n進小数？

先日、学校で２進数について習ったのですが、宿題でｎ進小数を２、８、１６進数に変換する問題がでてぜんぜん解けなくて困ってます。どなたか、教えてください。

　（９８．７５）１０を２、８、１６進数に
　
　（１A.Ｃ）１６を２、８、１６進数に

　(１２.１４)８を２，８，１６進数に
の３問でお願いします。（ｘｘｘ）８は、８進数でｘｘｘと表現しました。

No.2 回答者： starflora 回答日時： 2002/02/15 05:16

　

　　ｎ進数というのは、或る桁に数字があると、それが、何桁目かによって、ｎの何乗という数字をその桁の係数にかけて合計を出すと、とりあえず、１０進数に換算できます。そこで、１０進数で表現されている数字を、今度はｍ進数に変えようとすると、ｍで順番に割って行き、余りで、最初の桁から順番にその桁の係数を計算して出します。具体的に次のように計算します。
　
　　例えば、98.75 /10/ なら、２で割ると、98は49になり余りがありません。これは最初の桁が、０ということです。最初の桁とは、一桁目です。次に49を２でまた割ると、24……1 となります、つまり、二番目の桁、第二の桁は１です。24をまた２で割ると、割り切れます。ということで：
　
　　98/2＝49……0
　　49/2＝24……1
　　24/2＝12……0
　　12/2＝ 6……0
　　 6/2＝ 3……0
　　 3/2＝ 1……1
　　 1/2＝ 0……1
　
　　ということで、１より大きい部分は、1100010 になります。これは、
　　1*2^6+1*2^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0＝64＋32＋0＋0＋0＋2＋0＝９８
　　ということで、この計算でよいことが分かります。（注：0100011 でないのに注意）。
　
　　少数の方も同じで、違うのは、1/2が幾つあるか、1/4が幾つあるかという計算になり、これは、1/2で割ることなので、丁度、その逆数の２を掛けて行くことになります。
　
　　0.75Ｘ２＝1.5……１と0.5
　　0.5 Ｘ２＝1……1と0　です。
　　つまり、1*(1/2)^1+1*(1/2)^2＝1/2＋1/4＝0.5＋0.25＝0.75
　　だから、２進数で、小数点の部分は、0.11　になります。
　
　　上の結果と合わせると(98.75)10＝(1100010.11)2　が答えです。
　
　　８進数、１６進数も同じように計算してもよいのですが、ここは頭を使います。
　　2^3＝８，2^4＝１６　というのを利用します。（(1/2)3＝1/8，(1/2)4＝1/16 も使います）。
　　(98.75)10＝(1100010.11)2＝1*2^6+1*2^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0＋1*(1/2)^1+1*(1/2)^2
　　でしたから、
　　2^6＝(2^3)*(2^3)＝8^2*1
　　2^5＝(2^3)*(2^2)＝8^1*4
　　2^1＝8^0*2
　　で、少数でない部分は、１４２となります。
　
　　また少数部分は、(1/2)3＝1/8　ですから、
　　1*(1/2)^1+1*(1/2)^2＝4*(1/8)^1+2*(1/8)^1＝(0.6)8　となり、合計すると、
　　(98.75)10＝(142.6)8　が答えです。
　
　　１６進数換算は、2^4＝16，(1/2)^4＝1/16　を使って同じように計算します。
　
　　(98.75)10＝(1100010.11)2＝1*2^6+1*2^5+0*2^4+0*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0＋1*(1/2)^1+1*(1/2)^2
　　＝4*2^4+2*2^4+2*2^0＋8*(1/2)^4+4*(1/2)^4＝(62./12/)8＝(62.C)8……Cは12です。
　　(98.75)10＝(62.C)8　が答えです。
　
　　ここで、２進数を８進数にする場合は、三桁づつ分ければよく、１６進数の場合は、四桁づつに分ければよいという技術が出てくるのです。どうしてそうなるかは、以上の計算方法を考えると、分かると思います。（よく考えてください）。
　
　　この三桁づつ分ける、四桁づつ分けるというのを使うとどうなるかは、
　
　　(98.75)10＝(1100010.11)2＝(1｜100｜010.110｜)2＝(142.6)8
　　(98.75)10＝(1100010.11)2＝(110｜0010.1100｜)2＝(62./12/)8＝(62.C)8
　
　　となって、簡単に計算できます。三桁づつ、四桁づつ切った中で、２進数の合計を計算して、これを、その桁の数字にすればよいのです。まず、２進数にすると、８進数と１６進数は、こんな風に簡単に計算できます。
　
　
　　＞（１A.Ｃ）１６を２、８、１６進数に
　
　　(1A.C)16＝1*16^2+10*16^0+12*(1/16)^1
　　＝(｜0001｜1010.1100｜)2＝(11010.11)2
　　いきなり答えがでますが、これは何をしたかというと、１６進数→２進数の上で述べた、桁を四つごとに分けることの逆をしたのです。２進数から１６進数へと進んで見ると、そういう計算をしているのが分かるでしょう。
　　(1A.C)16＝(11010.11)2＝(11｜010.110｜)2＝(32.6)8
　
　　最後は、多分、１０進数への変換でしょう。
　　それは簡単にできます。
　　(11010.11)2＝16+8+0*4+2+0*1+(1/2)+(1/2)^2＝(26.75)10
　
　
　　＞(１２.１４)８を２，８，１６進数に
　
　　(12.14)8＝1*8^1+2*8^0+1*(1/8)+4*(1/8)^2
　　8＝2^3　で　(1/8)＝(1/2)3　であるので
　　(12.14)8＝1*2^3+2*2^0+1*(1/2)^3+4(1/2)^6
　　　　ここで、2*2^0＝1*2^1　　4(1/2)^6＝1*(1/2)^4　　従って
　　(12.14)8＝1*2^3+2*2^0+1*(1/2)^3+4(1/2)^6＝1*2^3+1*2^1+1*(1/2)^3+1*(1/2)^4
　　＝(1010.0011)2
　
　　(1010.0011)2＝(｜1010.0011｜)2＝(/12/.3)16＝(C.3)16
　
　　１０進数への換算は、２進数が出ているのでそれを元に計算できるし、１６進数でC.3ということは、1*16+3*(1/16) であり、これを計算すると、(16.1875)10
　
　　なお、途中で計算間違いをしているかも知れません。
　　検算してください。
　

No.1 回答者： noname#30727 回答日時： 2002/02/15 05:14

少数部分は、分数で考えて、分母が(10^x)n になるようにします。

(0.75)10
= (75/100)10
= (3/4)10
= (11/100)2 = (0.11)2
= (3/4)8 = (6/10)8 = (0.6)8
= (3/4)16 = (C/10)16 = (0.C)16

(1A.C)16 は、サービス問題ですね。
(12.14)8 は、やや複雑ですが、基本的な事がわかってしまえば簡単です。

(0.14)8
= (14/100)8
= (12/64)10 = (3/16)10 = (1875/10000)10 = (0.1875)10

あとは頑張ってください。