『数』　～概念の拡張～

Question

複素数を扱う際に、複素平面という２次元のフィールドがありますよね。人類が実数しか知らなかった時代は、『数』は、数直線上の１次元にしかなかった。虚数と実数の織り成す２次元の『数』の世界、これは人類に多大な恩恵を与えた。ここで思ったんですが、『数』の概念をさらに拡張して、３次元の複素空間(？)とでもいうべき新たなフィールドって現代数学で研究されてないのでしょうか？四元数とかベクトルとは、ちょっと違う概念なんですけど・・・　x軸(実数)、y軸(虚数)、ここまでは複素平面、z軸(新しい『数』の拡張概念)この３つでできる数空間みたいなものです

nakaizu · Accepted Answer

複素数を三次元化しようというのはごく自然な発想ですよね。当然、昔も考えた人もいたわけですが、結論からいくと期待しているものが得られなかったということです。
足し算、引き算、掛け算はうまく定義することができますが、この三次元化した複素数では割り算がうまく定義できません。うまい定義が発見されていないのではなく、本質的に割り算を定義するのが不可能なのです。
これでは不便であるし、応用もできる分野も発見されていないので、現在では誰も研究していないということです。
四元数はこの欠点を持たない複素数の拡張として考えられたものですが、乗法の交換法則が成り立ちません。
普通の数と同様の性質を持つように複素数を拡大するには有限次拡大は無理で無限次元の拡大するしかありません。
たとえば、xの分数式全部を考えて、一つの分数式を数だと思うことにすると、複素数の無限次拡大になっています。
これは複素数では全ての方程式が解けてしまうことと関係あります。有理数の範囲では方程式が解けないので、3次拡大、4次拡大等がたくさんできます。

ojisan7 · Answer

数概念を拡張するにはいろいろな方法があります。一般的には多元環として理解していく方法です。「虚数単位」を添加して拡大（拡張）することによって導かれる数を、『超複素数』といいます。しかし、この方法による拡張は、四則の法則をいくつか犠牲にしなければ実行できません。歴史的に、Hamiltonなどが指導原理としたのが、平方和の法則N(XY)=N(x)N(Y)です。Hurwitz,Frobeniusの定理によれば、「平方和の法則」は成り立つのは、n=1,2,4,8次元のみだということです。したがって、３次元の超複素数はこの立場で言えば存在しないことになります。このことについては、よい参考書がありますので、是非読んでみて下さい。 

「超複素数入門」 多元環へのアプローチ
著：I.L.Kantor・A.S.Solodovnikov　訳：浅野　洋・笠原久弘　（森北出版）

sanori · Answer

３度目です。うるさくてゴメンナサイ（笑）

＃５さんのご回答を見て思い出しました。
２０年も前のことで記憶が不確かですが、たしか特殊相対性理論の講義の中で
√（x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2）
っていう計算が出てきました。
似てますねー。
つまり、時間（に光速を掛けたもの）が虚数であれば、四次元の三平方の定理そのものになるわけです。

素人考えで、宇宙の始まりが「虚の時間」を通って来たという、現在の定説（？）と、もしかしたら関係あるかなー、と。

proto · Answer

四元数を物理なんかの計算に利用する、みたいなwebページを見たことあるんですが
四元数Qを
　　Q=t + x*i + y*j + z*k
とおいていました。
つまり時間+三次元空間で四元数みたいな感じだったんですけどどうでしょう？
ちなみに四元数を使った回転座標変換みたいなのもやってたとおもいます。

というか、複素数も解釈によっては２次元の平面を扱えるってだけで、
たとえばベクトルという大きさと向きを持った量を導入すれば、二次元どころかn次元空間でも一般に扱えるわけですよ。
わざわざ新たな数を考えてまで(一般のn次元に比べて)特殊な３次元を扱う必要もあるかな？と思いますが。

pyon1956 · Answer

無理。といいきってしまってはあれなので、一応解説を。
「数のようなもの」に何を求めるか、で違ってくるのですが。
結局実3次元ベクトルとどうちがうのか、があなたにも明確にイメージできていないものと思われます。
そもそもなんでハミルトンが３元数でもなく５元数でもなく４元数を考えたのか、ここのところが理解されていないように思われます。つまり複素数の自然な拡張を考えたとき、基底が3では矛盾が起きるからです。で、それでも４元数を考えたのですが、これは反可換ですから体ではないわけです。
なお４元数もまた#2さんが仰るように行列で表現できます。しかも行列表現の方がより広い概念を表せるため、現在では4元数そのものは使われてはいますが限られた分野(CG系とか)です。
あと８元数とか16元数なるものもありますが、複素数と違って体ではないし、計算にかえって制限があるようで、あまり使われていません。
いずれにせよ数学的にはこれらはほぼ行列の理論や、リー群・リー代数あたりの理論に収束していっています。

sanori · Answer

＞＞＞＞＞
>なお、貴方がおっしゃる、「虚数の概念を３次以上に拡張」したものの最も単純な例は、「１の３乗根」になるかと思います。
これって、３点ですけど３次元ではないですよね？２次元ですよね。


あなたのご指摘とは違う意味ですが、上記回答を書いた後、１の３乗根を例にとったのは誤りだと気づきました。

新たな虚数単位をどうやって定義するかについて、たとえば「－１のｎ乗根」（ｎ≧３）みたいなのを考えてるうち、脳の中が短絡して「１の３乗根」になってしまいました。
忘れてください。ごめんなさい。


＞＞＞＞＞
私が追求している概念は、三つの基底で張られる空間のことです。実数→数直線（１次元）、複素数→複素平面（２次元）、で、「新概念の『数』」→○○空間（３次元）←これを求めているんです。また、後付けですが行列の概念とも少し違うと思います。四元数とも違うし、多次元ベクトル空間ともちがう、要は複素平面に”高さ”みたいな新しい次元を追加するにあたっての『数』です。

要は、ベクトル（ｘ、ｙ）をｘ＋ｉｙという１つの数で表現するのと同様に、（ｘ、ｙ、ｚ）を１つの数で表現するということですよね？

ですから、それは、行列です。

別に正方形の行列でなくても（ｘ　ｙ　ｚ）という行列でもよく、また、
ｘ　０　０
０　ｙ　０
０　０　ｚ
という対角行列でもよいでしょう。

その概念をさらに拡張すれば
ｘ　？　？
？　ｙ　？
？　？　ｚ
とかになるわけです。


あなたの提案は、すでに、歴史上の数学者達が考えていないわけがなく、一般市民でも発想できます。（現に、私も若かりし頃、ちょっとだけ考えました。）
しかし、新たな虚数単位みたいなものを考えたところで、それは行列の概念と同一であって、それによって新たな進展がないことに数学者は気づいたのでしょう。たぶん。



＞＞＞＞＞
簡単に考えてみてください。

はい！親分！

sanori · Answer

ＸＹ複素平面以上の次元の概念に相当するのは、行列です。

例えば「応力テンソル」っていう言葉を、ネット上で検索してみてください。沢山ひっかかるはずです。
テンソルは３×３の行列です。

なお、
複素数ｘ＋ｉｙは、行列の表現に書き換えることができて
たしか、
　ｘ　ｙ
－ｙ　ｘ
（かっこが書けませんでした。あしからず）

だったと思います。


量子力学でも行列を使う場合があります。


なお、貴方がおっしゃる、「虚数の概念を３次以上に拡張」したものの最も単純な例は、「１の３乗根」になるかと思います。
しかし、１の３乗根は、ｉだけを使うことにより、

１
（－１＋√３ｉ）／２
（－１－√３ｉ）／２

の３つであることが知られています。
試しに、これらをＸＹにプロットしてみてください。
半径１の円周上を６０度ずつ回る３点になります。
（直線でつなげば正三角形です）

同様に、３次や４次の方程式の解の公式は、別に新たにｉ以外の虚数単位を用いずとも、解を表現できることが知られています。

『数』 ～概念の拡張～

複素数を三次元化しようというのはごく自然な発想ですよね。

数概念を拡張するにはいろいろな方法があります。

３度目です。

四元数を物理なんかの計算に利用する、みたいなwebページを見たことあるんですが

無理。

＞＞＞＞＞

ＸＹ複素平面以上の次元の概念に相当するのは、行列です。

この回答への補足

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