相加平均 相乗平均って、、、

普通の不等式の証明と、相加平均、相乗平均の関係を使った不等式の証明がありますよね。どういう場合に応じて使い分けたらいいのかわかりません。教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： c0manifold 回答日時： 2008/08/23 18:03

この回答は受験数学に必要である場合に限りますが

（質問者の意図と違えば申し訳ありません）

受験数学に必要なのであれば
a>0，b>0で√abが整数値になる場合
に相加・相乗平均を使うことが多いです。

難度の高めな問題では、その場合に限らないこともありますが・・・
ほとんどの場合上記で区別できると思います。

この回答へのお礼

率直に答えてくださってありがとうございます！

お礼日時：2008/08/23 19:22

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/08/23 14:08

>どういう場合に応じて使い分けたらいいのかわかりません。

別に無理して相加相乗平均を使う理由はない。普通に解ければそれでよい。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/23 13:59

ミスった。

＞点Ｐ（2、3）を通る直線がx軸とy軸と交わる点を各々Ａ、Ｂとする。

　　　　　　　　　　　　↓

点Ｐ（2、3）を通る直線がx軸とy軸の正の部分と交わる点を各々Ａ、Ｂとする。

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/23 13:45

＞どういう場合に応じて使い分けたらいいのかわかりません。

教えてください。

先ず、使われている文字が全て0以上であること。これは絶対的な条件である。
しかし、文字が全て0以上だから相加平均・相乗平均が使えるとは限らない。そして、使えるかどうかの判断は“慣れ”による事が多い。

又、相加平均・相乗平均は最大値や最小値を求める場合に使われる事が多いが（形は不等式の証明であっても、等号がついていればそれは最大値・最小値の問題になる）、その場合は，使われている文字の和、or、積が一定である事。

何れの場合でも、証明すべき不等式に等号がついている場合が多いが、等号が成立する時の文字の値は必ず書いておく事。
これは、その問題に対して、相加平均・相乗平均を使い方が適当かどうかの判断にも関わる重要なことである。
時として、“生兵法は怪我の元”になることがある、十分注意したらよい。


易しいが良い例題がある。

点Ｐ（2、3）を通る直線がx軸とy軸と交わる点を各々Ａ、Ｂとする。
Ｏを座標の原点とする時、長さ：ＯＡ＋ＯＢの最小値を求めよ。