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169とか196とか、またはさらに大きい数の平方根を早く見つける方法ってないんですか?

A 回答 (5件)

あくまでも平方数(整数の二乗)であることが確実であれば・・・・


一の位1であれば平方根の一の位は1か9
一の位4であれば平方根の一の位は2か8
一の位9であれば平方根の一の位は3か7
一の位6であれば平方根の一の位は4か6
一の位5であれば平方根の一の位は5
一の位0であれば平方根の一の位は0
こんなところから想像を働かせてみる。

さらに、わかっている平方数の倍数であればまずはその平方数で割ってみて、残りの平方根を求める。
たとえば、
196は4の倍数なので、196/4=49、49=7^2だから、
√196=√4×√49=2×7=14

さらに、検算する場合には
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2とか(x-y)^2=x^2-2xy+y^2などを活用すると二乗の計算が簡単です。
たとえば、
29×29を計算するのに、
(30-1)^2=30^2-2×30×1-1^2=900-60+1=841
とか
43^2=(40+3)^2=1600+240+9=1849
などと計算できるので、一の位の想像がつけて検算すればかなりの確率で当てられると思います。
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基本的に平方根が整数であるという前提で考え、


条件に合わなかった場合は、√が含まれる。という事になります。

平方根を見つけるということは、素因数分解する事とほぼ同じです。

<素因数に2が含まれる数について>
まず、4の倍数でなくなるまで4で割り続けます。
a回割れたとして、
元の数=4^a*b
と表す事が出来ます。(bが偶数の場合は平方根は整数ではありません。その場合a'=2として、元の数=4^a*a'*bとします)

<素因数に5が含まれる数について>
次はわかり易い順として、bの1の位が5であった場合に、1の位が5でなくなるまで25で割り続けます。
c回割れたとして、
元の数=4^a(*a')*25^c*d
と表す事ができます。(dが整数でなかった場合は平方根は整数ではありません。その場合c'=5として、元の数=4^a(*a')*25^c*c'*dとします)

<素因数に3が含まれる数について>
今度はdの各桁の数値の合計が9の倍数であった場合に、各桁の数値の合計が9の倍数でなくなるまで9で割り続けます。
e回割れたとして、
元の数=4^a(*a')*25^c(*c')*9^e*f
と表す事が出来ます。(fが整数でなかった場合は平方根は整数ではありません。その場合e'=3として、元の数=4^a(*a')*25^c(*c')*9^e*e'*fとします)

<素因数に7が含まれる数について>
fを50で割った時に、商+余りを考える。
ただし、商+余りが50以上だった場合、その商+余りを50で割った時の商+余りを考える。
これを50未満になるまで繰り返し、その値が49であった場合、fを49で割る。
その場合、fを49で割った値に対しても同様の事を行い、50未満の商+余りが49でなくなるまで繰り返す。
49で割った回数をg回として、
元の数=4^a(*a')*25^c(*c')*9^e(*e')*49^g*h
と表す事が出来ます。(hが7の倍数であった場合は平方根は整数ではありません。その場合g'=7として、元の数=4^a(*a')*25^c(*c')*9^e(*e')*49^g*g'*hとします)

このように、「素数の2乗」の倍数になっているかどうかを小さい方から順に(5は見てすぐ分かる為3より先にやりましたが)確かめていく必要があります。

196であれば4で割って49なので2*7=14が平方根と分かりますが、
169の場合は、2・3・5・7の何れの2乗(2乗しなくてもですが)の倍数ではない事が分かるので、
(11の2乗の121の倍数でもなく、)13の2乗の169である。という風に判断せざるを得ないので、
素数の2乗については、優先的に覚えておいた方が楽かとは思います。

極端に大きな数の場合は分かりませんが、学校の問題であれば、上記の方法で1桁の数字の偶数乗の積については網羅できているので、
後は11・13・17・19の2乗を覚える(その場で計算するのでも十分ですが)くらいで対応できるかと。

ちなみに1の位について
1^2→1
2^2→4
3^2→9
4^2→6
5^2→5
6^2→6
7^2→9
8^2→4
9^2→1
0^2→0
であるので、平方根が整数であるとすれば、
1の位が1なら平方根の1の位は1か9、4なら2か8、5なら5、6なら4か6、9なら3か7、0なら0、
2,3,7,8なら平方根は整数ではない。
と分かるので、これを利用すれば、無関係な数値で計算するロスは減らせるかと。
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割り算の様に、筆算で平方根を求める方法があるから、それを使う。


①整数を下から2桁ずつ区切る。
169→1|69
②先頭の1で、○×○=1となる数を求める。○=1
③引き算すると69が残る
④1+1=2として、2△×△=69となる△を求めると、△=3
√169=○△=13

196も同じやり方。
○=1
2△×△=96だから、△=4
√196=○△=14
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う~ん、特にないと思いますよ(^^;)


11,12,13、・・・などは憶えておいた方が便利なんですが、
それより大きな数は、調べるしかないですね(-_-)
でも、勉強していくうちに、”勘”がはたらくようになります(^^)
例えば、841の平方根は?
1桁目の数字が「1」ですから、奇数が平方根のはず・・・1桁目が奇数の場合は、平方根は奇数になります(◎◎!)
で、841は、900(=30の2乗)より小さい・・・841は、結構900に近い・・・
・・・じゃあ、平方根は29,27あたりになるんじゃない?
・・・で、面倒がらずに計算して、29の2乗は841(当たり!)、27の2乗は729(はずれ!)
ってな具合ですかね(^^A)

それから、1桁目の数字が偶数の場合は、偶数が平方根になりますよ(^^)
これだけでも、平方根を求めやすくなるのではないでしょうか(^o^)

参考になれば幸いです(^^v)
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169は13の2乗


196は14の2乗

では15の2乗は。
16の2乗は。
17の2乗は。
18の2乗は。
 ・
 ・
 ・

ということですよね?
参考まで。
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