[1 i]
[i 3]
が対角化できるかどうか?の問題なのですが
行列式:4,固有値:2のみ,固有ベクトルの張る空間:a・(i,1)^T
だと思うのですが正しいですか?
固有空間の次元が1であり2でないので前記行列は正則行列によって対角化できないと結論づけていいのでしょうか?

「もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか? 」という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか?
私は「正則」のことだと思うのですが

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A 回答 (5件)

物理屋の siegmund です.



nuubou さんの結論のとおりと思います.
線型代数の定理に
「n 次正方行列 A に対して,P^(-1)AP が対角行列になるようにできるためには,
A に関して n 個の線型独立な固有列ベクトルが存在することが必要十分である」
というのがあります.
もちろん,P^(-1) が存在するためには P が正則である必要がありますね.
線型独立な固有列ベクトルを p1,p2,...,pn とすれば,それらを並べた行列
(p1,p2,...,pn) が P になります.
nuubou さんが固有値と固有列ベクトルを調べたのは,
上の定理に従ったことになります.
この定理は P がユニタリかどうかは触れていません.
つまり,一般にはユニタリでない行列によって対角化されると言うことです.

A が正規行列(すなわち,A(A*) = (A*)A がなりたつ,A* は A の随伴行列)
であるときは,ユニタリ行列で対角化できます.
つまり,
「正方行列 A に対して U^(-1)AU が対角行列になるようなユニタリ行列 U が
存在するためには,A が正規行列であることが必要十分である」
です.
U は上の p1,p2,...,pn を正規直交基底にして並べればOKです.

>「もしも、対称行列が一次独立になった場合、
> 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか? 」
> という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか?
ちょっと前に noubou さんが回答された
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=188684
ですよね.
私も,行列に対して1次独立とは言わないように思います.
ベクトルならよく目にしますが...
質問者のお礼の
>正方行列は一次独立にならないんですね!
正方行列だから1次独立にはならない(他の行列だったら1次独立になる)
と思われているような気がします.
noubou さんの回答の
> ・複素数の正規行列はユニタリ行列で対角化される
> ・実対称行列は直交行列で対角化される
はその通りと思います.
特にエルミート行列(A = A*)の対角化は量子力学などで物理屋にはおなじみです.
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この回答へのお礼

私もそうではないかと思っていたのだけれど定義は世間で認知されているかどうかに関わらず論理的に矛盾がなければどうのように定義してもいいのですから本当に行列に一次独立は定義されていないのかといわれると自信がなかったわけです
例えば特殊な学問の分野でなされているとお手上げです
なにせ解析のほうはフーリエ変換などでよく利用しているのですが線形代数のほうは長い間ご無沙汰だったのであまり断言するようなことはできなかったのです
前の質問者が私の回答だけですぐに締め切ってしまったものですからあわててしまって質問してみたのです
レモンさんが見ていてくれたらいいのですが
ありがとうございました

お礼日時:2001/12/23 23:02

oodaiko です。


>全く気になりませんので大丈夫です(というより,大変勉強になります)
siegmund先生どうもです。

>そうだとするとレモンさんの質問と回答はどのようになりますか?
ところで私も下のように考えはしましたが正直なところmichikoremonさんが何を聞こうとしていたのかさっぱりわかりません。やはり質問の意図が不明なときは補足要求を出したほうがよいと思います。特に数学関連の質問は良く理解している人でさえ条件などを忘れがちですし、ましてやこの掲示板で数学記号を書くのは困難なのでよけいに不明な記述になりがちですから。
>実正方行列において対称行列と交代行列以外に有名な正規行列はありますか?
あとは直交行列くらいですかね。
一般の複素数を成分とする正規行列のなかで特別なものとして、エルミート行列、反エルミート行列、ユニタリ行列などがあり、それらの成分を実数に制限したものがそれぞれ実対称行列、実交代行列、直行行列になります。

この回答への補足

直交行列は列挙漏れでした
結局はこれといった正規行列は他にないんですね
ところで一般の正規行列において異なる固有値に対する固有ベクトルは直交するとは限らないのですか?

補足日時:2001/12/26 23:18
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siegmund です.



oodaiko さん,お久しぶりです.
ご登場願えないかと密かに思っていました(指名は反則らしいので).

> うーん。穴だらけですね。 f(^^; (siegmund 先生、失礼します)
私も研究者の端くれですから,ディスカッションは日常茶飯事です.
全く気になりませんので大丈夫です(というより,大変勉強になります).
積分計算など回答しているうちはとりあえず余りボロが出ませんが,
こういう話になると,とたんにボロボロですね(^^;).

> 係数としての体を定めておく必要があります。
C(複素数体)かR(実数体)しか頭にありませんでした.
でも,これは私にはなかなか思いつかない.

> それから(I)(II)の条件だけではベクトルの和としての逆元の存在、
> およびスカラーと逆元の関係などが言えません。
逆元のことを忘れていました.これは知ってたはずなのに.
こっちは罪が重いですね.

大変勉強になりましたし,
全然見当違いのことを言っていたのではないらしいのでほっとしました.
oodaiko さんの情け深いフォローもあったし...
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数学屋のoodaikoです。



>ベクトル空間は
>・・・
>・・・
>が成り立つ.
>の(I)(II)が満たされればOKです
>所詮,物理屋の数学ですから穴だらけかも知れません.

うーん。穴だらけですね。 f(^^; (siegmund 先生、失礼します)

まずベクトル空間を定義するには係数としての体を定めておく必要があります。(つまりスカラーとしてどんな体を使うかを決めておきます)
体とは大まかに言えばその中で四則計算が自由にできるような(ただし0で割ることを除く)代数系のことです。
もっと厳密に言えば、その中で和と積という2種類の演算が定義され、各演算に関して可換群になっており(ただし和の単位元0に対する積の逆元--つまり0で割ること--は定義されない)、かつ和と積の間に分配法則が成り立つ。--ような代数系です。
そこでベクトル空間を定義する時は係数体とコミにして「体K上のベクトル空間V」という必要があります。
まあ実用的には係数体としてC(複素数体)またはR(実数体)を使う場合がほとんどなのでわざわざ言わないのでしょうが、情報数学などでは有限体上のベクトル空間などもよく使いますので。

それから(I)(II)の条件だけではベクトルの和としての逆元の存在、およびスカラーと逆元の関係などが言えません。
(I)の条件は
「元同士の和が定義され、和に関して可換群になっている。」
とした方が簡単になります
(「可換群」という言葉の定義の中に、結合法則および交換法則の成立、零ベクトル(単位元)および逆元の存在、がすでに含まれています)

とはいえ適用範囲が最初から明確になっている限り、実用的にはsiegmund先生の定義で十分だと思いますので、数学屋のこうるさいツッコミなどは無視して下さい。(^^;

さて話題になっている行列の線形独立(一次独立)についてです。

行列というのは線形写像の表現形式です。特にn次元のベクトル空間からm次元のベクトル空間への線形写像はm×nの行列として表現されます。(ただしベクトルは縦ベクトルとして表示するものとします)m×n行列全体の集合(つまりn次元ベクトル空間からm次元ベクトル空間への線形写像全体の集合)をM(m,n)と書きます。線形写像についても行列に対する演算で和とスカラー倍を定義することにより、M(m,n)はベクトル空間となります。この空間の次元はm×nになります。
ベクトル空間ですから線形独立も定義できます。従って行列にも線形独立性は定義できます。
2×2の場合はsiegmund先生の回答のように4つの基底が存在します。

確かに行列(線形写像)に関しては線形独立と言う言葉を使うことはないようです。少なくとも行列を写像として扱っている限りは。
というのも数学では写像(関数)が構成する空間の幾何学的構造を研究することもよくあるからです。その場合、例えば2×2実行列全体の空間M(R,2,2)は実数体上の4次元ベクトル空間R^4と同一視されます。そうなると線形独立とか基底の概念が意味をもってきます。
ではM(R,2,2)とR^4は幾何学的にも同じ構造ではないかと思われそうですが、そうではありません。基本的なベクトル空間としての構造は同じですが、行列の積や行列式に対応するような演算は通常のn次元ベクトル空間には定義されませんし、それはn次元ベクトル空間の内積、外積、ベクトル積などとも異なった種類の演算です。そこで行列の演算を使って距離や位相などを入れたり、あるいは各種の演算と位相構造を併せて位相群として考えたりすることにより、行列空間は単なるR^nより豊かな幾何学的構造をもつようになります。

また別の観点として、n×n行列をn個のn次元縦ベクトル(または横ベクトル)を横に(または縦に)並べたものと見なせば、行列の各列(または各行){成分ベクトルといいます}が線形独立か線形従属か、という議論ができます。
これは行列の正則性と関係があって、行列が正則であることと成分ベクトルが線形独立であることは同値な条件になります。言い替えれば、行列式の値が0になることと成分ベクトルが線形従属であることも、同値な条件になります。

私が思うにNo 188684の質問者の方は何か勘違いしているのはもちろん、どうも線形独立と線形従属を逆に理解しているようにも思えます。
>「もしも、対称行列が一次独立になった場合
というのはこの意味で成分ベクトルが線形従属になった場合のことを尋ねているのでないかと思います

この回答への補足

そうだとするとレモンさんの質問と回答はどのようになりますか?

詳しそうなのでちなみにもう一つお聞きします
実正方行列において対称行列と交代行列以外に有名な正規行列はありますか?

以上よろしきお願いします

補足日時:2001/12/26 00:50
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siegmund です.


前の回答では nuubou さんのお名前を一部ミスタイプして大変失礼しました.
数学は専門じゃないので,そんなに自信があるわけではありませんが,
nuubou さんのお礼を拝見してもうちょっと考えてみました.

確かに,行列について1次独立云々は聞かないような気がします.
ただし,例えば2行2列の行列なら,任意の行列は

┌   ┐  ┌   ┐  ┌   ┐  ┌   ┐  
│1 0│  │0 1│  │0 0│  │0 0│  
│0 0│  │0 0│  │1 0│  │0 1│  
└   ┘  └   ┘  └   ┘  └   ┘  

の1次結合で表現できるわけですから(要するに,上の4つの行列が基底になっている),
1次独立云々という概念も可能のように思います.

もう少し一般的に言うなら,
2行2列の行列を元とするベクトル空間が構成可能です.
ベクトル空間の元がベクトル(拡張した意味の)ですから,
2行2列の行列1つ1つをベクトルと思っていることになります.
ベクトル空間は

(I) 元同士の和がまた元になっていて,結合法則と交換法則が成り立ち,
零ベクトルが存在する.
(II) 元のスカラー倍がまた元になっていて,
(a+b)x = ax + bx
a(x+y) = ax + ay
(ab)x = a(bx)
1x = x
(a,b は複素数,x,y はベクトル空間の元)
が成り立つ.

の(I)(II)が満たされればOKです.
したがって,2行2列の全体は,普通の行列の加法とスカラー倍によって
ベクトル空間を構成します.
こうすれば,2行2列の行列の1次独立の話は,
普通のベクトルの1次結合の話に帰着します.
こういうことがあるので,行列の1次独立云々は言わないのかも知れません.

michikoremon さんが見ていてくれたら,は私も同感です.

所詮,物理屋の数学ですから穴だらけかも知れません.
一応,物理数学なんて授業もやったことあるんですがね(^^;).
数学を専門とされている方のご意見を伺いたいところです.
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この回答へのお礼

従って締め切らないで起きます
非常にご丁寧にありがとうございました

お礼日時:2001/12/24 16:29

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000
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100
010
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A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
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x1 = αt[1,2]
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|0 0 1|
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Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
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教授は内部性に対しては若干あまめに採点する傾向があり、外部生よりは有利です。
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また院試の面接はほとんどの場合点数化されません(合否にあまり関係しません)が、
特に筆記の点数が悪い受験者に対しては有利に働く場合があります。
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定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Qmathematicaに変数を実数と認識させる方法

複素数a+biにたいしてRe[a+bi]の結果がaとなるようにしたいのですが、どのようにしたらよいでしょうか?

Aベストアンサー

ComplexExpandを使われるとよいです。詳しくはhelpなどを参照してください。webでも見れるでしょう。

ComplexExpand[ Re[x + \[ImaginaryI] y] ]

と入力すればxが返ります。ComplexExpandは以下の式の中のすべての変数を実変数として認識します。オプションで、一部の変数を複素変数とみなすこともできます。さらに極形式で値を返すことなども可能です。そのあたりはマニュアルを参照してください。

Q回転運動の運動エネルギーについて困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに,なぜ第2項が出てくるのでしょうか.
どなたか助けてください.お願いします.

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回...続きを読む

Aベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Qジョルダン標準形の作り方

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、
つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、
λ=3の時、
rank(A-3E)=2
dim(A-3E)=3-2=1
λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。

λ=1について
rank(A-E)=2
dim(A-E)=3-2=1
よってλ=1に対して、
ジョルダン細胞1つ。

(3)次にジョルダン細胞の次数を求める。
(A-3E)(A-E)≠0
(A-3E)(A-E)^2=0
より、最小多項式は
(λ-3)(λ-1)^2なので、
λ=3のジョルダン細胞の次数は1
λ=1のジョルダン細胞の次数は2

よってJ=J(3,1)➕J(1,2)
(➕は、+の丸囲み)
J=
[3 0 0]
[0 1 1]
[0 0 1]

一応、答えは出ました。これで間違いないですか?
しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、
(A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。
これがけっこう面倒です。

そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」の...続きを読む

Aベストアンサー

(2)の時点で、J=J(3,1)+J(1,2) と判明しているね。
今回、最小多項式は求める必要が無いし、
A のジョルダン標準形の内容によっては、
固有多項式と最小多項式を求めただけでは
ジョルダン胞の構成は決定できない。

固有方程式の n 重根 λ については、
k = 1,2,…,n 各次の一般固有空間 W_k = { x | (A-λE)^k x = 0 }
の次元を全て求めれば、ジョルダン標準形が決まる。
W_k の次元が、k 次以上のジョルダン胞の個数になっているから。
(もちろん、今回のように、一部省略できる場合もある。)


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