無限と連続を扱った数学の入門書を読むと次のようなことが書いてあります。

●直線上の点の個数と平面上の点の個数は等しい。
●「証明」
 (1)長さ1の直線Lと面積1の正方形Jを考える。
 (2)(A,B)を正方形J内の点とし、A=0.A1A2A3A4A5・・・An,B=0.B1B2B3B4B5・・・Bnとする。
 (3)この点に対し直線L上の点P
   ただしP=0.A1B1A2B2A3B3・・・AnBn
  を対応させれば、この写像はJからLへの1対1写像である。すなわちJとLの濃度は等しい。

これはカントルの証明だそうですが、なんだか信じられません。数学の世界では正しい証明であると認め
られているのですか?(もちろんそうなのでしょうね)

「長さ1の直線上の点の数と長さ10の直線上の点の数は等しい」というのは連続的な写像を考えれば納得
できますけど、長さ1の直線上の点を「証明」の方法で連続的に写像させれば面積1の平面上の点がくまなく
うめつくされるとは思えません。
連続性のある実数の対応関係を10進数表現を使って証明するというのことに無理があるのでは?

素人の素朴な疑問です。どなたか説明をお願いします。

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MAN 意味」に関するQ&A: sweet manの意味

A 回答 (3件)

ペアノ曲線。

1本の連続曲線で正方形を埋め尽くすことができます。従って、この曲線の長さにそった1次元の座標と、正方形上の2次元座標とが対応づけられます。
ヒルベルトが作った例は以下のようなものです。読んだって分からないから、図を描いてくださいね。
(どこかにHPがあるでしょうから探してみて)

[1] (x,y)座標で(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)に頂点を持つ正方形のタイルを考えます。x軸は右がプラス,y軸は上がプラスということにしましょう。
●次数1
タイル上に、以下の点を順に繋いで「コ」の字型の曲線(折れ線)を描きます。
(1/4, 1/4) -> (1/4,3/4)->(3/4,3/4)->(3/4,1/4)
●次数2
一辺1の正方形をx=1/2, y=1/2で4分割します。
次数1の曲線を描いた正方形を一辺1/2に縮小したタイルを4つ用意します。そして4つの部分に以下のように嵌め込みます。
(1/4, 1/4)を中心とする部分(一辺1/2の正方形)には縮小したタイルを右に90度まわしたもの。
(1/4,3/4)と(3/4,3/4)の所には、回さないでそのまま、
(3/4,1/4)の所には左に90度回したもの。
それから、(1/4, 1/4)を中心とする一辺1/2の正方形の曲線 -> (1/4,3/4)の->(3/4,3/4)の->(3/4,1/4)の、が一本の曲線になるように線を書き足します。つまり(1/8,3/8)から(1/8,5/8)までの線分、(3/8,5/8)から(5/8,5/8)まで、(7/8,5/8)から(7/8,3/8)まで。
●次数N
一辺1の正方形をx=1/2, y=1/2で4分割します。
次数N-1の曲線を描いた正方形を一辺1/2に縮小したタイルを4つ用意します。そして4つの部分に以下のように嵌め込みます。
(1/4, 1/4)を中心とする部分(一辺1/2の正方形)には縮小したタイルを右に90度まわしたもの。
(1/4,3/4)と(3/4,3/4)の所には、回さないでそのまま、
(3/4,1/4)の所には左に90度回したもの。
それから、(1/4, 1/4)を中心とする一辺1/2の正方形の曲線 -> (1/4,3/4)の->(3/4,3/4)の->(3/4,1/4)の、が一本の曲線になるように線を書き足します。

この曲線(というより折れ線)をN->∞にした極限がヒルベルトのペアノ曲線という訳です。これは「フラクタル曲線」の一例ですが、「フラクタル」という概念が出来る遙か以前から知られていました。ちなみにこの曲線のフラクタル次元は2(平面と同じ次元)です。

[2] このタイルを無限個使って、曲線が繋がるように平面を埋め尽くすことができます。中心から始めてぐるぐる渦巻きに繋いでいけば良い。

[3] これで、一本の曲線で平面を埋め尽くし、つまり実数の集合Rと、実数2個の対の集合R^2を1:1に対応づけることができました。

●実数というものは、時々とても信じられないような定理が出てきます。測度論の非可測集合という概念がその典型。バナッハ-タルスキーの定理など、「えー??」ってなもので、面白いですよ。
「無限」小数っていうものが既にアブナイ世界だという気がしますねえ。
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Stomachmanとしたことが、一番肝心な所を説明し忘れました! ヒルベルトのペアノ曲線が正方形を埋め尽くすことの説明。


点(x,y)のxとyを2進法の無限小数で表すことにします。例えば(1/2,1/4)という点なら 2進法では(0.1,0.01)ですが、無限小数にすれば(0.0111111...., 0.001.....)ですね。
さて、次数1の曲線は(0.01, 0.01)(0.11,0.01)(0.01,0.11)(0.11,0.11)という4点を通ってます。(ちょうど折れ曲がる所です。)つまり、小数点以下2けたまである小数(のペア)を尽くしている。同様に、次数Nの曲線は小数点以下N+1桁まである小数を尽くしている。そして次数∞(ペアノ曲線)では小数点以下∞桁の小数を尽くしている、という訳です。

また、カントールの証明も、10進数だとなんだか凄く人為的に見えますけど、2進数で考えると図に描くことが可能です。小数点以下2~3桁目まで、ぐらいに制限して、2つの数が1つに合成される様子をグラフ化してみてはどうでしょう。つまり2桁目まで、というのなら、正方形を16個に分けて、そこに対応する実数を書き込んでみるんです。これができたら、32分割に挑戦。そうすれば、桁数を増やすとどうなっていくのか、雰囲気がつかめますよ。

この回答への補足

stomachmanさん、完璧な回答、ありがとうございました。たいへんよくわかりました。mori0309

補足日時:2000/12/15 08:26
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この回答へのお礼

すばやい、そしてていねいな回答、本当にありがとうございます。自分で図に書いてみて、だいたい理解
できました(つもりです)。それにしても無限とは不思議ですね。限りなくどこまでもどこまでも近づく
ことはできるのに到達はできない。次数が有限値であるかぎり、平面がまだ線が引ききれていないスカスカ
状態であることに変わりはないですものね(という認識であってます?)。
無限に近づくと言っても本当は全然近づいていないのですよね。
「有限世界の旅」の延長上には「無限という楽園(または深淵)」はないのですよね。数学では「無限」という
値そのものの実在は問わないのですか?(何か神学論みたいです)

お礼日時:2000/12/14 15:46

どんなものでもどんなにでも


圧縮したり
伸ばしたりできるということなんですよ
同じ大きさのパンでも
小錦が持つと小さく見え
池乃めだかが持つと普通に見え
蟻がたかると大きく見えます
1の線分と10の線分は
そのもの自体が変わっているだけで
10は1を伸ばしたもので
1は10を圧縮したものです

相似という意味で同じなのです
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Q直交する2直線

方程式2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0がxy平面上の直交する2直線を表すようにλ,μを定め、この2直線の方程式を求めよという問題なんですが、解き方、考え方が分かりません。
答は λ=μ=-2
  2x+y=2、2y-x=1 です。

直交する2直線が上方程式で表せれるということもよく分からないので、その辺りもよろしかったら教えてください。

Aベストアンサー

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし q≠0
とすると 傾きはそれぞれ a/b,p/qですか積が-1 すなわち
(a/b)・(p/q)=ap/bq = -1 ∴ ap = -bq が直交条件です。

なお、b=0(q=0)のときは直線はy軸に平行になります。このとき直交する直線はx軸と平行になり、xの係数が0 つまりp=0(a=0) になります。このときもap = -bq (=0)で成り立ちます。

さて(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の左辺を展開すると
apx^2+bqy^2+(aq+bp)xy+(ar+cp)x+(br+cq)y+cr=0
となります。(途中の計算はご自分で確かめてください。)
ここで直交条件をみると x^2 とy^2の係数に注目すればよいことが分かります。
与式に戻って、2x^2-3xy+λy^2+5y+μ=0のx^2 とy^2の係数をみれば 2=-λ すなわちλ=-2が求められます。
これを代入して
2x^2-3xy+2y^2+5y+μ=0
これが(ax+by+c)(px+qy+r)=0 の形に因数分解できれば良いわけです。
x^2,y^2,xyの係数に注目すると
(2x+y+c)(x-2y+r)=0 --(*)という形になることは容易に分かります。
あとはx,yの係数から
2r+c=0
r-2c=5
の2式が出ますので、連立方程式を解いて
r=1, c=-2 よってμ=cr=-2
となります。
このrとcを(*)に代入すれば
(2x+y-2)(x-2y+1)=0 となり、直線の式は 2x+y-2=0,x-2y+1=0
と求まります。
答えの2x+y=2、2y-x=1 は上記の式の定数項を移行した形ですね。

直線の式は ax+by+c=0 という風に表す、というのはOKですね。
与えられた式が(ax+by+c)(px+qy+r)=0 とできたとすると
ax+by+c=0 または px+qy+r=0 となり、2つの直線を表すことになります。
ここまでは、may-may-jpさんの回答の通りですが、ただ因数分解できるだけではλとμは特定できません。そこで必要になるのが「直交」の条件です。

直交する条件は2つの直線の傾きの積が-1になることです。
ax+by+c=0 を変形して y=(a/b)x+(c/b) ただし b≠0
同様に px+qy+c=0 を変形して y=(p/q)x+(r/q) ただし...続きを読む

Q数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。

数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。ただし、m>0,n>0とする。
点Pの座標はna+mb/m+n

a<0,b<0やa<0,b>0の場合も成り立つんですか??またそう言える理由を論理的にできるだけ分かり易く教えて下さい

Aベストアンサー

a<bのときは、aにABの距離のm/(m+n)倍を足せばよく、a>bの時はaからABの距離のm/(m+n)倍を引けばよいことになります。
距離は前者の場合はb-aであり、後者の場合はa-bですから、前者では足し、後者では引くので結局両者は同じ式になります。

Qxy平面において、原点Oを通り互いに直交する2直線

xy平面において、原点Oを通り互いに直交する2直線を引き、直線x=-1および直線x=3√3 との交点をそれぞれP、Qとする。 OP+OQの最小値を求めよ。

Aベストアンサー

原点Oを通り互いに直交する2直線をm,nとしましょうか。交点は4つある。
A: mとx=-1との交点
B: mとx=3√3との交点
C: nとx=-1との交点
D: nとx=3√3との交点
P, Qってどれだよ?というのがソモソモの疑問デスヨネ?
(1) OP+OQがOA+OBのことなのだとすると(直線nには出番がありませんが)、OA+OBの最小値が1+3√3であることは自明。
(2) OP+OQがOC+ODでも同じです。(直線mには出番がありませんで)最小値は1+3√3。
(3) OP+OQがOA+OCのことなのだとすると(直線x=3√3には出番がありませんで)、△OACは直角三角形である。明らかに、直角二等辺三角形の場合にOA+OCが最小になるんで、2√2が答。
(4) OP+OQがOB+OCのことだったら(直線x=-1には出番がありませんで)、(3)と比べて、直角三角形の各辺の長さが3√3倍になるだけなので、(2√2)×(3√3)が答である。
 残る問題は、
(5) OP+OQがOA+ODであるとき。(ま、出題者の意図は専らこれなんでしょうけど、はっきり書いてないと(1)~(4)も省けません。)
 交差する相手の直線を x=-1とx=3√3じゃなくて一般にx=a, x=b (a≠0, b≠0)だとしてみましょう。
 そして、mの方程式を ux + vy = 0 とすると、v=0の場合にはmはx=aともx=bとも交点を持たない。また、u=0の場合にはnがaともx=bとも交点を持たない。だから(5)においては、これらの場合は除外してよろしい。というわけで、mの方程式を
   y = αx (α≠0)
と書いても差し支えない。このときnの方程式は
  y = x/α
です。
  A= (a, aα)
  D= (b, b/α)
であり、原点からの距離は
  OA = |A| = |a|√(1+α^2)
  OD = |D| = |b|√(1+1/(α^2))
である。
OA+OD をfと書くことにすると、
  f = |A|+|D| = |a|√(1+α^2) + |b|√(1+1/(α^2))
である。ここで
  z = α^2
とおくと zは正の実数 (z>0)です。zを使って
  f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
と書き直します。さて、fの極小値を計算する。つまり方程式
  df/dz = 0
を満たすzを計算するわけで、df/dzを計算して方程式に代入すると
  |a|/(2√(1+z)) - |b|/(z^2)/(2√(1+1/z)) = 0
移項して分母を払うと
  |a|(z^2)√(1+1/z) = |b|√(1+z)
両辺を2乗して
  (a^2)(z^4)(1+1/z) = (b^2)(z+1)
つまり
  (a^2)(z^3)(z+1) = (b^2)(z+1)
z>0なので(z+1)で割って
  (a^2)(z^3) = (b^2)
a≠0なので
  z^3 = (b/a)^2
である。ただし、zは正の実数でなくてはならないのでした。
 ところで、aとbは0でない実数でした。なので、a,bを決めるとこの方程式を満たすzはいつも丁度ひとつ存在して、それは
z = ((b/a)^2)の立方根
です。これを
  f = |a|√(1+z) +|b|√(1+1/z)
に代入するとfの極値、つまりfの極小値あるいはfの極大値が得られる。
 ですが、fの極値を与えるzがただ一つしかなくて、しかもz→0やz→+∞のときにfが+∞に発散するんですから、極大なんてそもそも存在しないのは明らか。なので、この計算でfの極小値が得られ、これがfの最小値でもある。

原点Oを通り互いに直交する2直線をm,nとしましょうか。交点は4つある。
A: mとx=-1との交点
B: mとx=3√3との交点
C: nとx=-1との交点
D: nとx=3√3との交点
P, Qってどれだよ?というのがソモソモの疑問デスヨネ?
(1) OP+OQがOA+OBのことなのだとすると(直線nには出番がありませんが)、OA+OBの最小値が1+3√3であることは自明。
(2) OP+OQがOC+ODでも同じです。(直線mには出番がありませんで)最小値は1+3√3。
(3) OP+OQがOA+OCのことなのだとすると(直線x=3√3には出番がありませんで)、△OACは直角三角形であ...続きを読む

Q空間版、直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点P

ある平面があったとします。

直線Lの同じ側にある2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

という問題があります。
答は簡単に求めることができます.

点Gを直線Lに関して対称移動させHとする.直線FHと直線Lの交点が最短距離となる折り返し点Pである.この最適な点Pには線分FPとGPがそれぞれLとなす角が等しいという性質がある.

次に3次元空間があったとします。

直線Lとその上にない2点F,Gからの距離の和FP+PGが最小になるようなL上の点Pを求めよ.

平面の場合とは異なる考えがいると思いますが、
それはどのような点なのでしょうか?

Aベストアンサー

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線Lを含む平面上に乗り、点Fと点H'は直線Lを挟んで互いに反対側に位置する。
(→GB)//(→AH')から
(3cosθ+sinθ)/(-1)=(cosθ-3sinθ)/(-3)=k(>0)
これらから
k=1, cosθ=-3/5, sinθ=4/5
したがって
(→AH')=(-9/5+4/5,0,-3/5-12/5)=(-1,0,-3)
H'=A(0,1,0)+(-1,0,-3)=(-1,1,-3)
(→GH')=(-2,-4,-6)
直線GH'と直線Lの交点P(X,Y,Z)とすると
直線GH'上にあることから(X,Y,Z)=(1,5,3)+t(-2,-4,-6)
直線L上にあることから (X,Y,Z)=(0,1,0)+s(0,4,0)
これらを解くと
s=t=1/2,P(X,Y,Z)=(0,3,0)
最短距離=|GH'|=√(4+16+36)=2√14
とでて来ます。

図を描きながら追ってみてください。
理解に役立つかと思います。

#2,#3です。
図を書いて頂けば分かります。
A#2の(B)の方法での例題をあげておきます。
座標系の取り方ですが、簡単にする為に直線Lをy軸にとります。
F,Gの座標をF(3,1,-1),G(1,5,3)としましょう。
F,Gから直線L(y軸)に下した垂線の足をそれぞれA,Bとすると
A(3,0,-1),B(1,0,3)
(→AF)=(3,0,-1)
これをy軸正方向に対してLのまわりに角度θだけ右回転させたベクトルを(→AH')とすると
(→AH')=(3cosθ+sinθ,0,cosθ-3sinθ)
これのベクトルが(→GB)=(-1,0,-3)と平行になるようにθを定めれば
点H'は点Fと直線L...続きを読む

Q2直線が直交するように、A,Bと交点の途中式を教えてください

2直線が直交するように、A,Bと交点の途中式を教えてください

(1) (x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A , (x+5)/3 = (y+6)/4 = z+B
A.A=6 B=4 交点(1,2,2)

(2) x+3 = (y-1)/2 = (z-7)/A , x/2 = (y-B)/5 = (z+2)/4
A.A=-3 B=7 交点(0,7,-2)

全く分かりません。例が参考にならないのでよろしくお願いします

Aベストアンサー

(1)
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A
の方向ベクトルは(2,-3,A)

(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1
の方向ベクトルは(3,4,1)
2つの方向ベクトルが直交するから内積=0
(2,-3,A)・(3,4,1)=6-12+A=0 ∴A=6

この時前半の直線は
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/6(=kとおく)
媒介変数表現で
x=2k+3,y=-3k-1,z=6k+4…(1)

後半の直線は
(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1=h
とおけば媒介変数表現で
x=3h-5,y=4h-6,z=h-B…(2)

(1),(2)を連立方程式として解けば交点の座標(x,y,z)とBが求まります。
x=1,y=2,z=-2,B=4,k=-1,h=2
答えのA=6,B=4は合っていますが、交点の座標が正しくないようです。
正しい交点は(1,2,-2)です。
確認してみて下さい(元の直線の方程式に代入して式が成り立つかで分かります)。

(2)も同様の方法で出来ますのでやってみて下さい。

(1)
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/A
の方向ベクトルは(2,-3,A)

(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1
の方向ベクトルは(3,4,1)
2つの方向ベクトルが直交するから内積=0
(2,-3,A)・(3,4,1)=6-12+A=0 ∴A=6

この時前半の直線は
(x-3)/2 = (y+1)/-3 = (z-4)/6(=kとおく)
媒介変数表現で
x=2k+3,y=-3k-1,z=6k+4…(1)

後半の直線は
(x+5)/3 = (y+6)/4 = (z+B)/1=h
とおけば媒介変数表現で
x=3h-5,y=4h-6,z=h-B…(2)

(1),(2)を連立方程式として解けば交点の座標(x,y,z)とBが求まります。
x=1,y=2,z=-2,B=4,k=-1,h=2
答えの...続きを読む

QFortranで直交座標から極座標変換のプログラム

Fortranで直交座標から極座標変換のプログラム

FDTD法を用いて、散乱電場を求める際、最初Ex(i,j,k), Ey(i,j,k), Ez(i,j,k)を求めましたが、
それから座標をr方向に座標変換したく、プログラムを作ろうと思っているのですが、どのように書いてよいのか悩んでいます。
単位ベクトル r = (x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)と定義できるのですが、これを
どのように極座標のプログラムとして書いてよいのかわかりません。
どなたかわかる方がいらっしゃたら教えて下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

座標変換(デカルト座標から極座標)に伴う単位ベクトルの変換またはベクトル成分の変換を行おうということなら下記URL参照。

参考URL:http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/math/pm6.ssi

Q正の数aに対して、傾きが-aで点(4,3)を通る直線をlとする。また、直線l,x軸,y軸で囲まれた三

正の数aに対して、傾きが-aで点(4,3)を通る直線をlとする。また、直線l,x軸,y軸で囲まれた三角形の面積をSとする。aが正の実数全体を動くときSの最小値を求めよ。

わかる方、どうぞよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

正の数aに対して、傾きが-aで点(4,3)を通る直線をlとする。 ・・・・・ ①
また、直線l,x軸,y軸で囲まれた三角形の面積をSとする。    ・・・・・ ②

① は、直線lを求めること
② は、直線lと、x軸・y軸との交点の座標を求めること

これらが、 点と直線 に該当するのでは?

S の最小値を求めることは、 点と直線 とは関係ありません。
1つの問題に、複数の単元を使って解くこともあります。
Sの式によって、解き方が変わってくるのでは?
『 Sの最小値を求めよ 』だから、
S が2次式になれば、平方完成して解いていく
3次式以上・分数式になれば、微分して解いていく  (かける式が2つなので、3次式以上はありえないが)
と、考えながら S を求めるのでは?

この場合、S の最小値は、微分をしなくても解けます。

S=8a+{9/(2a)}+12
になると思いますが、
相加平均・相乗平均の関係を使って解くこともできます。

a>0 より
8a>0, 9/(2a)>0 だから、相加平均・相乗平均の関係より
8a+{9/(2a)}+12≧2√[8a・{9/(2a)}]+12=2√36+12=12+12=24
等号成立は
8a=9/(2a)
a^2=9/16
a>0 より
a=3/4 のとき

正の数aに対して、傾きが-aで点(4,3)を通る直線をlとする。 ・・・・・ ①
また、直線l,x軸,y軸で囲まれた三角形の面積をSとする。    ・・・・・ ②

① は、直線lを求めること
② は、直線lと、x軸・y軸との交点の座標を求めること

これらが、 点と直線 に該当するのでは?

S の最小値を求めることは、 点と直線 とは関係ありません。
1つの問題に、複数の単元を使って解くこともあります。
Sの式によって、解き方が変わってくるのでは?
『 Sの最小値を求めよ 』だから、
S が2次式になれば、平方...続きを読む

Q直線を描画するプログラム

初歩的ですみません。
マウスで始点と終点を決めて直線を書くプログラムを知っている方がおりましたら教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

WinTKというのは良く分からないんで、MFCの方を……
とりあえずダイアログアプリケーションで説明すると、

1.
 ダイアログベースのスケルトンを作ります
2.
 xxxDlg.h に座標を保持るためメンバを追加します。
class CxxxDlg : public CDialog
 {
   CPoint m_ptBegin, m_ptEnd;

3.
クラスウィザードで WM_LBUTTONUP, WM_RBUTTONUP を選択します。

4.
 void CxxxDlg::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に左ボタンが離された座標が入ってますので保持しておきます(始点)
   m_ptBegin = point;
   CDialog::OnLButtonUp(nFlags, point);
 }
5.
 void CxxxDlg::OnRButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に右ボタンが離された座標が入ってますので保持しておきます(終点)
   m_ptEnd = point;

   // 再描画します。
   InvalidateRect( NULL );

   CDialog::OnRButtonUp(nFlags, point);
 }

6.
 CxxxDlg::OnPaint()関数の以下の部分を変更します。

 else
 {
   CDialog::OnPaint();
 }
      ↓
 else
 {
   CPaintDC dc( this );

   dc.MoveTo( m_ptBegin );
   dc.LineTo( m_ptEnd );

   CDialog::OnPaint();
 }

と、大体こんな感じです。m_ptBegin, m_ptEndはコンストラクタで初期化してやっておいて
ください。説明が大雑把なんでわかりにくかったら言ってくださいね。

ほな。

WinTKというのは良く分からないんで、MFCの方を……
とりあえずダイアログアプリケーションで説明すると、

1.
 ダイアログベースのスケルトンを作ります
2.
 xxxDlg.h に座標を保持るためメンバを追加します。
class CxxxDlg : public CDialog
 {
   CPoint m_ptBegin, m_ptEnd;

3.
クラスウィザードで WM_LBUTTONUP, WM_RBUTTONUP を選択します。

4.
 void CxxxDlg::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
 {
   // ここの point に左ボタンが離された座標が入ってますので保...続きを読む

Qたとえば直線lとl外の点Oを与えた時点Oを通るlの平行線の作図せよとい

たとえば直線lとl外の点Oを与えた時点Oを通るlの平行線の作図せよという問題で、どのように作図してなぜ平行になるかの証明方法を教えてください。何でもいいので。

Aベストアンサー

添付図をご覧ください

1. 直線l上の適当な点Aを中心として、点Oを通る円を書く
2. 交点Bを中心として、点Oを通る円の半径を取る
3. その半径で交点Cを中心とする円を書く
4. その円と点Aを中心とする円の交点Dと点Oを通る直線が求める直線

証明は、

AB = AC, BO = CD, OA = DA

三角形ABOと三角形ACDは合同

直線lから点Oへの距離と、直線lから点Dへの距離は同じ

直線lと直線ODは平行

という流れになります。


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