離|x/y-α|の上限がわかっていますが。では下限を考えるとどうでしょう。
たとえば
  1/y^3<|x/y-α|
が示されれば、有理数は無理数にある程度までしか近づけないということになります。
事実としてαが代数的数ならば
  |x/y-α|<1/y^3
が成り立つ可能性のある自然数の組(x,y)は有限個であることが証明できます。
ですからそのような可能性のある特別な場合以外では
  1/y^3<|x/y-α|
となります。

これはその数の性質によって決まることですが。
超越数の中には
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つまり、有限の大きさの自然数の組を用いて無理数を近似する場合には、その近似値の精度には限界があるってことですね。

どういう答えを期待しているのかわからないんですが、連想したことを書きます。
うろ覚えですが「はじめての数論」という本で読んだことです。

正の無理数αに対して
自然数の組(x,y)と|x-y*α|について考えます
細かい説明はしませんが引き出し論法により
  |x-y*α|<1/y
となる(x,y)が無限に存在します。
少し変形すると
  |x/y-α|<1/y^2
となる(x,y)が無限に存在し、これは十分大きな(x,y)について最適な組を探し計算すれば、|x/y-α|は十分小さくなるということです。
このときx/yがαを有理数で近...続きを読む

Q五捨五入(偶捨奇入)の数学的意義と四捨五入との関係

四捨五入は、端数が0.5のとき常に増える方向に丸められるため、わずかに正のバイアスがある。そのときは、五捨五入が「望ましい」とされている。
バイアスがないのが特徴である(データがランダムなら)。このため、多数足し合わせても丸め誤差が累積しない。

ということが書かれてあったのですが、データの数学的意味がわかりません。四捨五入と五捨五入のそれぞれにデータによる意味合い(定義ではない)とか役立ち方の違いがあると思うのですが、その違いはどういうことなのでしょうか?

また、五捨五入とは、小数点以下の端数処理を行うとき、小数点以下の値が 0.50 ピッタリの時、一番距離の近い偶数に丸めるということなのですが、それをガウス記号(floor関数)で書くとどうなるのでしょうか?
ちなみにrの小数点以下の四捨五入は、[r+0.5]

Aベストアンサー

ぐうしゃきにゅう、とゆう、ことばは、
はじめて見ました。
偶数丸め、とゆうやつだと思います。
ぼくの想像では、
統計作ったときに、へんに数字が偏らない
ためにやるんだと、思います。
それと、5の下の数があったら、
まず、やる必要ないと、思う。
これも、想像。
そのケツ5は、49から来てる、
5かもしれないからです。
54かもしれん。

結局わからないときの、方便ではないかと。

Qこれは近似値といえる?

近似値のことで聞きたいのですが、
長方形があって、縦6×横4で24センチだとします

測定で誤差が生じて縦5.5×横4.5で24.75ならばそれは近似値といえますか?

Aベストアンサー

 近似値というのは、計算の都合上、途中で丸めた数値を言うのであって、測定値から計算して得られた値については、近似値とは言わないように思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%A4

 真値が24cm^2で、測定値から24.75cm^2を得たというのであれば、それも測定値というように思います。

 ところで、測定値が 5.5cmと4.5cm だったとしたら、有効数字は2桁なので計算結果も2桁にして、25cm^2 としないと意味のない桁の数字を書くことになってしまいます。
 5.5cmと4.5cm にも誤差が付きまとっています(そもそも精度が悪すぎて1桁程度しか有効に測定できていません)ので、24.75cm^2 としたところで大して意味をもたないでしょう。

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む

Q 数学の近似値の値について。

 数学の近似値の値について。
 例えば√6とした時(→は2乗という意味です)、 
 2→4
 √6→6
 2分の5→4分の25
 すなわち、
 4<6<4分の25
 2<√6<2分の5
 (√6は2と2.5の間)
 
 とあるんですが、いまいちよくわかりません。
 具体的に言うと、
 (1)小数ではなく分数で表されているところ。どうやったら分数→小数(逆も然り)になるのか。
 (2)他に、√2の近似値や√3の近似値などを求める時は、どんな風になるのか。
 (*(2)について、補足しますが、√2や√3の近似値を知らない、という設定とします。ですので、覚えたらそれまでなのですが、もし万が一忘れてしまった場合の対処法、また他の近似値を求める場合に役立てたいと考えています)。
 (3)√6は2と2.5の間とあるが、これは2+2.5=4.5 すなわち整数部分は4でいいのか。

 質問内容が拙く分かりにくい点もあると思うので、そういう時は仰っていただけるとありがたいです 

Aベストアンサー

1)分数→小数:分子÷分母を計算してください。
       例2分の5は、5÷2で2.5です。

 小数→分数:小数を1分の[その小数]という分数として考え、分母、分子それぞれに同じ値をかけ、
       分母、分子ともに整数となるようにする。
       例2.5は、1分の2.5で、分母、分子に2をかけ、2分の5です。

2)http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/6/heihoukon/PAGE001.HTM
 に、筆算でのやり方が書いてあります。

3)質問がよくわかりません。
        

Q1の位が0の時の少数第一位

たとえば、0.859だったとき、少数第1位や第2位はどこになるのですか?1の位が0のときは、普通ではなかったような気がするのですが…。

Aベストアンサー

小数第一位は、 0.1の桁を示しており、質問の例では8になります。
No.1さんの言うとおり、有効数字との勘違いと思われます。

参考URLの2.3.をご覧ください。

参考URL:http://www.gs.niigata-u.ac.jp/~kimlab/lecture/numerical/signif.html

Q体積の2等分、3等分の近似値

V={(x,y,z); x二乗+y二乗+z二乗≦1,z≧1}を水平に切って体積を2等分、3等分した時のz座標の近似値を求めよ。
おそらく、体積に関係したzの3次方程式を出してNewton法で近似値を求めるのだと思うのですが、三次方程式の出し方がわかりません。近似値はパソコンで計算できるので方程式の導き方を教えてください。
数学が苦手なので、なるべく丁寧な解説をお願いします。

Aベストアンサー

>饅頭のような半球体の形をしています。
わかってますけど・まあ、いいや。

今ある点Zでx-y平面で水平に切るんですよね。
それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。
z=0~z=Zまでをn個にスライスします。
1個あたりの幅はΔz:Z/nです。
このスライスしたものを
円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。
円柱の体積は、πr^2×h(底面積×高さ)です。
1枚目のハムの体積は、
r=Rsinθで
ここで、Rは球の半径で1
sinθは、cosθ:Δz/Rに対応するθのsinです。
1=(sinθ)^2+(cosθ)^2
から
(sinθ)^2=1-(cosθ)^2
で、cosθ=Δz/R=Δz
なので、結局1枚目の円柱の体積は
πr^2×h
=π(sinθ)^2×Δz
=πΔz(1-Δz^2)
です。
2枚目の円柱はというと
cosθ=2Δz/R=2Δz
ですから同様にして
=πΔz(1-(2Δz)^2)
です。
これらを足し合わせると
πΔzΣ1-πΔz^3Σn^2
ですから
πΔzn-πΔz^3{n(n+1)(2n+1)/6}になります。
ここで、Δzn=Zですから(カッコのそれぞれに掛け合わせて)
πZ-πZ(Z+Δz)(2Z+Δz)/6
になりますが
ココで分割するnを大きくするとΔzは0とみなせますから
πZ-2πZ^3/6
通分して
πZ-πZ^3/3
ということになります。
半球の体積は、2π/3ですので、
その半分π/3になるZを見つければ良いということになります。

>饅頭のような半球体の形をしています。
わかってますけど・まあ、いいや。

今ある点Zでx-y平面で水平に切るんですよね。
それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。
z=0~z=Zまでをn個にスライスします。
1個あたりの幅はΔz:Z/nです。
このスライスしたものを
円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。
円柱の体積は、πr^2×h(底面積×高さ)です。
1枚目のハムの体積は、
r=Rsinθで
ここで、Rは球の半径で1
s...続きを読む

Q1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

質問が抽象的で的外れなことかもしれませんが、よろしくお願いします。

(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55


(2)10(10+1)/2 =55

(1)と(2)が同じ答えになるのはどういう理由によるものでしょうか?
教えていただけたらと思います。

Aベストアンサー

まず、(1)の考え方。
数字を●の個数に見立て、●を並べる。
すると、下図のような三角形の図形が出来る。

1●
2●●
3●●●
4●●●●
5●●●●●
6●●●●●●
7●●●●●●●
8●●●●●●●●
9●●●●●●●●●
10●●●●●●●●●●


三角形の面積は、四角形の面積の半分(2分の1)。
この原理を利用すれば、面積の求め方の方法を使って、●の個数のみスピーディーに算出できると考えたのが、(2)の公式。
●の空白部分に○を埋め、四角形を作ってみる。

1○○○○○○○○○○
2●○○○○○○○○○
3●●○○○○○○○○
4●●●○○○○○○○
5●●●●○○○○○○
6●●●●●○○○○○
7●●●●●●○○○○
8●●●●●●●○○○
9●●●●●●●●○○
10●●●●●●●●●○
11●●●●●●●●●●
12345678910

○の行がひとつ増えた四角形ができる。
タテヨコの丸の個数を掛け合わせ、●と○全体の数を求めておき、それを半分(2分の1)に割ることで、●の個数のみ抽出できる。

まず、(1)の考え方。
数字を●の個数に見立て、●を並べる。
すると、下図のような三角形の図形が出来る。

1●
2●●
3●●●
4●●●●
5●●●●●
6●●●●●●
7●●●●●●●
8●●●●●●●●
9●●●●●●●●●
10●●●●●●●●●●


三角形の面積は、四角形の面積の半分(2分の1)。
この原理を利用すれば、面積の求め方の方法を使って、●の個数のみスピーディーに算出できると考えたのが、(2)の公式。
●の空白部分に○を埋め、四角形を作ってみる。

1○○○○○○○○○○
2●○○○○○○○○○
3●●○○○○○○○○
4●●●○○○○○○○
5●●●●○○○○○○
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