自然対数の利用法

自然対数eがどのようなものかは沢山の教科書に説明されていますが、どのような場合に利用したくなるか、言い換えれば、どのような場合に便利なのかがいまひとつ分かりません。簡単に具体例をまじえて教えて頂けませんでしょうか？
それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか？
つまり
-2=log_eA
のAを知りたいわけですが、どうしたらいいか分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： miniture_min 回答日時： 2005/12/26 20:32

具体的な意味を知りたいなら↓のURLからどうぞ

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

自然対数を体感して理解したいなら↓のURLからどうぞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/napier/na …

-2=log_eAを計算すると言う事は
e^A=-2　(^は何条という意味　3^2=9)
を計算するのと同じです。e=2.7182・・・・なので
自分で計算するのはかなり難しいです。後は電卓で計算しましょう。

No.5 回答者： sak_sak 回答日時： 2005/12/26 22:07

他の方も述べられていますが、自然対数の底eは、数学で微分や積分を行うときに大変に便利です。

でも、これは教科書に書いてあるでしょうから、質問者さんもわかりきっていることでしょう。

たとえば↓の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1839688
にもあるように、シンプルなプログラム言語では「eの何乗」を計算する機能しか用意されておらず「10の何乗とかが必要になったら自分で作りなさい」というような場合もあります。
なぜ10の何乗よりeの何乗の計算の方が楽なのかは、結局のところ「微分・積分が楽だから」ということになってしまうのですが、詳しく知りたいようだったら「マクローリン展開」「テイラー展開」というキーワードで探してみると何か得られると思います。

No.4 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/26 21:40

log(10)α　は常用対数

log(e)α　は自然対数
（ln αとよく書かれる。Natural Log α　と読む）
ですね。
(e)は対数の底を表す下付の添え字を表すとします。

自然対数の底の e の特徴は微分と積分の分野ですばらしい働きをする定数ですね。
以下のような微分、積分での性質があります。
自然対数( ln x ＝log(e) x)
や
指数関数 e^x
は以下の性質があり、微分積分の分野を発展させるのに大いに貢献しました。

●(ln x)'＝1/x

●∫ (1/x)dx ＝ ln x +C (Cは積分定数)

●(e^x)'＝e^x

●∫e^x dx＝ e^x + C (Cは積分定数)

また、次のオイラーの公式も複素数と実数領域を関係付ける関係、三角関数の位相と複素数を関係付ける関係式として、複素解析やｎ次方程式の根を求める手段など大いに貢献しています。

●　e^(-x)＝cos x + i sin x (iは虚数単位)
(オイラーの公式)

sin x ＝ {e^(ix) - e^(-ix)}/(2i)
cos x ＝ {e^(ix) + e^(-ix)}/2

このように単なる定数の「e」ですが、この定数の発見が数学や科学の発達に大いに貢献した定数というわけです。
特に、微分積分学、複素解析、位相数学、ベクトル幾何学、高次方程式の根（n乗根）などでは無くてはならない定数ですね。

＞それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか？

e≒2.7182818284590452349
として必要な桁数だけ取って、定数Aとして記憶させ

1/(A*A)
を電卓で計算する方法。

一般的な方法（-2乗でない場合も使える方法）
10^(-2*log(10)e)
この計算式に上記のeの値を入れて計算する方法。
eの常用対数をとり、-2を掛け、

y＝-2*log(10)e　≒-0.8685889638

10のべき乗の計算をします。
10^y ≒ 0.1353352832

10の小数点のついた関数が電卓に無い場合は
-1+(1-y)＝-1+(1-0.8685889638)
＝-1+0.1314110362
から
y2＝log 0.1314110362　（常用対数）
となるy2を求められれば、
e^(-2)≒y2/10
から求めることもできます。

定数eの値を使って、二乗して、逆数をとるのが早いですね。

No.3 回答者： miniture_min 回答日時： 2005/12/26 20:54

#1の者です。

すいません間違ってました。

-2=log_eAは
e^-2=Aでした。

補足説明です。
電卓によって使い方は違いますが、関数電卓なるものならlnという表示の場所があるはずなので、そこを押してから-2と入力、それから=を押せば答えは出ます。

1の説明ではどのような時に便利なのか分かりにくいかもしれません。ある式を何度も微分積分を行うような処理を数式化する上で、この値を使用していれば、簡単に処理できるというように捉えればいいと考えています。
例えば、
e^iθ=cosθ+isinθ
という式がありますが、これを適用する事によって、sinやcosの微分より遥かに楽になります。何故なら、sinやcosは微分すると、違うもの(sinとcosが入れ替わる)になってしまうからです。
他にもいろいろありますが、そのように理解していればいいと思います。

No.2 回答者： orangeapple55 回答日時： 2005/12/26 20:38

eは結構便利です。

例えば1/xの積分で出てきますね。

あとe^ix=cosx+isinx　　　(iは虚数単位)

ってのもあります。
これも便利です。
オイラーの公式って言うらしいです。