相加相乗平均について。

相加相乗平均の一般化(n個)の場合の証明で、一般的な数学的帰納法を使って証明していただけると幸いです。すみませんが。 参考URLも貼っておきます。
https://mathtrain.jp/amgm
ただし、このURLの証明とは、また別の証明を願います。

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/01/02 20:37

(1)

まず、Ai>0 とする。
　A₁A₂…An=1 → A₁+A₂+…+An≧n・・・・・①
等号成立は
　A₁=A₂=…=An=1
を証明する。

n=1のときは明らか。nの時、成立を仮定。
n+1のとき、A₁ → A₁A[n+1]として

A₁A₂…AnA[n+1]=1 とする。 ここで
A₁≧A₂≧…≧An≧A[n+1] と仮定しても一般性は失わない。すると
A₁≧1≧A[n+1] は自明。すると
　(A₁-1)(A[n+1]-1)≦0 → A₁A[n+1]≦A₁+A[n+1]-1・・・・②
となる。

また、A₁A₂…AnA[n+1]=1 → (A₁A[n+1])A₂…An=1
だから、nの場合の命題が使え
　(A₁A[n+1])+A₂+…+An≧n
となる。②を使うと
　(A₁+A[n+1]-1)+A₂+…+An≧n → A₁+A₂+…+An+A[n+1]≧n+1
となり、命題が証明された。

(2)
つぎに、等号
　A₁+A₂+…+An=n・・・・・・③
が成立するとする。ここで
(A₁-1)(An -1)=A₁An +1-A₁-An を使うと
　n=(A₁+An)+A₂+…+An
　　=-(A₁-1)(An -1)+A₁An +1+(A₂+…+A[n-1])
　　=1-(A₁-1)(An -1)+{A₁An +(A₂+…+A[n-1])}

ここで、命題から A₁An +(A₂+…+A[n-1])≧n-1 なので上式は
　n≧1-(A₁-1)(An -1)+n-1 → (A₁-1)(An -1)≧0・・・・④
となる。

また
　A₁≧A₂≧…≧An・・・・・⑤
と仮定しても一般性は失わない。このとき、②と同様に
　(A₁-1)(An -1)≦0
が成り立つから④と合わせて
　(A₁-1)(An -1)=0 → A₁=1 または An=1
を得る。

ここで、A₁=1 のとき、1=A₁≧A₂≧…≧An となり、③は
　n-1+An≧A₁+A₂+…+An=n → An≧1
となる。これは　1=A₁≧A₂≧…≧An≧1 となり、
　A₁=A₂=…=An=1 ・・・・・⑥
を得る。

An=1 のときも同様に
A₁≧A₂≧…≧An=1 となり、③は
　A₁+n-1≦A₁+A₂+…+An=n → A₁≦1
となる。これは 1≧A₁≧A₂≧…≧An=1　となり、
　A₁=A₂=…=An=1
を得る。

逆も明らかなので、等号成立の必要十分条件は⑥となる。

(3)
An → Ai/(A₁A₂…An)¹/ⁿ とおくと①の条件を満たしているので
Ai>0 のとき（Ai=0があれば、不等式は自明）、求める不等式
　(A₁+A₂+…+An)/n≧(A₁A₂…An)¹/ⁿ
はすぐに出る。
等号成立は⑥から
　A₁=A₂=…=An
となる。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/02 22:31

昔からよく学校で教えられているやつを...

1)
No.1 のように 2 項の場合を証明する。

2)
n 項の場合に相加相乗平均の関係が成立すると仮定すると、
正数 A₁,A₂,…,An,B₁,B₂,…,Bn について
(A₁+A₂+…+An)/n ≧ ⁿ√(A₁A₂…An),
(B₁+B₂+…+Bn)/n ≧ ⁿ√(B₁B₂…Bn) が成立する。
ⁿ√(A₁A₂…An), ⁿ√(B₁B₂…Bn) の 2項についても
(ⁿ√(A₁A₂…An) + ⁿ√(B₁B₂…Bn))/2
　≧ √(ⁿ√(A₁A₂…An) ⁿ√(B₁B₂…Bn)) が成立するから、
併せると
(A₁+A₂+…+An + B₁+B₂+…+Bn)/(2n)
　= ((A₁+A₂+…+An)/n + (B₁+B₂+…+Bn)/n)/2
　≧ (ⁿ√(A₁A₂…An) + ⁿ√(B₁B₂…Bn))/2　　　←[1]
　≧ √(ⁿ√(A₁A₂…An) ⁿ√(B₁B₂…Bn))　　　　←[2]
　= ²ⁿ√(A₁A₂…AnB₁B₂…Bn).
2n 項の場合にも相加相乗平均の関係は成立する。

3)
よって数学的帰納法により、
任意の 2^k 項の場合に相加相乗平均の関係は成立する。
k はいくらでも大きくとれる。

4)
ある m 項の場合に相加相乗平均の関係が成立すると仮定すると、
m より小さい任意の n について
n 項の場合の相加相乗平均の関係が成立する。
それを示すには、 m 項の相加相乗平均の関係で
A₁,A₂,…,An 以外の n-m 項に (A₁+A₂+…+An)/n を代入すればよい。

等号成立についても、[1][2]での等号成立から振り返れば
A₁ = A₂ = … = An であることが判る。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/02 18:47

「それが、下の方の証明のことでしょうか？」といわれてもなぁ. 私が当該 URL の内容を書いたわけではないので YES とも NO

とも判断できない. 「帰納法を使って証明する」方法 (の 1つ) を書いただけ.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/01/02 17:57

2個のときに成り立つから 2^n個のときに成り立って, さらに一般のときにも成り立つ.

この回答へのお礼

それが、下の方の証明のことでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

お礼日時：2021/01/02 18:14

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/02 13:56

0≦a、0≦bの時

√ab≦(a+b)/2　変形すると、2√ab≦a+b ①

0=0,b=0の時①は成立

a=m、b=nの時に成立すると仮定する、
つまり、2√mn≦m+n ②　と仮定する。

②の両辺に2を足すと
2√mn + 2≦m+n+2

ここで、2√mn + 2、2√(m+1)(n+1)の大小関係を調べる。
どちらも0以上だから、2乗の大小関係を調べる。
(2√mn + 2)²=4mn+4+8√mn
(2√(m+1)(n+1))²=4(m+1)(n+1)=4mn+4+4(m+n)

4(m+n)-8√mn=4{(m+n)-2√mn}≧0：②の仮定より。



∴2√mn≦m+n ②　と仮定すると
2√(m+1)(n+1)≦2√mn + 2≦m+n+2=(m+1)+(n+1)が成り立つ。
つまり、2√(m+1)(n+1)≦(m+1)+(n+1)が成り立つ。

これにより、全ての0≦a、0≦bの整数で
①が成り立つ。

この回答へのお礼

これは、2個の場合ですね。私は、n個の場合と言ったのですが。これは、一体何の証明でしょうか？

お礼日時：2021/01/02 16:41