僕は、中学三年生です。
割り算の余りについて質問をします。

例えば、21nを41で割るとします(1≦n≦41)。
もちろん余りの範囲は、0~40ですよね。
ここで疑問なことが、なぜ余りが一回ずつ出てくるのか
ということです。

分かる方がいましたら、ぜひ教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1~41の間にあるとする。


すると、21(a-b)は41の倍数である。(余りが同じなので)ここで、21と41は互いに素(最大公約数が1)なので、a-bは41の倍数である。
さて、ここで、a-bの範囲は-40~40の間にしかなり得ないので、41の倍数となるa-bはa-b=0以外にありえない。つまりa=bである。

これを逆に読めば(数学的には「対偶をとると」・・・中学生なら「対偶」という言葉は知らないかもしれませんが^^;)、21n(1≦n≦41)を41で割った余りはnが異なるとすべて異なる(どの2つをとっても余りが一致することはない)ということがいえます。
ところで、余りは全部で当然41通りしかないので、
・41個の余りがすべて違う
・余りは0~40の41通りしかない
ということで、すべての余りが1回ずつ出現することが示せます。

つまり議論の根幹は、21と41が互いに素であることに尽きます。

こんなんでどうでしょうか?!
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

こんなアホな中学生にちゃんと分かる説明をどうも!!
感激です!!
100本の糸が1つになった感じです。

お礼日時:2002/03/29 16:52

たしか、大学への数学の特別版(?)みたいなので、


「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。
その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。

とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。
君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。

http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …

参考URL:http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ついに大学まで・・・。
今度本屋さんで探してみます。

お礼日時:2002/03/29 16:55

問題読み間違えてました。

ごめんなさい。

お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^;
「合同式」というのは、
a ≡ b (mod n) : a と b は n を法にして合同
というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。

例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。

参考になりそうなURLをあげておきます。

http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … フェルマーの小定理も扱われていますし、証明はありませんが、この問題が扱われています。
http://www.sur.ac/faq/mod.html フェルマーの小定理も扱われています
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html

参考URL:http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

ご丁寧に、URLまで・・・。
参考になりました。

お礼日時:2002/03/29 16:54

同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します


21と41が、互いに素なことが重要です
例えば、1≦m<n≦41を満たすm,nに対して
41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。
21n=41A+r
21m=41B+r
両辺を引くと
21(n-m)=41(A-B)
また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる
すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41より小さい)
したがって、余りが同じものはなく全部異なることになります。
証明で納得いかなければ、円状に0から40までの数字を書き
21ごとにぬりつぶしていけば均等にぬりつぶせるばずです。
この分野を勉強するには合同式を理解したほうがいいです
中学生にも理解できると思います。
また、この事実よりフェルマの小定理が証明されます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

中学生にも理解可能です。
中学生といってももう高校生なので、逆に分からなければ・・・。
とにかくありがとうございました。

お礼日時:2002/03/29 16:53

ぶっちゃけた話、整数が1おきに並んでいるからです。



厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。
また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。
このとき
p % n = np % n (∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m)
(p+1) % n = (p % n) + 1) % n (∵p=p'×n + m とすると (p+1)/n の余りは (m+1)/n の 余り )
(ややこしいですが、一周した場合も考えると、最後の % n が必要です)

が成り立ちます。
つまり、整数p は1ずつふえるとき、余りm も1ずつ増えていきます。ところが、余りm が 割る数n と等しくなったとき、余りは再び 0 に戻ります。

そのため、余りは 0,1,2,…,n-1 を繰り返すわけです。

おおざっぱな割に、ちょっとややこしくなってしまいました(ごめんなさい
わかりにくいところがあれば、補足をお願いします。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

これから高校生になるので、こういう
知識を前もって持つことができたのがうれしいです。

お礼日時:2002/03/29 16:51

21を2倍してみましょう。

42でしょ?
そうすると、41で割ると、42は余り1です。

はい、では、nが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。
nが、2,4,6,8,・・・,40の時、
余りは1,2,3,4,・・・,20ですね。

奇数の時、まず、n=1なら21が余りということになります。
nが、1,3,5,7,・・・,39の時、
余りは21,22,23,24,・・・,40になります。

そして、nが41の時は割り切れます。

つまり、余りが41通り出るのは、こういう規則性があるからです。
「数学的帰納法」というので説明すると楽なのですが、なにぶん中学3年では習っていないでしょうから、なかなか説明しづらいですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
規則性ですか・・・。
数学帰納法というものもじきじき習うと
思うので、調べてみたいと思います。

お礼日時:2002/02/20 08:42

 「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。

もう一度くわしく質問しなおして見てください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
余りが一回って言うのは、一つのセットに
一回出てくることなんですが・・・。
そう書かなかった僕が悪いです。
失礼しました。

お礼日時:2002/02/20 08:41

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Q割り算の余りは・・・

割り算の余りを求める問題
 「xは整数とする。
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(x^2+x+1)^1234 = [(x^3+x^2+x+1) - x^3]^1234
となり, 右辺を 2項定理でばらすと (-x^3)^1234 の項以外は x^3+x^2+x+1 を因数に持つので
(x^3+x^2+x+1)P(x) + (-x^3)^1234
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 Excelバージョン:2003

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間に半角のコロン「:」を入れたデータは、Excelには自動的に「日付データ」として認識されます。

日付データとは、1900年1月1日を「0」として(起点として)、どのくらい経過したか?という物ですから、時間だけ…この例だと「24:30」…を入れた場合は年月日が省略されていると認識されて、自動的に「1900/1/2 0:30:00」になる訳です。

日付データの形式になっていなければ、時間計算ができません。

「[h]:mm」という書式設定では、その日付データから「時間」と「分」を抜いて表示させろ、という事ですね。


数式バー上では「日付データ」になっていなければ、時間として計算ができない。

どうしても数式バーで「24:30」と表示させたい場合は、文字データにしなければならない。
文字データにすれば当然時間としても数字としても、計算はしてくれません。


時間として計算できる「日付データ」ですから、「1900/1/2 0:00:00」…つまり、24:00と入れたデータ…は、表示形式を「標準」にすれば、「1」と表示されるはずです。
これは、1900/1/1 0:00:00から「1日」経過した時間だよ、という意味です。

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これを「標準」にすれば、40383.0208333333となります。
1900/1/1 0:00:00から、40,383日が経過してますよ、という計算がなされているわけです。


時間として扱いたいならば、数式バー上の表示はそのままで。

間に半角のコロン「:」を入れたデータは、Excelには自動的に「日付データ」として認識されます。

日付データとは、1900年1月1日を「0」として(起点として)、どのくらい経過したか?という物ですから、時間だけ…この例だと「24:30」…を入れた場合は年月日が省略されていると認識されて、自動的に「1900/1/2 0:30:00」になる訳です。

日付データの形式になっていなければ、時間計算ができません。

「[h]:mm」という書式設定では、その日付データから「時間」と「分」を抜いて表示させろ、という事ですね。

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Q割り算における商と余り

数学が得意な方教えてください!
自然数a,bはともに4で割ると3余る。このとき、積abを4で割った余りを求めよ。
という問題です。答えは1になります。
よろしくお願いします<(_ _)>

Aベストアンサー

m,n を自然数として、a,b を以下の様に表す。

a = 4m + 3
b = 4n + 3

ab = (4m+3)(4n+3)
= 16mn + 12m + 12n + 9
= 4( 4mn + 3m + 3n + 2 ) +1

()内は自然数なので、これを k と置くと、

ab = 4k + 1

Q分数の割り算で余りを求める方法を教えてください。

1÷(7/240)=34余り1/120
上記計算のように、分数の割り算で余りを求めなければならない場合、どのような方法で計算するとわかりやすいのでしょうか。
小学生で理解できる方法を教えてください。
仕事算で用いた計算です。
他中学受験算数で、こういった計算を使うことはあるのでしょうか。

Aベストアンサー

このような場合は,単位を変更するのがポイント
だと思います。

「Aだけ働くと80日かかり、Bだけなら60日かかる」
のですから,1日あたり Aは 3/240,Bは 4/240 だけ
進めることになります。そこで,問題を
「3+4+3+4+・・・と足していくとき,240
を超えるのは+3したときか,+4したときか」
と言い換えて考えます。

まず 3+4=7 ずつ足していくと考えて,
  240 = 7*34 + 2
より,3と4を34回ずつ足したところで残りは2です。
次は+3する番ですから,最後の日はAが働くことに
なります。

「残り2」というのが,解答にある 1/120 = 2/240
のことですね。
分数の割り算や余りというのは karakara88 さんの
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論理矛盾が大混乱の原因になることが多いので,
気をつけられた方がよいと思います。

Q割り算の余りと商を求める連立式

ある整式Aをx-5で割ったときの商がx-4で余りはRである。
また、Aをx+3で割ったときは、商がQで余りは25ある。
このとき、余りR、商Qおよび整式Aを求めよ。

この問題なのですが、どのように解けばいいのでしょうか。

Aベストアンサー

整式の割り算なので、余りの次数は割る式の次数より小さくなるので、
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次の式が立ちます
A=(x-5)(x-4)+R ‐(1)
A=(x+3)Q+25 ‐(2)

xには好きな数が代入できます。
なので、
Aに5を代入 A(5)=R=8Q+25
Aに4を代入 A(4)=R=7Q+25
Aに-3を代入 A(-3)=56+R=25

あとは、A,Qは整式、Pは定数に注意して解くと、
A=x^2-9x-11,Q=x-12,R=-31

Q夫名義で地銀のカードローンを毎月1万ずつ返済しています。最初は金額が大きく一万の半分が利息でしたが、

夫名義で地銀のカードローンを毎月1万ずつ返済しています。最初は金額が大きく一万の半分が利息でしたが、最近は2.3割が利息になっています。
それで、12月分を多めに振込してしまったので、余りを引き出したいのですが、そもそも返済の為の口座も引き出しはできるのでしょうか??

Aベストアンサー

その場合、一回返したということになるので、再度借りるということになるかと思います?

Q恒等式の割り算について 整式P(x)をx^2+x-6およびx^2-x-2で割った余りがそれぞれ4x+

恒等式の割り算について
整式P(x)をx^2+x-6およびx^2-x-2で割った余りがそれぞれ4x+5およびax+1であるとする。ただしaは定数とする。

(1)aの値を求めよ。

(2)P(x)をx^3+2x^2-5x-6 で割った余りを求めよ。

この問題の式をたてたところ、式の数が気になって色々やっていくうちに

x^2+x-6 + 4x+5 = x^2+5x-1
x^2-x-2 + ax+1 = x^2+(a-1)x-1

という値になり係数比較でa=6(問11(1)の答えも6)

x^2+5x-1の式が (問11(2)の答え)一致していました。

たんなる偶然でしょうが、何か関係性がありそうだったら教えて欲しいです。

Aベストアンサー

貴方のやり方は、
(1)'=(x+3)(xー2)+4x+5
(2)'=(x+1)(xー2)+ax+1

(1)'/(xー2)=x+3+{4(xー2)+5+8}/(xー2) =x+7+13/(xー2)
(2)'/(xー2)=x+1+{a(xー2)+1+2a}/(xー2)=x+1+a+(1+2a)/(xー2)
となり
私の解答で、p(2)=13=2a+1 からa=6 がでてきたのと同じ過程だからでしょう!
そして、7=1+aが成立したため同じ結果になったからでしょう!
でも、繰り返しですが、試行錯誤の結果であっても、理論上の説明ができなければ
偶々になりますし、この場合は、成立しない例をあげることで解決です!


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