現在固有値問題を解いているのですが、ヤコビ法とQR法とでは
どちらがどれくらい計算が速いでしょうか?
解こうとしている行列は最小で1000×1000で、精度を良くする
ために5000×5000程度の行列で解こうと思っています。
どなたか教えていただければ幸いです。お願いします。

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A 回答 (2件)

n×n行列Aの固有値問題。


困り度3ということですから、中途半端ながらres付けてしまいます。

ヤコビ法は大きいnには手間が大きくて辛いでしょうね。
QR法が便利だけれど、一手間掛けまして、原点を移動する。つまり狙いの固有値を絶対値≒0になるように座標変換しておいてからQR法を使うのが旨いやり方だと思います。つまり予想される値μを使って、Aの代わりにA-μI の固有値を求めて、得られた答えにμを加えればよい。

反復計算で固有値と固有ベクトルを求める段階では、固有値の絶対値同士がどのぐらい散らばっているかによって計算の手間が全然違う。絶対値の順に固有値を並べた時、隣り合う固有値の比が1に近いと手間が掛かります。固有値が一個ずつ出てくるのを使って問題を減次するのも、nが大きいときには結構な手間です。なかなか一概には論じきれないな。

また固有値と固有ベクトルの近似値μ,vを改良するという仕上げは欠かせません。つまり
(A-μI)x = v
を解いてxを求め、改良された固有ベクトルの近似値xと、固有値の近似値(Ax)[j]/x[j]を求める。これを繰り返します。(これは最初の近似が良ければ凄く速く収束します)。QR法はこの計算にも向いてます。

スパースな行列(つまり零要素が殆ど、という場合)だと、また話が違うようです。

いずれにせよ、誤差の累積が怖いので、計算の精度(有効桁数)を変えて2度計算し、両者の結果が一致することを確認すべきです。もし食い違うようなら、有効桁数が足りない訳です。
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この回答へのお礼

とても有用なご回答ありがとうございます。
もう少しいろいろ調べながらやっていこうと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/27 23:17

大きい固有値だけに限って求められれば十分、という応用が沢山あります。

また、制御工学では不安定な固有値成分だけ取り出したい。そういう場合どうするのか、ちょっと調べてみたら
「ランチョス法に、等角写像を組み合わせる。」
というテクニックがあるみたいです。
等角写像
y = (x+c) / (x-c) (x,yは複素数、cは適当な正の定数)
によって、不安定なやつを単位円の外に、安定な奴を単位円の中に写像しておいて、ランチョス法(絶対値が大きい固有値から順に出てきます)を適用するらしい。
 まだ調査中ですが、お急ぎのようなのでとりあえず。
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Qヤコビ法とQR法について

現在固有値問題を解いているのですが、ヤコビ法とQR法とでは
どちらがどれくらい計算が速いでしょうか?
解こうとしている行列は最小で1000×1000で、精度を良くする
ために5000×5000程度の行列で解こうと思っています。
どなたか教えていただければ幸いです。お願いします。

Aベストアンサー

n×n行列Aの固有値問題。
困り度3ということですから、中途半端ながらres付けてしまいます。

ヤコビ法は大きいnには手間が大きくて辛いでしょうね。
QR法が便利だけれど、一手間掛けまして、原点を移動する。つまり狙いの固有値を絶対値≒0になるように座標変換しておいてからQR法を使うのが旨いやり方だと思います。つまり予想される値μを使って、Aの代わりにA-μI の固有値を求めて、得られた答えにμを加えればよい。

反復計算で固有値と固有ベクトルを求める段階では、固有値の絶対値同士がどのぐらい散らばっているかによって計算の手間が全然違う。絶対値の順に固有値を並べた時、隣り合う固有値の比が1に近いと手間が掛かります。固有値が一個ずつ出てくるのを使って問題を減次するのも、nが大きいときには結構な手間です。なかなか一概には論じきれないな。

また固有値と固有ベクトルの近似値μ,vを改良するという仕上げは欠かせません。つまり
(A-μI)x = v
を解いてxを求め、改良された固有ベクトルの近似値xと、固有値の近似値(Ax)[j]/x[j]を求める。これを繰り返します。(これは最初の近似が良ければ凄く速く収束します)。QR法はこの計算にも向いてます。

スパースな行列(つまり零要素が殆ど、という場合)だと、また話が違うようです。

いずれにせよ、誤差の累積が怖いので、計算の精度(有効桁数)を変えて2度計算し、両者の結果が一致することを確認すべきです。もし食い違うようなら、有効桁数が足りない訳です。

n×n行列Aの固有値問題。
困り度3ということですから、中途半端ながらres付けてしまいます。

ヤコビ法は大きいnには手間が大きくて辛いでしょうね。
QR法が便利だけれど、一手間掛けまして、原点を移動する。つまり狙いの固有値を絶対値≒0になるように座標変換しておいてからQR法を使うのが旨いやり方だと思います。つまり予想される値μを使って、Aの代わりにA-μI の固有値を求めて、得られた答えにμを加えればよい。

反復計算で固有値と固有ベクトルを求める段階では、固有値の絶対値同士がどのぐらい散...続きを読む

Q3×3行列の固有値と固有ベクトル

以下の行列Aの固有ベクトルを求めようとしているのですが,解を見つけられないでいます.
2 1 0
1 2 0
0 0 -2
計算を進めた結果,固有値λは3,1,-2となり,λ=3,1に対応する固有ベクトルはそれぞれ[1,1,0]t,[1,-1,0]tとなったのですが,λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか?

また,行列Aは対称行列なのでそれぞれの固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか?

回答よろしくお願いします.

Aベストアンサー

>固有値をλ、
|2-λ,1,0|
|1.2-λ,0|
|0,0,-2-λ|=0
(2-λ)*(2-λ)*(-2-λ)+1*0*0+0*0*1-0*(2-λ)*0-(2-λ)*0*0-1*1*(-2-λ)
=-(2+λ)(λ^2-4λ+3)=0、λ=-2,1,3
λ=-2の場合
|2+2,1,0|
|1,2+2,0|
|0,0,-2+2|
だから|A-λE|*(x,y,z)=0は
|4,1,0||x|
|1,4,0||y|
|0,0,0||z|=0
4x+y+0z=0
x+4y+0z=0
0x+0y+0z=0
x=y=0、z=t(任意の実数)
よって固有ベクトルはt*(0,0,1)
λ=1の場合
|1,1,0| |x|
|1,1,0| |y|
|0,0,-3||z|=0
x+y=0、-3z=0
x=t,y=-t,z=0
よって固有ベクトルはt*(1,-1,0)
λ=3の場合
|-1,1,0||x|
|1,-1,0||y|
|0,0,-5||z|=0
-x+y=0
x-y=0
-5z=0からx=y=t、z=0
よって固有ベクトルはt*(1,1,0)
固有ベクトルの内積
>t*(0,0,1)・t*(1,-1,0)=0
t*(0,0,1)・t*(1,1,0)=0
t*(1,-1,0)・t*(1,1,0)=0

>固有値をλ、
|2-λ,1,0|
|1.2-λ,0|
|0,0,-2-λ|=0
(2-λ)*(2-λ)*(-2-λ)+1*0*0+0*0*1-0*(2-λ)*0-(2-λ)*0*0-1*1*(-2-λ)
=-(2+λ)(λ^2-4λ+3)=0、λ=-2,1,3
λ=-2の場合
|2+2,1,0|
|1,2+2,0|
|0,0,-2+2|
だから|A-λE|*(x,y,z)=0は
|4,1,0||x|
|1,4,0||y|
|0,0,0||z|=0
4x+y+0z=0
x+4y+0z=0
0x+0y+0z=0
x=y=0、z=t(任意の実数)
よって固有ベクトルはt*(0,0,1)
λ=1の場合
|1,1,0| |x|
|1,1,0| |y|
|0,0,-3||z|=0
x+y=0、-3z=0
x=t,y=-t,z=0
よって固有ベクトルはt*(1,-1,0)
λ=3の場合
|-1,1,0||x|
|1,-1,0||y|
|0,0,-5||z|=0...続きを読む

QプロトンNMRの高磁場シフト、低磁場シフトについて

 化学論文を読んでいて、包接錯体形成によりあるNMRスペクトルが高磁場シフトや低磁場シフトをしているものがありました。
 色々調べていて、溶媒を変えるなどによって環境が変わったり、相互作用があると高磁場シフトや低磁場シフトが起こるということはなんとなく分かったのですが、同じ相互作用でも高磁場シフトしているものと低磁場シフトしているものがあり、原理の部分がいまいち分かりません。
 どういうときに高磁場シフトもしくは低磁場シフトするのかを教えてもらえるとうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

当たり前のことですが、化学シフトはプロトンの周辺の電子密度が高ければ高磁場側になり、電子密度が低ければ低磁場側になります。
包接錯体形成によって、プロトンの周囲の電子密度が低下すれば低磁場シフトしますし、増大すれば高磁場シフトをすることになります。
つまり、錯体形成による電子密度の変化を反映しているということになり、それは錯形成の相手の原子の種類や電子密度などの影響を受けます。また、不飽和結合があれば、環電流の影響も考えられます。

Q行列(固有値と固有ベクトル) (1)固有値が√の固有ベクトル

数学の行列の固有値と固有ベクトルの問題ですが、
(1  3)
(2 -1)
の固有値と固有ベクトルを求めたいのですが
d(λ-1  -3)
e(-2  λ+1)
t

(λ-1)(λ+1)-(-3)(-2)=0
λ^2 -1-6=0
λ^2 -7=0
λ=±√7
と固有値が出ると思うのですが、固有ベクトルを求める時、λ=√7の時、
(λ-1  -3)(x1) (0)
(-2  λ+1)(x2)=(0)のλに√7を代入すると、

(√7 -1    -3)(x1) (0)
(-2    √7 +1)(x2)=(0) になって、
固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。
√以外だと、左上を1にして求めていけばいいと思うのですが・・・

Aベストアンサー

#2です。
A#2の補足の回答
> α(1   )
>  ((√7-1)/3) 
> ということですね
そうです。

固有ベクトルは、αは何でもいいですから、適当に定めていいですね。
たとえば
α=1でも3などいずれでもいいですね。

同様にλ=-√7に対する固有ベクトルは
β(1   )
 (-(√7+1)/3)
ですね。
β=1でも-1でも3でもいずれでもいいですね

Q使いやすいトリガーシフト

シフトレバーをグリップシフトからトリガーシフトに交換予定ですが、
使い勝手の良い、これはほんとお勧めです的なトリガーシフトありましたら教えてください。

リアディレイラーはシマノのものなので、対応するトリガーシフトは限られてますが
操作性や品質の良いトリガーシフトに合わせてディレイラーを交換してもいいかなと思ってます。

バイクはMTBです。

それと、ブレーキとシフト兼用タイプのものは、操作しやすいでしょうか。

Aベストアンサー

 現在のスプロケット、リアディレイラーの変速段数によります。
 7~8速のものならシマノの物ならどれを選択しても性能も品質もだいたい同じですので、デザインで選んでいいと思います。SRAMのシマノコンポーネント対応シフターでもかまいませんが、性能を考えるとシマノが一番でしょう。

 9速~10速ならDeoreXT以上がおすすめです。XTはシフトダウンが一度の操作で最大3速まで変えられ、またシフトアップはトリガーを押しても引いても変速できますので、握りによって人差し指と親指のどちらでも操作できるという利点があります。XTではシフトアップは一度の操作で1速ですが、XTRになるとシフトアップは最大2速までアップできるようになります。

Q固有値が重解の行列Aの不動直線の求め方

お世話になります。よろしくお願いします。
___________________
行列A=(a b)の固有値が重解αを持つ時
     (c d)
一次変換Aの不動直線を求めたいのですが。
(固有値αの固有ベクトルを<u>とします。)
___________________

固有値が重解の場合の不動直線の求め方は
なかなか本に載ってなくて困っています。
どのように考えればよいでしょうか?
勉強のためにいろいろな方針、解法を募集しますので
ご協力よろしくお願いします。

Aベストアンサー

NO.3です。

行列A(固有値αの重解を持ち且つA≠αE)によって表される一次変換をfとし、座標平面上の点P1(原点ではない)を考えます。
また、↑OQ=α↑OP1なる点Qも考えます。
f(P1)=P2とした場合に、
先の議論で、↑QP2≠↑0(…*)を満たす点P1が存在することを述べましたが、ここで想定する点P1はこの性質を満たすものとします。
また、*で示されるベクトルが行列Aの固有ベクトルに他なりませんが、この一つを↑ORとします。
*の性質から、↑OP1と↑ORは一次独立である点に注意してください。またA≠αEであることこから、↑OP1と↑ORが一次独立であれば、*が満たされることにも留意しましょう。
これで準備完了です。
↑QP2と↑ORが平行である(…★)ことを念頭において以下の場合分けを図示しましょう。

α=0の場合、
Qは原点ですから、点P1は一次変換fによって直線OR上に落ちてきます(∵★)。
また、α=0であるから直線OR上の点は全て一次変換fによって原点に移ります。
このことから、不動直線は存在しないことがわかります。

α=1の場合、
P1=Qであるから★により、平面上の全ての点は、一次変換fにより、直線ORと平行に移動します。
またα=1であるから、直線OR上の点は一次変換fによって全て不動。
このことから、直線ORに平行な直線は全て不動直線であることがわかります。

αが0でも1でもない場合、
↑P1P2と↑ORは平行とはなり得ないので、原点を通らない不動直線は存在しない。不動直線は直線ORのみということになる。

以上、議論が粗い為、わかりにくいかもしれませんが、図示して頑張って読んでください。。。

NO.3です。

行列A(固有値αの重解を持ち且つA≠αE)によって表される一次変換をfとし、座標平面上の点P1(原点ではない)を考えます。
また、↑OQ=α↑OP1なる点Qも考えます。
f(P1)=P2とした場合に、
先の議論で、↑QP2≠↑0(…*)を満たす点P1が存在することを述べましたが、ここで想定する点P1はこの性質を満たすものとします。
また、*で示されるベクトルが行列Aの固有ベクトルに他なりませんが、この一つを↑ORとします。
*の性質から、↑OP1と↑ORは一次独立である点に注意してください。またA≠αEであること...続きを読む

Q上に動かすとシフトダウン、下に動かすとシフトアップ

ゲームセンターでレースゲームをしていて
MTモードをやると
シーケンシャルシフトレバーを使いますよね?
その時に、私にはシフトアップがレバーを手前に
動かして、シフトアップが奥へ動かすという操作が
どうも変に感じます。たま~に間違えます。
ゲームなんかで壁に追突すると急激にシフトダウンを
するので、手前に引くのがシフトダウンの方がやり
やすいと思うのです。
みなさんはどう思いますか?
シフトダウンとシフトアップならダウンの方が
使う回数は多いのは私だけですか?
それとレバーを奥に動かすのがシフトアップする
車ってありますよね?三菱のFTOかGTOかだったと思う
のですが、
お願いします。

Aベストアンサー

シフト方向はメーカーや車種によってまちまちです。

1.上(前方)はアップ、下(後方)はダウン
2.その逆

 の2種類が挙げられていますが、1.は直感的に上のほうがプラス=シフトアップ、という考え方ですね。
 2.の方は、加減速の際に発生するGを考慮したものです。実際にサーキット走行などをすると通常では考えられないほどのハードなブレーキングをします。コーナーに進入する前にはシフトダウンをしておいて、来るべき加速に備える必要があります。その際、前方に強いG(1G近くかかります)がかかった状態でシフトレバーを手前に引くより、Gに任せて前方へ倒した方が、操作は楽で確実です。加速の際のシフトアップも同様です。

Q1、)A×Aの転置行列=Aの転置行列×A=E

1、)A×Aの転置行列=Aの転置行列×A=E


2、)A×Aの逆行列=Aの逆行列×A=E


(Eは単位行列)



1、2はどちらも成立してますか??

私の記憶では2しか成立しなかったような気がするのですが。。。

Aベストアンサー

1は特別な行列に限り成立します。

全て実数の場合この種の行列を実直交行列といい、
複素数まで拡張した場合をユニタリー行列といいます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E8%A1%8C%E5%88%97
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E3%83%BC%E8%A1%8C%E5%88%97

Q確率の計算問題になると思います。 解る方お願いします。 1週間のシフトを二人で組む場合、A君は5日、

確率の計算問題になると思います。
解る方お願いします。
1週間のシフトを二人で組む場合、A君は5日、B君は4日の希望シフトを出した場合に二人ともシフトが入らない曜日が出る(シフトに穴が空く)確率はいくらでしょうか?

あとA君が4日、B君が3日の希望シフトを出した場合もお願いします。

Aベストアンサー

B君のシフト希望では休み希望日が3日あります。
B君の休み希望を順に考えて見ます。
A君の休み希望日は一週間のうち2日ありますので、B君の休み希望第1日目が、A君の休み希望日と重ならない可能性は、5/7となります。
さらに、B君の休み希望第2日目は、B君の休み希望第1日目と別の曜日ですから、A君の休み希望日と重ならない可能性は、4/6となります。
同様に、B君の休み希望第3日目が、A君の休み希望日と重ならない可能性は、3/5 となります。
すなわり、A君とB君の休み希望日が重ならない確率は、5/7 x 4/6 x 3/5 = 2/7 となります。
逆に、A君とB君の休み希望日が重なり、シフトに穴が空く確率は、1 - 2/7 = 5/7 となります。

A君が4日、B君が3日の希望シフトを出した場合は、
A君とB君の休み希望日が重ならない確率は、4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 = 1/35 となり、
A君とB君の休み希望日が重なり、シフトに穴が空く確率は、1 - 1/35 = 34/35 となりそうな気がします。

これでいいような気がしますが、間違っていたらごめんなさい。

B君のシフト希望では休み希望日が3日あります。
B君の休み希望を順に考えて見ます。
A君の休み希望日は一週間のうち2日ありますので、B君の休み希望第1日目が、A君の休み希望日と重ならない可能性は、5/7となります。
さらに、B君の休み希望第2日目は、B君の休み希望第1日目と別の曜日ですから、A君の休み希望日と重ならない可能性は、4/6となります。
同様に、B君の休み希望第3日目が、A君の休み希望日と重ならない可能性は、3/5 となります。
すなわり、A君とB君の休み希望日が重ならない確率は、5/7 x 4/6 x 3...続きを読む

Q4×4正方行列の固有ベクトル

0011
0011
1100
1100 の固有値を計算すると 0(重解)、2、-2 となって

0のとき

1111
0011
0000
0000 と階段行列に行基本変形しました。

このとき x=c1(1,-1,0,0)+c2(0,0,1,-1)
としたのですが、解答は

     x=c1(1,-1,-1,1)+c2(1,-1,1,-1)

となってました。私の解答はだめですか?

Aベストアンサー

>また、それならば「Pを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのPを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか?

固有ベクトルの作り方によってPは色々と変わってきます。
ですので、唯単に「行列Aを対角化する行列Pを求めろ」と言われた場合は無数の解答が存在することになるので、どれか一つを求めるだけで大丈夫です。

ただ、Aがエルミート行列(あるいは対称行列)で、それを対角化するユニタリ行列(あるいは直交行列)Pを求めろとされたときは少し注意が必要です。
Aの固有値がすべて異なるなら、Pは固有ベクトルの並べ方を覗けば唯一つに決まってしまいますので、あまりに答えとかけ離れていたら計算が間違っているのでしょう。



答えにないPが出てきた時、それが正しいPであるか検算する方法があります。

異なる固有値に属する固有ベクトルはすべて直交するので、求まった固有ベクトルの内積をそれぞれ計算してみましょう。固有値が異なるのに内積が0とならなかったら、そのPは間違いです。
また同じ固有値に属する固有ベクトルでもシュミットの直交化法をした後ならば直交していなければいけないので、同じく内積をとって0になることを確認しましょう。
また直交行列を求めろと言われたときは、各固有ベクトルは規格化されていなければならないので、ノルムが1になることも併せて確認しましょう。
あとは固有値をP1としたら、実際にAP1=αP1と正しい固有値が出ることも確認出来るはずです。

このようにPは色々と検算する方法があるので、心配になったら検算してみましょう。
上記の事が確かめられたら正しいPが得られているはずですので心配する必要はありません。

>また、それならば「Pを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのPを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか?

固有ベクトルの作り方によってPは色々と変わってきます。
ですので、唯単に「行列Aを対角化する行列Pを求めろ」と言われた場合は無数の解答が存在することになるので、どれか一つを求めるだけで大丈夫です。

ただ、Aがエルミート行列(あるいは対称行列)で、それを対角化するユニタリ行列(あるいは直交行列)Pを求めろとされたときは少...続きを読む


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