僕は、中学三年生です。
割り算の余りについて質問をします。

例えば、21nを41で割るとします(1≦n≦41)。
もちろん余りの範囲は、0~40ですよね。
ここで疑問なことが、なぜ余りが一回ずつ出てくるのか
ということです。

分かる方がいましたら、ぜひ教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1~41の間にあるとする。


すると、21(a-b)は41の倍数である。(余りが同じなので)ここで、21と41は互いに素(最大公約数が1)なので、a-bは41の倍数である。
さて、ここで、a-bの範囲は-40~40の間にしかなり得ないので、41の倍数となるa-bはa-b=0以外にありえない。つまりa=bである。

これを逆に読めば(数学的には「対偶をとると」・・・中学生なら「対偶」という言葉は知らないかもしれませんが^^;)、21n(1≦n≦41)を41で割った余りはnが異なるとすべて異なる(どの2つをとっても余りが一致することはない)ということがいえます。
ところで、余りは全部で当然41通りしかないので、
・41個の余りがすべて違う
・余りは0~40の41通りしかない
ということで、すべての余りが1回ずつ出現することが示せます。

つまり議論の根幹は、21と41が互いに素であることに尽きます。

こんなんでどうでしょうか?!
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

こんなアホな中学生にちゃんと分かる説明をどうも!!
感激です!!
100本の糸が1つになった感じです。

お礼日時:2002/03/29 16:52

たしか、大学への数学の特別版(?)みたいなので、


「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。
その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。

とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。
君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。

http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …

参考URL:http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ついに大学まで・・・。
今度本屋さんで探してみます。

お礼日時:2002/03/29 16:55

問題読み間違えてました。

ごめんなさい。

お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^;
「合同式」というのは、
a ≡ b (mod n) : a と b は n を法にして合同
というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。

例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。

参考になりそうなURLをあげておきます。

http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … フェルマーの小定理も扱われていますし、証明はありませんが、この問題が扱われています。
http://www.sur.ac/faq/mod.html フェルマーの小定理も扱われています
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html

参考URL:http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11. … http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

ご丁寧に、URLまで・・・。
参考になりました。

お礼日時:2002/03/29 16:54

同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します


21と41が、互いに素なことが重要です
例えば、1≦m<n≦41を満たすm,nに対して
41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。
21n=41A+r
21m=41B+r
両辺を引くと
21(n-m)=41(A-B)
また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる
すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41より小さい)
したがって、余りが同じものはなく全部異なることになります。
証明で納得いかなければ、円状に0から40までの数字を書き
21ごとにぬりつぶしていけば均等にぬりつぶせるばずです。
この分野を勉強するには合同式を理解したほうがいいです
中学生にも理解できると思います。
また、この事実よりフェルマの小定理が証明されます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

中学生にも理解可能です。
中学生といってももう高校生なので、逆に分からなければ・・・。
とにかくありがとうございました。

お礼日時:2002/03/29 16:53

ぶっちゃけた話、整数が1おきに並んでいるからです。



厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。
また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。
このとき
p % n = np % n (∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m)
(p+1) % n = (p % n) + 1) % n (∵p=p'×n + m とすると (p+1)/n の余りは (m+1)/n の 余り )
(ややこしいですが、一周した場合も考えると、最後の % n が必要です)

が成り立ちます。
つまり、整数p は1ずつふえるとき、余りm も1ずつ増えていきます。ところが、余りm が 割る数n と等しくなったとき、余りは再び 0 に戻ります。

そのため、余りは 0,1,2,…,n-1 を繰り返すわけです。

おおざっぱな割に、ちょっとややこしくなってしまいました(ごめんなさい
わかりにくいところがあれば、補足をお願いします。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

これから高校生になるので、こういう
知識を前もって持つことができたのがうれしいです。

お礼日時:2002/03/29 16:51

21を2倍してみましょう。

42でしょ?
そうすると、41で割ると、42は余り1です。

はい、では、nが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。
nが、2,4,6,8,・・・,40の時、
余りは1,2,3,4,・・・,20ですね。

奇数の時、まず、n=1なら21が余りということになります。
nが、1,3,5,7,・・・,39の時、
余りは21,22,23,24,・・・,40になります。

そして、nが41の時は割り切れます。

つまり、余りが41通り出るのは、こういう規則性があるからです。
「数学的帰納法」というので説明すると楽なのですが、なにぶん中学3年では習っていないでしょうから、なかなか説明しづらいですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
規則性ですか・・・。
数学帰納法というものもじきじき習うと
思うので、調べてみたいと思います。

お礼日時:2002/02/20 08:42

 「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。

もう一度くわしく質問しなおして見てください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
余りが一回って言うのは、一つのセットに
一回出てくることなんですが・・・。
そう書かなかった僕が悪いです。
失礼しました。

お礼日時:2002/02/20 08:41

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Aベストアンサー

外資というのも一つの理由ですが、ユーロ
でなく、ドルを。豪ドルでなく米ドルを
という所に理由があります。

為替動向の話はあまり関係でなく、世界の
経済情勢があるからです。

現在の世界の経済動向は米国ひとり勝ち
状況です。
それを如実に表しているのが
『金利の動向』であり、これがドル建て
を薦める理由です。

日本は今年初めにマイナス金利に突入。
ユーロ圏などは随分前からマイナス金利
が導入されています。
これに大きく影響するのが国債なんです。

保険業は保険料を長期に渡り預かるため、
かなりの割合で国債の運用で安定運用を
図ります。
その国債が10年以上の超長期物でないと
利息が付かない状況となっています。
こうした状況では国内での運用、特に
終身保険や満期で保険金を支払う様な
ものの国内運用は運用損を出しかねない
状況です。

現実に国内保険業者の終身保険の一部は
販売中止となっています。

一方でアメリカは昨年7年ぶりに利上げ
に踏み切り、先週2回目の利上げとなり、
金利が上がり出しました。
こうなると、アメリカの国債やドル金利
の運用だけでも、利息が出ることになり、
安定運用ができることになります。

ここで為替リスクの話が付随して出て
きます。
契約をドル建てにすれば、為替リスク
を保険業者が負わずに済みます。
円建てでは保険業者が為替リスクを
負いながら、ドルによる運用をせざる
をえないと思われます。ここは外資で
あることからも、そうした運用方針は
かなりの確度であると思われます。

客側の立場で言えば『ふざけるな!』
で良いですよ。

つまり強い経営方針で言わされている
だけです。

為替リスクが全くないと言うなら、
乗ってもいいでしょうが、あくまで
ドル建てなんですよね?

為替リスクを許せるなら、保険等利用
せず、外貨預金、もっと言うなら
もっとも手数料や為替の安全性を考える
なら、FXで投資するのが正しいです。
これは偽りではないですよ。

同じ資金で同じ外貨で考えるなら、
膨大な手数料を使って外貨に両替する
保険会社や銀行、円に戻したい時に
すぐに戻せない金融商品も多いので
それはとてもリスクが高いです。

余談となりました。

いかがでしょうか?

外資というのも一つの理由ですが、ユーロ
でなく、ドルを。豪ドルでなく米ドルを
という所に理由があります。

為替動向の話はあまり関係でなく、世界の
経済情勢があるからです。

現在の世界の経済動向は米国ひとり勝ち
状況です。
それを如実に表しているのが
『金利の動向』であり、これがドル建て
を薦める理由です。

日本は今年初めにマイナス金利に突入。
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が導入されています。
これに大きく影響するのが国債なんです。

保険業は保険料を長期に渡り預かるため、
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No.1です
テキストなので式が誤解されやすいので念のため。
(まあ,単純な変形なのでありますが)

n^2+n^3 = n^2 × (n+1)

ついでですので,少し表現を変えてみました。

nもn+1も3の倍数でない。

n+1=3,6,9・・・ではないはすなわち
n=2,5,8・・・であってはならない。

条件を満たすのは
n=1,4,7・・・

したがいnを3で割った余りは1となる。

Q人余りの日本で子供手当てなどをする意味があるのでしょうか?

人余りの日本で子供手当てなどをする意味があるのでしょうか?

今の日本では人が大量に余っています。
その実態が去年や今年の大学の新卒の就職希望者の内定率で
61%でした、高校の新卒は50%以下でした。
ようするに大学の新卒でも2/5の人は企業側が欲しいとは思わなかった結果だと思います。それに仕事をしたい意思があるのにアルバイトや日払いの仕事ですら1年以上1日もできなかった人が約130万人。前者の大卒で就職浪人もしくは就職できなかったから大学院にいった人達の世代はもう少子化になってからの世代になっていると思いますが、少子化ですら、こんなに人が余る、社会はもう使える人しか必要としなくなった。
もし、これが団塊ジュニア世代なみに生まれてきてしまっていたら
もっともっと就職浪人者や無職、自殺者などが増えている事になりますよね。
女性も一昔前と違い専業主婦や家事手伝いに逃げる事も出来ない時代ですし。
結局は少子化対策というのは無駄の一途だと思います。
首都圏などに住んでいて人が増えて欲しい人なんて稀だと思うし
むしろ減ってくれた方が駐車(輪)場なども確保できやすい、慢性渋滞も緩和する
など良い事だらけのように思います、若い世代には税収確保とかいいますが
それ以前に若い世代を社会が多く必要としてないわけだし。
それで結局は無駄な公共事業を増やして雇用を増やすとか子供が増える分国債も増えるという風にしか考えられませんね。その上、アメリカの報道で経済的に困窮した日本人が右翼化、ネットで外国人排斥などと書かれているんだし。
日本の企業が外国人を採用しだしたのは単に賃金の差だけでなく働く意欲の違いなども大きいと思うんですよね、平和ボケの日本人と違って外国人の方が
ハングリー精神ありますし。

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ようするに大学の新卒でも2/5の人は企業側が欲しいとは思わなかった結果だと思います。それに仕事をしたい意思があるのにアルバイトや日払いの仕事ですら1年以上1日もできなかった人が約130万人。前者の大卒で就職浪人もしくは就職できなかったから大学院にいった人達の世代はもう少子化になっ...続きを読む

Aベストアンサー

人口減の推移を容認するなら必要無い政策でしょうね。

但し人口減に切替えていくにはいくつかの条件があります。

(1)高年齢年金者の半強制収用。→管理も容易になり現在問題の幽霊戸籍も解決、ローコストで扶養できる。
(2)半強制換地。→亜熱帯化していますので関東以北の平野部のみに換地して行政コストをスリムにします。
(3)ヒモ付ODAの復活と若年層の海外派遣。→アセンブリ輸出は円高で壊滅しますので組み立てしかできないという輩にはアフリカの地デジの鉄塔建設に行って頂きます、待望の公務員ですよ。
(4)教育時間の倍増。→開発とか知的財産で外貨を稼がないといけませんので今後は優秀な人材のみ必要になります。優秀の割合を増やしていくには教育倍増しかない(アニメの優勢人類なんとかじゃ非人道的だし)

実際には若年者から搾取してきた老年層が数で勝り、その票が欲しい政治屋が改革しないのでワークシェアして賃金ベースを下げていくしかないんだろうかなぁと。

Q数学の整数問題?です。2≦L≦M≦Nとしてよいと書いてありますがどういうことでしょうか?

正の正数L,M,Nが1/L+1/M+1/N<1を満たしながら変わるとき
1/L+1/M+1/Nの最大値を求めよ

という問題の解説に

L,M,Nは正の整数であるから
2≦L≦M≦Nとしてよい

と書いてありました。何故2以上であるとポンと出ているのでしょうか?

さらに次の行に
L=2のときは1/M+1/N<1/2

したがって M≧3

もうなんでMが3以上になったのか訳がわからないですお願いします

Aベストアンサー

正の正数L,M,Nが

1/L+1/M+1/N<1   (1)

を満たしながら変わるとき、 1/L+1/M+1/Nの最大値を求めよ


「 L,M,Nは正の整数であるから 2≦L≦M≦Nとしてよい」

理由:

L=1とすると(1)は

1/M+1/N<0

となり、正の正数L,M,Nという仮定に反するからです。


「L=2のときは1/M+1/N<1/2、 したがって M≧3」

理由:

L=2のとき、(1)は

1/M+1/N<1/2        (2)

M=2では(2)は

1/N<0

となり、正の正数L,M,Nという仮定に反するからです。


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