解き方が分かりません

受験勉強をしていて、つまづいた問題があります。

５＾ｎ＋１２＾ｎ＝１３＾ｎ　これを満たす自然数ｎは２に限ることを証明せよ。

という問題なんですが、背理法や対偶をとって証明を試みましたが、うまくいきませんでした。
高校数学の範囲で解くにはどうすればいいでしょうか？　
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2006/06/20 00:58

こんな感じかな。

n=2のとき、
左辺=5^2+12^2=169
右辺=13^2=169
で成立する。

n≧3のとき、
　5^n+12^n<13^n・・・※
となることを示す。

n=3のとき、
※の左辺=5^3+12^3=1853
※の右辺=13^3=2197
なので、成立する。

n=kのとき成立すると仮定すると、
5^k+12^k<13^k
であり、このとき、
13^(k+1)
=13×13^k
>13×(5^k+12^k)
=13×5^k+13×12^k
>5×5^k+12×12^k
=5^(k+1)+12^(k+1)
となるので、
13^(k+1)>5^(k+1)+12^(k+1)
となり、n=k+1のときも成立する。

以上により、数学的帰納法によって、※は成立する。

したがって、与式を満たす自然数はn=2に限る。

No.5 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/06/20 08:34

一般のa^n+b^n=c^nの場合は皆さん仰るフェルマー・ワイルズの定理ですが、この場合は簡単。

5^2+12^2=13^2が成り立つ。
両辺に13^(n-2)をかけると
13^(n-2)・(5^2+12^2)=13^ｎ、ここで

13^(n-2)・(5^2+12^2)=13^(n-2)・5^2+13^(n-2)・12^2＝(8+5)^n-2)・5^2+(1+12)^(n-2)12^2>5^n+12^n　(n≧3のとき）
（最後の不等号は二項定理より明らか）

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2006/06/20 07:42

これは高校程度の数学では歯が立ちませんよ(^_-)

フェルマーの定理と言って、何世紀の間も世界中の数学者がよってたかって証明しようとしたのですが解けない難問だったのですが、数年前に日本人の学者が編み出した手法を使ってイギリスの数学者が解決しました。下記がその苦闘の記録です。

参考URL：http://www.bk1.co.jp/product/00003794

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/06/20 00:51

フェルマーの定理により明らか・・・・冗談です。

怒らないで。

勘ですが、
ｆ（ｎ）＝１３＾ｎ－（５＾ｎ＋１２＾ｎ）
とおき、
ｆ（ｎ）＞０
が、ｎ＝３で成立することを示し、ｎについての数学的帰納法でやる方法もあると思います。
証明を完全にするためには、ｆ（１）≠０も言わないといけませんが。

でも No. 1 の方のヒントがスマートですね。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2006/06/20 00:15

両辺を13^nで割ると・・・