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例えば2の100乗は2を100回かける訳ですが(あってますよね?)
普通にやるとかなり面倒です。
2×2×2・・・・と繰り返すわけですから。
これを計算機を使わずに簡単に答えを出す方法はないものでしょうか?
また何かで見ましたが1~100までの和の合計100~1000までの合計を
短時間で答えた人がいたんですがこれも何か計算方法があるんでしょうか?
回答お願いします

教えて!goo グレード

A 回答 (8件)

1からの連続した自然数nまでの和であれば、暗算が得意であれば、結構簡単に求められます。


((1+n)Xn)/2

例えば、1から10までの和であれば((1+10)X 10)/2で、55になりますよね。
ちょっと工夫すれば、1から以外の和ももとめられるかと思います。

べき乗の計算では、近似式はありますがかなり大きな数でないと誤差が大きすぎるかも ???
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XのY乗の場合で正確な答えを出すには、やはり分割するしかないですかね。



まず、X・Yをそれぞれ因数分解します。(例えば30なら2×3×5になります)
これをそれぞれ乗算し、掛け合わせます。
要は
12^100であれば
12=2x2x3、100=2x2x5x5
つまり
12^100=(2x2x3)^(2x2x5x5)
=((((2^5)^5)^2)^2)x((((2^5)^5)^2)^2)x((((3^5)^5)^2)^2)
=(((32^5)^2)^2)x(((32^5)^2)^2)x(((243^5)^2)^2)
=((33554432^2)^2)x((33554432^2)^2)x((847288609443^2)^2)
=(1125899906842624^2)x(1125899906842624^2)x(717897987691852588770249^2)
・・・と計算していく方法ですね。
(このくらいの桁になると、計算機も役立たず(^^;)

また、10進法以外を使う方法もありますね。
16進法であれば0~Fで表現し、10進法の16が「10(イチゼロ)」になります。
16は2^4なので、4乗づつ桁が上がります。10進数に戻すと16、256、4096、65536、1048576、16777216・・で桁が上がっていきます。
60進法(60=2x2x3x5)であれば、60、3600、216000、12960000、777600000・・となりますが、いくつかの進法(要は乗数なのですが)を覚えておく事で、それらを単純に掛け算、割り算する事でY乗を出す事が可能です。
・・暗記はだめですか?
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一般に x^n を掛け算の回数を少なく計算する一つの方法を,2^100 を例にして紹介します。



xを次々に2乗していく
2^1=2
2^2=4
2^4=16
2^8=256
2^16=65536
2^32=4294967296
2^64=18446744073709551616

nを2の累乗の和で表す
100=64+32+4

該当する x^(2^k) を掛ける
2^100=2^64×2^32×2^4=1267650600228229401496703205376

8回の掛け算でできました。

なお 2^100 は 2^10=1024 なので
1024^10=(1024^4×1024)^2
がいいかもしれません。
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>計算機を使わずに簡単に答えを出す方法は


人力(暗算、筆算)で瞬時に、若しくは数分でという解釈?
段を持つ珠算の名人なら出来るかも。

>普通にやるとかなり面倒
関数電卓なら ボタンを押す回数が減らせます。
[2] [y^x] [1] [0] [0] [=] で 6回で終了

2^24なら暗記で覚えてますが・・・・(色?ナナ何色?)ということで16777216 
(過去にF局の「カルトQ」マッキントッシュ大会で
「2の24乗は?」という問題が出て、即座に計算した人がおりました)
これに2掛けて2^25にしてから 4つ分掛け合わせて・・・・
簡単でない>>>>時間がかかるので却下しますm(_ _)m

ネット環境なら、googleサイトの検索(計算機)を使うと言う手も・・・
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ガウスという人は子供のとき次のようにして、一瞬にして答えをだしたといわれています。



S=1+2+3+4+・・・・・・・・・+99+100
のとき
S=100+99+98+・・・・・・・・・・+2+1
とも書けて
2つをたすと

2S=101+101+101+・・・・+101
  =101×100
  =10100
よって
 S=5050

2の100乗は大変だけと

2の20乗くらいだったら
2^20=(2^5)^4
  =32^4
  =32768
見たいな感じで割りと簡単に・・・・
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和を暗算で出すのは No. 1 の方の回答通り。


大数学者ガウスが小学生のとき、先生が生徒に時間のかかる計算をさせて少し休もうとの目論見で 1~40 の足し算を問題として出したら、ガウスが一瞬で答えを出したという話は有名です。

以下はべき乗の話です。~乗を "^" で表します。2 の 100乗は 2^100。

対数を知っていれば少なくとも桁は出ます。以下は常用対数(底が 10 の対数)。
log(2) = 0.30103 → log(2^100) = 100 log(2) = 30.103
したがって、30桁になることがわかります。

2^100 = X 10^30 とすると
log(X) = 0.103 ≒ log(2)/3 から X は 2 の立方根より少し大きい数で、1.25 前後とわかります(1.25^3 = (5/4)^3 = 125/64 ≒ 2)。

もちろん、これは近似値です。1~10 の対数を覚えていると、暗算でかなりのことができます。マクローリン展開を利用すると精度の良い近似値が出ますが、この場合私は暗算ではムリで、筆算する位なら電卓を使った方が速い。
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2の100乗は計算機を使わなければ導出できないと思います。

対数の知識を使えば、2の100乗は何桁の数字かというのは分かりますが、対数自体、対数関数表や、計算機を使うので、正確にはできないのかな?

足し算の方はできます。1から100までの数を足してみましょう。答えは101×50=5050です。
 1+2+3+…+99+100をする際に両端にある1と100に注目します。1+100=101です。次に2と99に注目して、2+99=101です。これは、2+99=(1+1)+(100-1)=1+100=101なので当然です。同様に…3+98,4+97,5+96,6+95…と両端から計算していくと…全部答えが101になって、その101
の組が50個できるので、答えは101×50=5050です。

ちなみに100~1000までの数を足す場合は
100+1000=101+999=102+998=…=1100
答えは1100×450+550で算出できます。

高校数学の数列という範囲での知識です。
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後半だけ


1+2+...+99+100 =
101*100/2 =
10100/2 =
5050

100+101+...+999+1000 =
(1+2+...+999+1000) - (1+2+...+99+100) + 100 =
(1001*1000/2) - (101*100/2) + 100 =
1001000/2 - 10100/2 + 100 =
500500 - 5050 + 100 =
495450+100 =
495550
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