割り算の余りについて

Question

僕は、中学三年生です。
割り算の余りについて質問をします。

例えば、21nを41で割るとします（1≦n≦41）。
もちろん余りの範囲は、0～40ですよね。
ここで疑問なことが、なぜ余りが一回ずつ出てくるのか
ということです。

分かる方がいましたら、ぜひ教えてください。
よろしくお願いします。

kony0 · Accepted Answer

もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1～41の間にあるとする。
すると、21(a-b)は41の倍数である。（余りが同じなので）ここで、21と41は互いに素（最大公約数が1）なので、a-bは41の倍数である。
さて、ここで、a-bの範囲は-40～40の間にしかなり得ないので、41の倍数となるa-bはa-b=0以外にありえない。つまりa=bである。

これを逆に読めば（数学的には「対偶をとると」・・・中学生なら「対偶」という言葉は知らないかもしれませんが^^;）、21n（1≦n≦41）を41で割った余りはnが異なるとすべて異なる（どの２つをとっても余りが一致することはない）ということがいえます。
ところで、余りは全部で当然41通りしかないので、
・41個の余りがすべて違う
・余りは0～40の41通りしかない
ということで、すべての余りが1回ずつ出現することが示せます。

つまり議論の根幹は、21と41が互いに素であることに尽きます。

こんなんでどうでしょうか？！

hikaru_mac · Answer

たしか、大学への数学の特別版（？）みたいなので、
「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。
その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。

とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。
君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。

http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan/master_of/index.html

参考URL：http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan/master_of/index.html

sssohei · Answer

問題読み間違えてました。ごめんなさい。

お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^;
「合同式」というのは、
a ≡ b (mod n)　：　a と b は n を法にして合同
というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。

例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。

参考になりそうなURLをあげておきます。

http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11.html　フェルマーの小定理も扱われていますし、証明はありませんが、この問題が扱われています。
http://www.sur.ac/faq/mod.html　フェルマーの小定理も扱われています
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html

参考URL：http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11.html, http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html

tiezo- · Answer

同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します
21と41が、互いに素なことが重要です
例えば、1≦m＜n≦41を満たすm,nに対して
41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。
21n=41A+r
21m=41B+r
両辺を引くと
21(n-m)=41(A-B)
また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる
すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41より小さい)
したがって、余りが同じものはなく全部異なることになります。
証明で納得いかなければ、円状に０から４０までの数字を書き
２１ごとにぬりつぶしていけば均等にぬりつぶせるばずです。
この分野を勉強するには合同式を理解したほうがいいです
中学生にも理解できると思います。
また、この事実よりフェルマの小定理が証明されます。

sssohei · Answer

ぶっちゃけた話、整数が１おきに並んでいるからです。

厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。
また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。
このとき
p % n = np % n （∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m）
(p+1) % n = (p % n) + 1) % n　（∵p=p'×n + m とすると (p+1)/n の余りは (m+1)/n の 余り ）
（ややこしいですが、一周した場合も考えると、最後の % n が必要です）

が成り立ちます。
つまり、整数p は１ずつふえるとき、余りm も１ずつ増えていきます。ところが、余りm が 割る数n と等しくなったとき、余りは再び 0 に戻ります。

そのため、余りは 0,1,2,…,n-1 を繰り返すわけです。

おおざっぱな割に、ちょっとややこしくなってしまいました（ごめんなさい
わかりにくいところがあれば、補足をお願いします。

nabayosh · Answer

２１を２倍してみましょう。４２でしょ？
そうすると、４１で割ると、４２は余り１です。

はい、では、ｎが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。
ｎが、２，４，６，８，・・・，４０の時、
余りは１，２，３，４，・・・，２０ですね。

奇数の時、まず、ｎ＝１なら２１が余りということになります。
ｎが、１，３，５，７，・・・，３９の時、
余りは２１，２２，２３，２４，・・・，４０になります。

そして、ｎが４１の時は割り切れます。

つまり、余りが４１通り出るのは、こういう規則性があるからです。
「数学的帰納法」というので説明すると楽なのですが、なにぶん中学３年では習っていないでしょうから、なかなか説明しづらいですね。

muni2 · Answer

「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。もう一度くわしく質問しなおして見てください。

割り算の余りについて

もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1～41の間にあるとする。

たしか、大学への数学の特別版（？）みたいなので、

問題読み間違えてました。

同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します

ぶっちゃけた話、整数が１おきに並んでいるからです。

２１を２倍してみましょう。

「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。

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