自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「1辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、2点間の距離がαcm以下になるような2点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか?
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

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A 回答 (13件中11~13件)

 


  これは、NGではなく、答えは、α=10√2 です。
 
  また、No.2 の人の言っておられることは、何か勘違いされています。49個の点を並べて、そのなかの任意の二点が、かならず、ある大きさ以上になる場合というのが、49個の小さい四角形の中心に点を置くことで、この時、点の最小の距離は10cmになります。これにもう一つ点を加えて、可能な最大の二点間距離を求めると、それが、10√2 cmです。つまり、最大にして、この値なので、50個のなかの二点は、どうしても、この値以下のものが必ず存在するのです。
 
  「適当にばらまく」とは、「ランダムにばらまく」ですから、この時、どうランダムにばらまいても、任意の二点は、最大で10√2 cmしかならないのです。二点の最小距離は、限りなくゼロに近づくものがあるでしょうが、「必ずそうなる」という訳ではありません。「αcm以下になるような2点が必ず存在する」とうのは、結局、上の答えの通り、α=10√2 cmです。これ以上(この大きさは除く)になることはないというのは証明されていますから、「この値以下になるような2点が必ず存在する」と言えることになります。
 
  分かりにくいかと思いますので、もう一度説明しますと、幾らでも2点は接近できます。しかし、必ず、0.1cm以下とかは言えないのです。ランダムですから、もっと大きな間隔が最小の2点間隔となる場合があり得るのです。何cm以下だと、必ず言えるかと云いますと、任意の二点は、10√2 cm以上は、大きな間隔になれないのですから、10√2だと、どんな場合でも、これ以下の二点間距離となるのです。
 

この回答への補足

問題の意図がうまく伝わらなかったかもしれないので、少し問題を書き換えます。

「50個の点をどのように並べたとしても、そのうち一番距離の近い二点を選ぶと、その距離はαcm以下となる。」
上記の主張が成り立つαの最小値を求めよ。

α=70√2で主張が成り立つのは明らかです。
α=10√2の時も証明できました。
このようにαの値を小さくしていけば、いつかは主張が成り立たなくなるはずですが、その境界線が知りたいのです。

"直感的に、これより小さな値でも成り立ちそう"と言いましたが、そのわけはこうです。
「」内の主張が成り立たないようなαの値に対して、以下のことが言える。
「どの二点をとっても、その間の距離がαcmより大きくなるような並べ方が(少なくとも一つ)存在する。」
しかし、ここで、どの二点間の距離も10√2より大きくなるように50個の点を並べるということは不可能だと思います。(紙に書いてやってみました)
もしできるなら、証明は終わりなので、その並べ方を教えてください。

それから、「>」と「≧」の違いはあんまり深く考えていませんが、あしからず。

補足日時:2002/01/08 14:01
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2点間の距離が全て10√2になる配置が存在するわけだから、αの最小値が10√2未満では成り立ちません。

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αcm“以下”になるような2点が“必ず”存在する-という問題なら


NGではないかと思います。

うまく説明できませんが(^-^;)
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y=(x-a)^2-a^2+a+6
これは、軸が直線x=aの下に凸の放物線です。

(i) a<4 のとき
f(4)≧0
16-8a+a+6≧0
-7a≧-22
a≦22/7
a<4 より
a≦22/7

(ii) 4≦a≦6 のとき
f(a)>0
-a^2+a+6>0
a^2-a-6<0
(a-3)(a+2)<0
-2<a<3
これは 4≦a≦6 より 不適

(iii) 6<a のとき
f(6)≧0
36-12a+a+6≧0
-11a≧-42
a≦42/11
これは 6<a より 不適

(i)、(ii)、(iii) より
a≦22/7

y=f(x) のグラフが、4<x<6 の範囲でx軸の上方になるようなaの値の範囲を求めればよく、 
例えば、
軸が x=2 の放物線、x=5 の放物線、x=7 の放物線を描いて確認してみてください。

QAD:DB=2:1,AE:EC=3:5,H,IはDEの3等分点、F,GはBCの3等分点,三角形ABC

AD:DB=2:1,AE:EC=3:5,H,IはDEの3等分点、F,GはBCの3等分点,三角形ABCの面を8㎝²とする。

(1)三角形ADEの面積を求めよ。

(2)三角形DBFの面積と三角形IECの面積を求めよ。

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△ABCの面積=8cm^2=底辺×高さ/2

(1)底辺ACとしてBまでの高さとして計算して求めた面積は8cm^2
△ADEは、△ABCと比べると、底辺が3/8、高さが2/3となるので、その面積は、
△ADE=8×(3/8)×(2/3)=2cm^2 答え 2cm^2

(2)AD:DB=2:1、同様にBF:FC=2:1から
△ABC∽△DBF、辺の比がAB:DB=3:1なので
面積比はその2乗に比例する。
∴△DBF=8/9cm^2 答え 8/9cm^2

△ICEの高さは△ADEの高さの1/3である。
また、底辺は5/3である。
∴△ICE=2×(5/3)×(1/3)=10/9cm^2 答え 10/9cm^2

Qα_1,α_2,…,α_n が非零の時,e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です

Let α_1,α_2,…,α_n be distinct numbers, ≠0. Show that the functions
e^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt) are lineraly independent over the complex numbers.
[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must be zero.(Why?) Get a contradiction from this.]

と言うe^(α_1t),e^(α_2t),…,e^(α_nt)が一次独立を示す問題です。
(もし,c_iの一つでも非零なら全c_iも非零である事を使ってよいようです)
n-1回微分して得られる一次連立方程式の係数行列の行列式は

とりあえずn-1回微分してみましたらその係数行列の行列式が0でなければならない事から
矛盾を引き出せと述べてあります。

係数行列Aは
A:=
(c_1,c_2,…,c_n)
(c_1α_1,c_2α_2,…,c_2α_n)
(c_1α_1^2,c_2α_2^2,…,c_nα_n^2)
:
(c_1α_1^(n-1),c_2α_2^(n-1),…,c_nα_n^(n-1))

と書けると思います。

そして,その一次連立方程式は
At^(e^α_1t,e^α_2t,…,e^α_nt)=0
と書けます。
(但しtは転置行列を表す)

このdet(A)=0でなければならないのは何故なのでしょうか?

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[Hint: Suppose we have a linear relation
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
with constants c_i,valid for all t. If not all c_i are 0,without loss of generality,we may assume that none of them is 0.Differentiate the above relation n-1 times. You get a system of linear equations. The determinant of its coefficients must ...続きを読む

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この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
すぐ計算できる.
そうすると「αi」が全部違うから0ではない
つまり,係数が全部0になり一次独立.

ヒントの通りにするなら
without loss of generality,we may assume that none of them is 0.
の意味を理解して,やっぱりファンデルモンドで矛盾

この「ヒント」が・・・あんまりよくない気がする

・微分を繰り返して,方程式を作る
c_1e^(α_1t)+c_2e^(α_2t)+…+c_ne^(α_nt)=0
c_1α_1e^(α_1t)+c_2α_2e^(α_2t)+…+c_nα_ne^(α_nt)=0
・・・
c_1α_1^{n-1}e^(α_1t)+c_2α_2^{n-1}e^(α_2t)+…+c_nα_n^{n-1}e^(α_nt)=0
・t=0を代入する
c_1+c_2+…+c_n=0
c_1α_1+c_2α_2+…+c_nα_n=0
・・・
c_1α_1^{n-1}+c_2α_2^{n-1}+…+c_nα_n^{n-1}=0
これをcjについての連立方程式だとして整理すると,
係数の行列の行列式は
「ファンデルモンドの行列式」ってやつで
す...続きを読む

QA4の用紙を上手に3等分に折る方法

お手紙を封入する際にA4の用紙を3等分にぴったりと折りたいのですが、上手に折る方法を教えてください。

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http://www.itmedia.co.jp/bizid/articles/0610/04/news013.html

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関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

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まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

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f(α) + f(β) = 問 2)より、

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私のやり方です。リンクをご覧下さい。

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きっちり3等分になりますよ。
お試し下さい。

参考URL:http://www.synapse.ne.jp/makuben/owarai-09.htm

Q1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=16を満たす点Pの軌跡を求めよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=16を満たす点Pの軌跡を求めよ。

この問題について説明をお願いします。

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点P(x,y)の条件式は、
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これを整理すると、
x^2+y^2=2
これは、正方形の4点を通る円です。

Q円の3等分について

面積が1㎡の円があったとします。その円を中心角を120度として3つに分けると半径も中心角も同じ扇型として綺麗に3等分できると思います。
ですが、面積としては1つの扇型が1÷3=0.3333333…㎡となり、割り切れず、正確な3等分はできないと考えることができるのではないかと思います。
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アキレスが亀との郷里(100m)進む間に、亀もその分前に進む、残る次の間の半分進む間に、さらに亀も前に進む。以後その繰り返し・・・・・亀を追い越すことはできない。
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0.3333・・・×30=9.9999・・・、ですね
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http://education.mag2.com/try/080110.html

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解説お願いいたします!

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