自作問題(図形？)です

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質問者：stargazer
質問日時：2002/01/07 23:53
回答数：13件

自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか？
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

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回答 (13件中11～13件)

No.3

回答者： starflora
回答日時：2002/01/08 03:15

　　これは、ＮＧではなく、答えは、α＝１０√２　です。
　
　　また、No.2 の人の言っておられることは、何か勘違いされています。４９個の点を並べて、そのなかの任意の二点が、かならず、ある大きさ以上になる場合というのが、４９個の小さい四角形の中心に点を置くことで、この時、点の最小の距離は１０ｃｍになります。これにもう一つ点を加えて、可能な最大の二点間距離を求めると、それが、１０√２　ｃｍです。つまり、最大にして、この値なので、５０個のなかの二点は、どうしても、この値以下のものが必ず存在するのです。
　
　　「適当にばらまく」とは、「ランダムにばらまく」ですから、この時、どうランダムにばらまいても、任意の二点は、最大で１０√２　ｃｍしかならないのです。二点の最小距離は、限りなくゼロに近づくものがあるでしょうが、「必ずそうなる」という訳ではありません。「αcm以下になるような２点が必ず存在する」とうのは、結局、上の答えの通り、α＝１０√２　ｃｍです。これ以上（この大きさは除く）になることはないというのは証明されていますから、「この値以下になるような２点が必ず存在する」と言えることになります。
　
　　分かりにくいかと思いますので、もう一度説明しますと、幾らでも２点は接近できます。しかし、必ず、０．１ｃｍ以下とかは言えないのです。ランダムですから、もっと大きな間隔が最小の２点間隔となる場合があり得るのです。何ｃｍ以下だと、必ず言えるかと云いますと、任意の二点は、１０√２　ｃｍ以上は、大きな間隔になれないのですから、１０√２だと、どんな場合でも、これ以下の二点間距離となるのです。
　

この回答への補足

問題の意図がうまく伝わらなかったかもしれないので、少し問題を書き換えます。

「50個の点をどのように並べたとしても、そのうち一番距離の近い二点を選ぶと、その距離はαcm以下となる。」
上記の主張が成り立つαの最小値を求めよ。

α=70√2で主張が成り立つのは明らかです。
α=10√2の時も証明できました。
このようにαの値を小さくしていけば、いつかは主張が成り立たなくなるはずですが、その境界線が知りたいのです。

"直感的に、これより小さな値でも成り立ちそう"と言いましたが、そのわけはこうです。
「」内の主張が成り立たないようなαの値に対して、以下のことが言える。
「どの二点をとっても、その間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」
しかし、ここで、どの二点間の距離も10√2より大きくなるように50個の点を並べるということは不可能だと思います。(紙に書いてやってみました)
もしできるなら、証明は終わりなので、その並べ方を教えてください。

それから、「＞」と「≧」の違いはあんまり深く考えていませんが、あしからず。