大学生です。
最近、勉強していると、振動の分野で「ベッセル関数」なるものが現れました。
振動の分野は全く専門外で、突然ベッセル関数を使われて、こまってます。
また、やさしく説明してくれる本も、探してますが、あまり時間がありません。
 この「ベッセル関数」は、
   いったいどんな関数で、
   この関数をなぜ使うのか?
   この関数を使うと、何が出てくるのか、
   この関数は何を意味しているのか、
 教えてください。
(ちなみに、円筒形の固有振動数を求める式でベッセル関数が出てきました。)

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A 回答 (2件)

chestnutさん、改めましてこんにちは。


さてBessel関数J_n(x)の次数n、これはモードと関係はするのですが関係の仕方がちょっと複雑です。

2次元円形膜の振動はご承知のように、半径方向の関数R(r)と角度方向の関数Θ(θ)に変数分離をして解きますが、R(r)とΘ(θ)のモードはバラバラに決めてよいわけでないのです。
角度方向の関数は
1(定数)・・・0次 角度方向はどこでも同じ値
sin θ・・・1次 角度方向に一周くるりと回ると、節が二つある
sin 2θ・・・2次 角度方向に一周くるりと回ると、節が四つある
sin 3θ・・・3次 角度方向に一周くるりと回ると、節が六つある


となるわけですが、角度方向が0次の振動の場合、半径方向の関数R(r)は、0次のBessel関数J_0(x)と自動的に決まります*。
ただし関数のグラフを見て既にお分かりのように、J_0(x)=0となるようなx(=振動の節となる点)は無数に存在しますから、それらのどれを膜の境界に合わせるか(合うか)によって半径方向にも多くのモードが存在することがお分かり頂けると思います。
同様に角度方向が1次の振動の場合は、半径方向の関数R(r)は、1次のBessel関数J_1(x)と決まります。この場合も同様に、J_1(x)=0となるようなxは無数に存在し、モードも無数にあることになります。
すなわち2次元円形膜の振動のモードは、
(1)角度方向の次数nと、
(2)それにより決まるBessel関数J_n(x)で、J_n(x)=0となるxのどれが境界に当たるかによって決まる次数m
の二つで特定されます。

http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~minobe/mth2ex/
の一番下に「1999講義ノート」というリンクがあり、pdfでダウンロードできるようになっています。モードの図などもあり大変分かりやすいので参考にされると良いと思います。70ページある大作ですが、そのうちの54ページ辺りから読んでみてください。

--------
*角度方向の次数と、Bessel関数の次数を無関係に決められないことは以下のように考えるとすぐ分かります。
2次元円形膜の振動を考え、仮に例えば半径方向の関数がa×J_0(x)、すなわちnに関し0次で、角度方向の関数がsin θ(n=1)だとします(aはある定数)。xは正規化半径に相当します。J_0(x)はx=0で有限のある正の値をとることに注意。
次に0よりわずかに大きい正の値δを考え、θ=0の点とθ=πの点とで位相を含めて振幅を比較します。x=δ、θ=0の点で振幅はa×J_0(δ)、x=δ、θ=πの点では位相がπだけ反転しますから振幅は-a×J_0(δ)になります。δはどんどん0に近づけて構わないわけですが、そうするとθ=0の側から膜の中心に近づいた場合とθ=πの側から近づいた場合では、膜の中心において振幅の不連続が発生することになります。これは直感的にもおかしいことが分かります。
J_0(x)は角度方向の関数が定数である場合(角度方向の次数も0)にのみ当てはまる、というわけです。
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この回答へのお礼

まことにありがとうございました。
勉強いたします。
ほんとにありがとう!!!!!!

お礼日時:2002/02/06 22:53

1次元の棒や弦の振動に関する微分方程式を解いた時、最後にその振動の様子を表すのにサインやコサインを使いますよね。



2次元の膜(縁が円であるもの)の振動も同様のやり方で解けてその振動の様子も表せるはずなんですが、サインやコサインでは表せないため、サインやコサインの代わりにBessel関数を使います。コサインやサインと同じように変数の変化につれて振動する関数ですが、振動の周期や振幅がだんだんと変化するところが違います。

なぜこんな関数と持ち出すのか? もちろんサインやコサインで用が足りればそちらの方が助かるのですが、2次元の円膜や円筒の振動はこの関数を使わないと表現できないからです。(むしろ、円膜の振動を解いた時に必然的に行き当たるこの一連の関数をBessel関数と名付けたという方が当たっていそうです)
この関数のグラフは下記のページなどでごらんください。数式とにらめっこするよりグラフを見た方が早いです。

定義式についてはちょっとここで書くのは大変なので、微分方程式の教科書か理化学辞典などをご覧下さい。

「関数美術館」
http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlt …

「gnuplotで描いたサンプル」
http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/sei/sotsu …

参考URL:http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlt … http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/sei/sotsu …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
本当に助かりました。

もうひとつだけ、いいでしょうか。
このいくつかの条件があるようですが、
これは虚数か何か関係しているのでしょうか。

振動の「モード」に当たるようなものでしょうか?
よければ、教えていただけませんか?

簡単に書いてある本が見つけられず、本当に助かりました。
理解して勉強を進められそうです。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/04 13:59

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Qベッセル関数の近似式

VBAを使っていて、ベッセル関数を使いたいのですが、
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第一種0次ベッセル関数に関してはこのページで見つけることができました。
http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa5670519.html

他のベッセル関数や特殊関数の近似式が書かれてある
webページがあれば教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

その質問にお答えした者です。

特殊関数の近似式は、Numerical Recipies in C や Numerical Recipies in Fortran などの、コンピュータ言語による数値計算のレシピ本にいろいろでいます(日本語版もありますが5000円くらいします)。その質問で紹介したベッセル関数の近似式も、そこに出ているものです。

Numerical Recipies in Fortran の英語版のPDFファイルがここ(http://www.aip.de/groups/soe/local/numres/bookfpdf/)にあります。第6章はf6-0.pdfからf6-12.pdf までの部分です。その中のファイルを開いてみて、お望みの関数の近似式を探してみてください。

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この場合θ依存性は消えるので系をrzのみで記述することができます。
この場合、rが変数となるベッセル関数が主役となります。
デカルト座標系においてある現象がxの関数として
 p=sin(kx)
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円筒座標系では
 p=Jn(Kr)
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 電磁気でいえばケーブルのような円筒導体中の電流の分布などが代表的です。これらは必ず教科書に出ていると思います。

Qベッセル関数と環状の膜の振動のモード

ベッセル関数を調べています。
検索するとウィキペディアに説明文がありました。
その中の「応用」のところに
「環状の膜の振動のモード」と書かれてありました。

この「環状の膜の振動のモード」をベッセル関数で表すと
どのような表現になりますでしょうか。
書籍、またはホームページを教えていただけたら助かります。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

後藤憲一他「詳解・物理応用数学演習」(共立出版)p.355
にあります。

Qベッセル関数

円筒座標系での電磁場のマクスウェル方程式を磁場に関して解いて得られる解が複素数を引数とする0次のベッセル関数
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で得られるのですが
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

z = x+yi として z^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi や
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Fortranでベッセル関数のべき級数展開が正しく計算できない!!!


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t

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(λ-1  -3)(x1) (0)
(-2  λ+1)(x2)=(0)のλに√7を代入すると、

(√7 -1    -3)(x1) (0)
(-2    √7 +1)(x2)=(0) になって、
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√以外だと、左上を1にして求めていけばいいと思うのですが・・・

Aベストアンサー

#2です。
A#2の補足の回答
> α(1   )
>  ((√7-1)/3) 
> ということですね
そうです。

固有ベクトルは、αは何でもいいですから、適当に定めていいですね。
たとえば
α=1でも3などいずれでもいいですね。

同様にλ=-√7に対する固有ベクトルは
β(1   )
 (-(√7+1)/3)
ですね。
β=1でも-1でも3でもいずれでもいいですね

Qベッセル関数って、

大学生です。
最近、勉強していると、振動の分野で「ベッセル関数」なるものが現れました。
振動の分野は全く専門外で、突然ベッセル関数を使われて、こまってます。
また、やさしく説明してくれる本も、探してますが、あまり時間がありません。
 この「ベッセル関数」は、
   いったいどんな関数で、
   この関数をなぜ使うのか?
   この関数を使うと、何が出てくるのか、
   この関数は何を意味しているのか、
 教えてください。
(ちなみに、円筒形の固有振動数を求める式でベッセル関数が出てきました。)

Aベストアンサー

chestnutさん、改めましてこんにちは。
さてBessel関数J_n(x)の次数n、これはモードと関係はするのですが関係の仕方がちょっと複雑です。

2次元円形膜の振動はご承知のように、半径方向の関数R(r)と角度方向の関数Θ(θ)に変数分離をして解きますが、R(r)とΘ(θ)のモードはバラバラに決めてよいわけでないのです。
角度方向の関数は
1(定数)・・・0次 角度方向はどこでも同じ値
sin θ・・・1次 角度方向に一周くるりと回ると、節が二つある
sin 2θ・・・2次 角度方向に一周くるりと回ると、節が四つある
sin 3θ・・・3次 角度方向に一周くるりと回ると、節が六つある


となるわけですが、角度方向が0次の振動の場合、半径方向の関数R(r)は、0次のBessel関数J_0(x)と自動的に決まります*。
ただし関数のグラフを見て既にお分かりのように、J_0(x)=0となるようなx(=振動の節となる点)は無数に存在しますから、それらのどれを膜の境界に合わせるか(合うか)によって半径方向にも多くのモードが存在することがお分かり頂けると思います。
同様に角度方向が1次の振動の場合は、半径方向の関数R(r)は、1次のBessel関数J_1(x)と決まります。この場合も同様に、J_1(x)=0となるようなxは無数に存在し、モードも無数にあることになります。
すなわち2次元円形膜の振動のモードは、
(1)角度方向の次数nと、
(2)それにより決まるBessel関数J_n(x)で、J_n(x)=0となるxのどれが境界に当たるかによって決まる次数m
の二つで特定されます。

http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~minobe/mth2ex/
の一番下に「1999講義ノート」というリンクがあり、pdfでダウンロードできるようになっています。モードの図などもあり大変分かりやすいので参考にされると良いと思います。70ページある大作ですが、そのうちの54ページ辺りから読んでみてください。

--------
*角度方向の次数と、Bessel関数の次数を無関係に決められないことは以下のように考えるとすぐ分かります。
2次元円形膜の振動を考え、仮に例えば半径方向の関数がa×J_0(x)、すなわちnに関し0次で、角度方向の関数がsin θ(n=1)だとします(aはある定数)。xは正規化半径に相当します。J_0(x)はx=0で有限のある正の値をとることに注意。
次に0よりわずかに大きい正の値δを考え、θ=0の点とθ=πの点とで位相を含めて振幅を比較します。x=δ、θ=0の点で振幅はa×J_0(δ)、x=δ、θ=πの点では位相がπだけ反転しますから振幅は-a×J_0(δ)になります。δはどんどん0に近づけて構わないわけですが、そうするとθ=0の側から膜の中心に近づいた場合とθ=πの側から近づいた場合では、膜の中心において振幅の不連続が発生することになります。これは直感的にもおかしいことが分かります。
J_0(x)は角度方向の関数が定数である場合(角度方向の次数も0)にのみ当てはまる、というわけです。

chestnutさん、改めましてこんにちは。
さてBessel関数J_n(x)の次数n、これはモードと関係はするのですが関係の仕方がちょっと複雑です。

2次元円形膜の振動はご承知のように、半径方向の関数R(r)と角度方向の関数Θ(θ)に変数分離をして解きますが、R(r)とΘ(θ)のモードはバラバラに決めてよいわけでないのです。
角度方向の関数は
1(定数)・・・0次 角度方向はどこでも同じ値
sin θ・・・1次 角度方向に一周くるりと回ると、節が二つある
sin 2θ・・・2次 角度方向に一周くるりと回ると、節が四つある
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まず、(3)は仮定というよりも、

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