重積分にて、積分順序の交換？方法

例えば、∫[a→x]{∫[a→y]f(y,t)dt}dy・・・(1)
の積分順序を交換するとしたらどうすればよいのですか？
(1)は例なので、これじゃなくてもいいので、基本的な考え方、解き方を教えてください。どうしても、わからないのでわかりやすくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2006/02/05 00:32

複雑になりますので

x≧a≧0,y≧aとしておきます。
＞∫[a→x]{∫[a→y]f(y,t)dt}dy・・・(1)

＝∫[a→x]{∫[t→x]f(y,t)dy}dt・・・(2)

t-y座標平面で積分領域Dを描くと分かりやすいですね。
D={(t,y)|0≦a≦t≦y≦x}
(1)はyを固定しtで積分した後、yで積分することですね。
(2)はtを固定しyで積分した後、tで積分することですね。

この回答へのお礼

回答有難うございました。

お礼日時：2006/02/06 18:48

No.2 回答者： michealjagger 回答日時： 2006/02/05 00:37

式によっては積分をする順所が必要な場合がありますが、そうでない場合は、どちらを先に積分してもかまいません。

上の（１）の場合、dtがdyの前に来てるので、f(y,t)をtに関してa->yで積分します。その後、その答えに対してyに関してa->xまで積分します。
これを入れ替えるとしたら、書き方を（２）
S[a->y]S[a->x]f(y,t)dydtです。これは、dyがdtの先に来てるので、f(y,t)をyに関してa->xまで積分し、その後、その解答をtに関してa->yまで積分します。これから解るように、（１）では、S[a->y]とｄｔS「a->x]とdyが関連し、（２）でも、そのようになります。考え方は、内、そして、外の組み合わせみたいに考えるといいかも知れませんねぇ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。わかりやすかったです。

お礼日時：2006/02/06 18:49