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自然対数eがどのようなものかは沢山の教科書に説明されていますが、どのような場合に利用したくなるか、言い換えれば、どのような場合に便利なのかがいまひとつ分かりません。簡単に具体例をまじえて教えて頂けませんでしょうか?
それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか?
つまり
-2=log_eA
のAを知りたいわけですが、どうしたらいいか分かりません。

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A 回答 (5件)

具体的な意味を知りたいなら↓のURLからどうぞ


http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …

自然対数を体感して理解したいなら↓のURLからどうぞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/napier/na …

-2=log_eAを計算すると言う事は
e^A=-2 (^は何条という意味 3^2=9)
を計算するのと同じです。e=2.7182・・・・なので
自分で計算するのはかなり難しいです。後は電卓で計算しましょう。
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他の方も述べられていますが、自然対数の底eは、数学で微分や積分を行うときに大変に便利です。


でも、これは教科書に書いてあるでしょうから、質問者さんもわかりきっていることでしょう。

たとえば↓の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1839688
にもあるように、シンプルなプログラム言語では「eの何乗」を計算する機能しか用意されておらず「10の何乗とかが必要になったら自分で作りなさい」というような場合もあります。
なぜ10の何乗よりeの何乗の計算の方が楽なのかは、結局のところ「微分・積分が楽だから」ということになってしまうのですが、詳しく知りたいようだったら「マクローリン展開」「テイラー展開」というキーワードで探してみると何か得られると思います。
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log(10)α は常用対数


log(e)α は自然対数
(ln αとよく書かれる。Natural Log α と読む)
ですね。
(e)は対数の底を表す下付の添え字を表すとします。

自然対数の底の e の特徴は微分と積分の分野ですばらしい働きをする定数ですね。
以下のような微分、積分での性質があります。
自然対数( ln x =log(e) x)

指数関数 e^x
は以下の性質があり、微分積分の分野を発展させるのに大いに貢献しました。

●(ln x)'=1/x

●∫ (1/x)dx = ln x +C (Cは積分定数)

●(e^x)'=e^x

●∫e^x dx= e^x + C (Cは積分定数)

また、次のオイラーの公式も複素数と実数領域を関係付ける関係、三角関数の位相と複素数を関係付ける関係式として、複素解析やn次方程式の根を求める手段など大いに貢献しています。

● e^(-x)=cos x + i sin x (iは虚数単位)
(オイラーの公式)

sin x = {e^(ix) - e^(-ix)}/(2i)
cos x = {e^(ix) + e^(-ix)}/2

このように単なる定数の「e」ですが、この定数の発見が数学や科学の発達に大いに貢献した定数というわけです。
特に、微分積分学、複素解析、位相数学、ベクトル幾何学、高次方程式の根(n乗根)などでは無くてはならない定数ですね。

>それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか?

e≒2.7182818284590452349
として必要な桁数だけ取って、定数Aとして記憶させ

1/(A*A)
を電卓で計算する方法。

一般的な方法(-2乗でない場合も使える方法)
10^(-2*log(10)e)
この計算式に上記のeの値を入れて計算する方法。
eの常用対数をとり、-2を掛け、

y=-2*log(10)e ≒-0.8685889638

10のべき乗の計算をします。
10^y ≒ 0.1353352832

10の小数点のついた関数が電卓に無い場合は
-1+(1-y)=-1+(1-0.8685889638)
=-1+0.1314110362
から
y2=log 0.1314110362 (常用対数)
となるy2を求められれば、
e^(-2)≒y2/10
から求めることもできます。

定数eの値を使って、二乗して、逆数をとるのが早いですね。
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#1の者です。

すいません間違ってました。

-2=log_eAは
e^-2=Aでした。

補足説明です。
電卓によって使い方は違いますが、関数電卓なるものならlnという表示の場所があるはずなので、そこを押してから-2と入力、それから=を押せば答えは出ます。

1の説明ではどのような時に便利なのか分かりにくいかもしれません。ある式を何度も微分積分を行うような処理を数式化する上で、この値を使用していれば、簡単に処理できるというように捉えればいいと考えています。
例えば、
e^iθ=cosθ+isinθ
という式がありますが、これを適用する事によって、sinやcosの微分より遥かに楽になります。何故なら、sinやcosは微分すると、違うもの(sinとcosが入れ替わる)になってしまうからです。
他にもいろいろありますが、そのように理解していればいいと思います。
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eは結構便利です。


例えば1/xの積分で出てきますね。

あとe^ix=cosx+isinx   (iは虚数単位)

ってのもあります。
これも便利です。
オイラーの公式って言うらしいです。
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Q自然対数eは何に使えるのですか?eが含まれている関数を微分することはで

自然対数eは何に使えるのですか?eが含まれている関数を微分することはできても、これが何に使えるのかわかりません、何に使えるのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。色々と用途はありますよ。

まず、eは「自然対数」ではありません。
「ネイピア数」あるいは「自然対数の底」と呼ばれる定数です。
まー、あなただけでなく、間違える人は結構多いですけれども。

私は学生のときに放射性同位体の半減期の件を習いましたが、
半減期Tを用いるならば、
t秒後の個数 = 初期の個数 × (1/2)^(t/T)
というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No.1さんが挙げられているのは、オイラーの公式と呼ばれるものです。
実用でも非常に有用な式ですが、この世の真理(量子力学)を記述する際には欠かせません。
「実数eの純虚数乗」なので、私は初めて見たとき「なんのこっちゃ」と思いましたが、
sinx、cosx のテイラー展開と e^x のテイラー展開とを見比べると正しいことがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

あるいは、オイラーの公式には「計算を楽にする」という「ずるい応用」もあります。
「cos(aθ)をθでn回微分した式を書け」
という問題があるとしましょう。
ストレートにやろうとすると、
0回 cos(aθ)
1回 -a・sin(aθ)
2回 -a^2・cos(aθ)
3回 a^3・sin(aθ)
4回 a^4・cos(aθ)
・・・・・
というふうにややこしくなり、やる気がしないですが、
cosθ = 「cosθ + isinθ の実数部分」 = 「e^(iθ) の実数部分」
としてしまえば、
cosθのn回微分 = 「i^n・e^(iθ) の実数部分」
と一発で式が書けます。
私は、仕事で光学を扱ったころ、この「ずるい」計算方法に助けられました。

虚数単位iは電気工学ではjと書きます。
(電気では電流をiと書く習慣があるので、同じにならないように隣の文字を使っているだけです。)
高校物理や工業高校の電気科の交流回路の計算で「jωc」「jωL」というのが出てきますが、
それは、e^(iωt) に関係します。
つまり、高校生は、オイラーの公式や微分方程式を、知らず知らずのうちに利用しています。

科学や工学への応用だけではありません。
eは、金利の計算でも用いられます。第3章をご覧ください。
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/napier.pdf

あと、役に立つ例としては、電気回路の動作速度にかかわる配線遅延の計算です。
これも、私は仕事でよく使いました。
たとえば、こんな単純な回路です。

Eボルト(一定)-------スイッチ------抵抗R---(V)-----|容量C|-------0ボルト

初期(スイッチを入れる前)のRの左右の電位がともに0ボルトだとしましょう。
そして、スイッチをONにしてからVがどのように変化するかを考えます。
すなわち、Eボルトという電圧がVの部分にどのように充電されていくか(伝わるか)です。

抵抗Rの両端のオームの法則は、
E - V = Ri
コンデンサにたまっている電荷Qは
Q=CV
ところが、回路は一本道なのでiはQの時間変化dQ/dtと等しいです。
よって、両辺を微分すれば、
i = dQ/dt = CdV/dt

以上のことから
E - V = RCdV/dt
簡単な微分方程式なのですが、字数制限に引っかかりそうなので、はしょります。
1-V/E = 1/e^(t/RC) = Vの部分の満充電に対する割合
という答えが出ます。
というわけで、時間がRC秒(抵抗と容量の積)だけ経過すると、
満充電に対する割合は、e分の1、
2RC秒後は、e^2分の1
3RC秒後は、e^3分の1
・・・
無限秒後は、e^∞分の1 ⇒ 1 (100%)
となります。
ですので、仕事仲間と回路の話をするとき、よく
「1RC分で2.7分の1」とか、よく言ってました。
抵抗と容量の積である「RC」は「時定数」と呼ばれます。
オームという単位にファラッドという単位を掛け算すると秒という単位になるということでもあります。

こんにちは。色々と用途はありますよ。

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半減期Tを用いるならば、
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というふうに、1/2 を用いればよく、eを用いる必要はありません。
しかし、微分方程式を解くときには、eを使った計算を経由すると楽に解けます。

No....続きを読む

Q自然対数のLn

パソコンでグラフを作り、計算式を求めたところ、「Ln」というのが出てきました。
全く意味がわからず、困ってます。
決まった数字なのでしょうか?Lnの意味がわからないので、数式が解けません!わかる方!よろしくお願いします!

Aベストアンサー

logは底が10で、常用対数と呼ばれています。
底をe(2.7182818)としたものは自然対数と呼ばれ、「log_e」ではなく「ln」と表記されます。

参考URL:http://www.nn.iij4u.or.jp/~therans/JouyouTaisuu.html

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q対数変換する意味?

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

この...続きを読む

Q常用対数を使うと何が便利なんですか?

常用対数の実用性についてわかりやすく教えてください。
特にデシベルとの関連について・・・掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが具体的な例を示していただければありがたいです。

Aベストアンサー

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君は先月まで10000円だった、B君は100万円貰っていた。

 では、それぞれの生徒数やお小遣いを対数で表してみると
A校は、1→1.3010  差は0.3010
B校は、3→3.004  差は0.004
A君は、4→4.3010  差は0.3010
B君は、6→6.004  差は0.004
 差を比較するより、何倍になったかを比較するほうが適切なことが分かると思います。A校の思いと、A君の思いは同じことがこれで分かるね

>掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが
 は数学的な意味ですね。
 たとえば10倍したものを1000倍すると、10000倍ですが、対数で考えると1+3=4ですから、10^{4}で10000
 10^{1} * 10^{3} = 10^{1+3} = 10^{4}
 10の倍数だけでなく、すべての数が10^{x}という形で表せる。このあたりは
冪乗 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 )
対数 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 )
などで勉強してね。

>特にデシベルとの関連について
 実は、人間の感覚も対数なのです。
 人は、音の大きさは、エネルギーの大きさが10倍になっても2倍になった要に感じる。でないと、1万倍の音を聞いたら頭が壊れてしまう。一万倍になっても4倍の大きさにしか感じない。
 明るさだって、光子一個でも感じることができるのに、それが数億個になっても、目が焼ききれない。


 

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

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Qexpという理解できない記号があります。

expという理解できない記号があります。
exp(x) = 2.718 ^ x
までは、わかりましたがこの関数は何の意味があるのか、用途もわかりません。

あと、フリーで関数を入れるとグラフを書くようなソフトはありますか?
y = exp(x)のようなグラフを書かせて、見た目でも理解したいです。

expのプロ?のご意見が聞きたいです。

Aベストアンサー

2.718~x では、ありません。

∫[t=1→x] (1/t)dt という関数に名前をつけて、
log x と書き、自然対数と呼びます。
この log の逆関数を、exp と書き、
指数関数と呼びます。

exp(x・log(a)) のことを a~x と、
exp(1) のことを e と書く慣習です。
したがって、exp(x) = e~x が成立します。

x が自然数の場合、
a~x は、よく知られていますね。

e の値は、
近似値で e ≒ 2.718281828… であり、
e = 2.718 ではないです。

Q自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?

自然対数の底 e を持つ対数の計算方法はどうやるんですか?
例えば、log(7/6)や、log5などを例にして教えて下さい!

Aベストアンサー

一般的には、関数電卓で求めるのが、もっとも簡単かつ正確かつ速いです。

自然対数表から求める方法もあります。
http://www.piclist.com/images/www/hobby_elec/logarithm.htm
log(7/6) = log(7) - log(6) ≒ 1.94591 - 1.79176

また、低の変換をして、常用対数にしてから、常用対数表を用いる方法もあります。
log(5) = log_10(5)/log_10(e) ≒ 0.69897 / 0.43236
(ただ、この場合e ≒ 2.7としたので、精度はよくない)

Q10のべき乗の計算を教えてください

某制御機器にて10のX乗(Xは実数)を計算させたいのですが装置の持っている命令には10のX乗は無いため計算式を考えています。使えそうな命令としてはexpとlnが有ります。いい方法を教えてください。

Aベストアンサー

10のX乗=exp(X×ln(10))
で良いと思います。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qネピア e は 日常生活でどんな関係があるのか

何回も数学書を読んでもまったく分かりません。
グラフでY=a^(x)や接線だの、三角形の底辺だの言われてもまったく理解できなかった。
たぶん、日常生活とのかかわりがわからないからかも。
そこで、この e という概念が 具体的に どのように この社会を助けているのか、5個くらい例を挙げて教えていただけないでしょうか?
今、自然対数というものについて、理解しようとしていますが、助けてください -------

Aベストアンサー

「日常生活に役立つ」ということで、どこまでのことを想定してるかによると思いますが、Ano5への回答へのお礼の中で、「日常生活の中でナントカ乗などの式を使いません」とあるので、質問者さんの想定する「日常生活」は
「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」と仮定して回答します。
もし「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」であればeは別に役にたたないと思います。
 これが、たとえば、エンジニアだったり科学者だったりすれば、eはなくてはならないでしょうし、どうなくてはならないか?は他の方が既に説明してるとおりです。
 もし仮にeがなかったら、非常に簡単な数学の問題が解けない。
たとえば、もっとも簡単な微分方程式が解けないでしょう。
その影響はとてつもないです。たとえば、化学反応の計算はできないので、
薬の設計は出来ない、化学製品は製造できない。
あるいは、簡単な電子回路の解析もできない。ほとんどすべての電気製品は
存在できなかったでしょう。
電車が曲がれないどころか、電車など発明されなかったでしょう。
というか、電磁気学の理論もないでしょうから、電話もないし。
熱機関の設計もできないので、蒸気機関の発明もなかったかもしれません。
きっと産業革命以前の生活をしてることでしょう。

「日常生活に役立つ」ということで、どこまでのことを想定してるかによると思いますが、Ano5への回答へのお礼の中で、「日常生活の中でナントカ乗などの式を使いません」とあるので、質問者さんの想定する「日常生活」は
「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」と仮定して回答します。
もし「ナントカ乗などの式は使わない日常生活」であればeは別に役にたたないと思います。
 これが、たとえば、エンジニアだったり科学者だったりすれば、eはなくてはならないでしょうし、どうなくてはならないか?は他の...続きを読む


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