高校数学にでてくる階乗の問題についてですが、1!(1の階乗)は1というのはわかるんですが、0!が1というのがどうもわかりません。0!=1というのが証明出来る方どうかお願いします。

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A 回答 (3件)

階乗はもともと自然数についてのみ定義されたものですから,


それを自然数以外に拡張するときは階乗の重要な性質とつじつまが合うように
拡張するのが筋だと言うことになります.

階乗の重要な性質が zooom さんの書かれている
n!=n×(n-1)!
で,これはもちろん n>2 でないと意味がありませんが,
n=1 でも成り立つと思えば 0!=1 としないとつじつまがあいません.
そういう意味では maruru01 さんの「決め事」です.

拡張はたいていこの精神でやるわけで,x^(-2) などでも同じです.
もともとべき乗は自然数でないと意味がありませんでしたが,
べき乗の重要な性質
x^(m-n) = x^m÷x^n  (m>n)
を m<n まで成り立つとすると,x^(-2) = 1/x^2 などとなるわけです.

余談ですが,部分積分をご存知なら
(1)  Γ(n) = ∫{0~∞} e^(-t) t^(n-1) dt
という積分を考えてみてください.
部分積分で
(2)  nΓ(n) = Γ(n+1)
が簡単に得られます.(2)で n の代わりに n+1 と書くと
ですが,Γ(n+1) のことを Π(n) と書くことにしますと(2)は
(3)  nΠ(n-1) = Π(n)
となって,Π(1)=1 (これは(1)からすぐわかります)とあわせて
Π(n)はまさに n! になっています.

(1)で n は任意の実数としても大丈夫ですから,
こういう風にすると n! の n が任意の実数 x に拡張できたことになります.
さらに,任意の複素数 z に対しても拡張できます.

(1)の Γ(z) はガンマ関数としてよく知られています.
大学の理工系に行くと,必ずと言っていいほどお目にかかるでしょう.
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こんにちは。

maruru01です。
0!=1って確か定理(決め事)じゃなかったかな、確か。
xの0乗が1というのと同じで、計算などで都合がいいように、そう決めたんじゃなかったでしょうか。
だから、証明とかそういう話にはならないような気がします。
では。
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数学的に言う「証明」として成り立つのかは別として、納得してもらえそうに書きます。



n!=n×(n-1)!
ですよね。なら、
1!=1×0!=1
よって
0!=1

どうっすか?
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Q漸近線を求めるときの場合分け

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問です。問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。また、問題
で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。が、これの意味もよくわからないのです。

勉強不足ですが、どなたか存知の方、アドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

タイトルの通りなのですが、漸近線の求め方について質問です。よろしくお願いします。
漸近線の基本的な求め方は、1、y軸に平衡な漸近線、2、y軸に平衡でない漸近線、とあります。

これを使って
問題1、y=(x^2-x+1)/(x-1)の漸近線を求めよ。
問題2、y=2x+(x^2-1)^(1/2)の漸近線を求めよ。
です。

解答は、問題1では式を変形して、漸近線を予想して、解いています。問題2では、明らかに、y軸に平行な漸近線はない、として、y軸に平行でない漸近線を求めています。

ですが、ここで質問で...続きを読む

Aベストアンサー

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでしょうか。
具体的にどのような解答なのか分かりませんが、多分、問題ありません。

ちなみに、実際に、このようなa,bを計算で求めるとしたら、
a=lim[x→∞]f(x)/x (★をxで割ってx→∞としたもの)
としてaを求めます。このaを元に
b=lim[x→∞](f(x)-ax)
としてbを求めます。(もちろん、これらが収束する保証はありませんが、収束しないのなら、漸近線を持たないという事です)


>また、問題
>で、明らかにy軸に平行な漸近線はない、としていますが、グラフもかけないで、どうしてそのようにいいきれるのでしょうか。
y軸に平行な漸近線というのは、y=1/xにおけるy軸とか、y=tanxにおける、直線x=π/2のような奴です。
要するにf(x)がx→α(有限の値)で発散するような奴です。ほぼ100%、分母が0になるような奴です。
>y=2x+(x^2-1)^(1/2)
は、途中で発散することがないので(いたるところで連続ですから)、y軸に平行な漸近線を持ちません


>ただ、これには、注として、グラフの概形は、y=2xとy=(x^2-1)^(1/2)の和曲線を考えるとありました。

「南京玉すだれ」って分かりますか?
http://www.eonet.ne.jp/~tosimaru/
↑こんなのです。これの竹串(?)って、何か竹串に平行な方向にずれますよね。
※各竹串は、普通全部同じ長さですが、それぞれ長さが違うとしましょう(y=f(x)の形)

この竹串が垂直になるように、水平な面に置くと、すだれの上端はy=f(x)という形状になっているはずです。

でも、坂道に置くと(各竹串の下端を地面につける)、すだれの上端はy=f(x)という形にはなってませんよね。
坂道の高さ(?)+すだれの高さ(=f(x))
っていう感じの形になっているのがイメージできませんかね?

これと同じように、
y=2xという「坂道」の上に、√(x^2-1)という形の「すだれ」を置いている、というイメージで
y=2x+√(x^2-1)というグラフの形状をイメージしてみよう、
という感じの意味ですね。
(・・・って、上手く説明できません。。。図は書けないし、日本語は下手なので、分からなかったら、やんわりとスルーしてあげてくださいw)

y=ax+bがy=f(x)の漸近線であれば、必ず

f(x)-(ax+b)→0 (x→∞) ・・・★
(当然、x→-∞の漸近線を考えるのであれば、x→-∞です。以下同様)

が成り立ちます。逆に、これが成り立てば、ほぼy=ax+bは漸近線であると考えて差し支えありません。(ほぼと書いたのはy=f(x)とy=ax+bが交わる可能性があるから)

したがって、このようなa,bが(何らかの予想をたてて)見つかったのであれば、y=ax+bが漸近線として大きな問題は起こりません。
>問題1では、予想して求めていますが、これは入試の解答方法としていいのでし...続きを読む

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Q漸近線の求めかた??

y=x+1+1/(x-1)のグラフを描く問題なんですが、増減表(添付図)を書いた後教科書では次のように漸近線を求めています。

lim[x]→1+0]y=∞, lim[x→1-0]y= ー∞であるからx=1はこの曲線の漸近線である。
さらに
lim[x→∞]{y-(x+1)}=0
lim[x→-∞]{y-(x+1)}=0
だからy=x+1もこの曲線の漸近線である。

[質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?
 
[質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように
リミットの中の式をlim[x→∞]{y-(x+1)}=0 という形にしているのでしょうか?
(これで確かにy=x+1は漸近線ということがわかりますけど・・)

漸近線を求める上での考え方がよくわかりません。意味不明な箇所があるかもしれませんが、教えてください。

Aベストアンサー

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特に、右辺のそれぞれの項がどうなるかを考えると良いです。

x がどんどん大きくなると、x + 1 + 1/(x-1)の中の3つの項のうち、
1/(x - 1)だけは0に収束して消えていってしまいませんか?
そうなると残るのはxと+1の項だけになります。
なのでy = x + 1 + 1/(x-1)は、xがどんどん大きくなると
y = x + 1に近づくと考える事ができます。

y = (2x^2 + 5) / (x + 2)のような形の関数だと、
そのままではこのような考え方ができません。
この場合は割り算をして
y = 2x - 4 + (13/(x + 2))と変形してやると、
同じように考える事ができます。

他にも例えば、y = 2x + 3 + 2^xはx → -∞の時、
y = 2x + 3に漸近します(x → +∞では漸近しません)。
後は「漸近放物線」みたいのも考えられます。
例えばy = x^2 + 2x + (1/x)は、x → +∞とx → -∞の時、
放物線y = x^2 + 2xに漸近します。

> [質問1] どういうわけで増減表を書いた後漸近線を求めたいと考えたのでしょうか?双曲線であると分かった上での判断ですか?

増減表を描いた後に漸近線がある事に気付いたわけではなく、
y = x + 1 + 1/(x-1)という式を見た瞬間に気付くんです。

> [質問2] 漸近線を求めるとき、なぜ、まるでy=x+1が漸近線であるとあらかじめしっているかのように

ちょっと大雑把な考え方かもしれませんが、
y = x + 1 + 1/(x-1)がx → ∞の時(また、x → -∞の時)に
どうなるのかを想像してみるとよいです。
特...続きを読む

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q数IIIグラフ・漸近線に関する質問です。

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

今回は問題ではなく、私自身の疑問についてなのですが、数IIIのグラフを描く際に求める漸近線についてです。

例えば、f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)のグラフの漸近線を求める場合、
f(x)=(x+3) + {1/(x-2)} という形に変形させて、漸近線はy=x+3とx=2だと求められると思います。

そこで質問なのですが、漸近線の関数は上のように必ず1次関数なのでしょうか。

解いていた問題の中で、

y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。
理由は、x→∞のとき、{f(x)-x^2}→0 になるからです。
でも、(確実に私の経験不足ですが)いままでに漸近線は1次関数以外見たことがないため、私が間違っているのか分からず困っています。

数IIIのグラフを描く際の漸近線は必ず1次関数までなのでしょうか。

お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

漸近線の定義に1次関数に限るとは決して書いていません。いかに高校数学といえどもそんなに理不尽ではありません。教科書をよく見なおしてください。

>y= x^2 + (1/x^2) のグラフを求める問題があって、この場合、1/x^2という分数関数の前のx^2は漸近線になるのではないかと思いました。

その通りです。似たような話がurlに出ています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%B8%E8%BF%91%E7%B7%9A

Qv1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R

v1=(0,1,1),v2=(1,1,0)で生成される実ベクトル空間R3の2次元部分空間の正規直交基底を求めよ。

という問題なのですが、「Rnのm次元部分空間」(ここでは、R3の2次元部分空間)はどのようにもとめればいいのでしょうか。また、問題の詳細な解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

シュミッドの直交法


v1およびv2の線形結合から、正規直交系のベクトルV1,V2を作る方法です。
※ベクトルは何本あっても大丈夫です。

まず、v1はそのまま正規化して
V1=v1/|v1|
とします。
次に、v2に対して
V2={v2-(v2,V1)V1}/|v2-(v2,V1)V1|
と変換します。
このベクトルとV1との内積は
(V1,V2)=0
なので直交します。

もし、ベクトルが3本あったとしても
V3={{v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1}|v3-(V3,V2)V2-(V3,V1)V1|
を作れば、V1,V2,V3は正規直交系です。

この問題の場合

V1=(0,1,1)/√2
V2={(1,1,0)-(0,1,1)/2}/|~|
=(1,1/2,-1/2)/|~|
=(2,1,-1)/√6

Q漸近線について

「Y=1/x+logxのグラフをかけ」という問題で、グラフの増減表は書くことができるのですが漸近線の求め方がわかりません。回答にはY軸が漸近線だと書いてありlim x→0(1/x+logx)の1/xをtとおき回答してありました。そこで1/xをtと置かずに「lim x→0(1/x+logx)」を解き漸近線がY軸であると導びこうとしたのですがうまくいきません。どう考えればよいか教えてください。また漸近線を求める場合はいろんな場合を計算してみて初めて、どれが漸近線だ、と分かるのですか。それとも問題をみてすぐに分かるものなのでしょうか。お願いします。

Aベストアンサー

lim x→0(1/x+logx)を求めるのは難しいですね。
まずは1/xをくくり出して、
1/x・(1+xlogx)

(1/x)→∞なので、xlogxが何か値に収束すればy軸が漸近線だといえます。

(xlogx)→0なのですが、これを説明するのは難しく、結局、x=1/tとおいて「はさみうちの原理」を使うことになります。

x→0よりもt→∞の方が極限が考えやすいので、このように置き換えるんだな、と思ってください。

Q∫0~1xdx=[1/2x^2]0から1=1/2 不定積分・定積分は?

次のような式があります。

∫0~1xdx=[1/2x^2]0~1=1/2

※∫の範囲?はここでは記述できないため、上記のように書いています。
そこで、
1)不定積分は[1/2x^2]0~1、定積分は1/2であるということで間違いないでしょうか?
2)この式では∫0~1xdxを積分すると1/2になるという説明でおかしくないでしょうか?
ご回答お願いいたします。

Aベストアンサー

>1)不定積分は[1/2x^2]0~1、定積分は1/2であるということで間違いないでしょうか?
「(1/2)x^2」は原始関数といいます。原始関数に任意定数Cを加えたものが不定積分結果になります。
「1/2」は定積分を計算した結果です。
不定積分は積分範囲の無い積分「∫xdx」のことを不定積分と言います。
定積分は積分範囲を指定した積分「∫[0→1] xdx」のことを定積分といいます。積分結果は本来、不定積分や定積分とはいいません。

>2)この式では∫0~1xdxを積分すると1/2になるという説明でおかしくないでしょうか?
「xを0から1まで積分すると1/2になる。」
「定積分∫[0→1] xdxの積分結果(積分値)は1/2になる。」
といった説明で良いでしょう。

Q斜めの漸近線について

方程式のグラフを書くときに、分子の多項式の次数が、分母の多項式の次数よりも大きい時のみ、斜めの漸近線を考えれば良いと思っていたのですが、ある問題の解答を見ると、x + arctan(x)のグラフの時も、斜めの漸近線を求めて、それをグラフに書いています。

どのようなときに斜めの漸近線を考えるべきなのでしょうか?

Aベストアンサー

どんなときに書くべきか決まってはいないでしょうが。

x + arctan(x)
の漸近線は、arctan(x)の形を思い浮かべればすぐにわかるわけで、書き加えるのはたいした手間ではない。

一番丁寧には、漸近線が存在するか調べて、存在するなら書けばよいのでは。
f(x) - (ax + b) が、x→∞で、0に近づくような実数a,bが存在するかを調べればよい。

QQ∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0は何故?

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思います。

どうして
(点{r}の測度fによる像)=0
と言えるのでしょうか?

つまり,
(Q∩[0,1]全体の測度fによる像)=f(∪[b∈Q∩[0,1]]{b})=Σ[b∈Q∩[0,1]]f({b})と変形できると思いますが
これからどうしてf({b})=0が言えますでしょうか?
推測ですが
f({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])=1/(アレフ0)=0と乱暴に計算してもいいでしょうか?
(上の定義からはf({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])と書ける事すらも言えてませんが…)

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思いま...続きを読む

Aベストアンサー

おはようございます。簡単に説明しますが、

B⊃{b_i}(b_i は単調減少列 つまり、b_i⊃b_{i+1})
ならば

f(∩b_i)=lim f(b_i)

が成り立ちますから(このことは、ご自分で調べてください。測度論の本には必ず載っています。)

点{r}に対し、b_i=(r-1/i,r+1/i) とすれば

f({r})=f(∩b_i)=lim f(b_i)=lim 2/i=0

となって、f({r})=0となるのです。


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