ちょっと急ぎなもので教えてください。
いま背理法の証明をしているのですが、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=378364
行き詰まってしまいました。
[問題]
a+b√3=c+d√3 ・・・(1) (a,b,c,dは有理数[整数÷整数の分数で表せる数])
のときに, a=c, b=d であることを証明せよ
証明方法はわかるのですが、いまいち理解できていません。
0は無理数なのかわかるとありがたいのですが。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
maruru01です。0=0/1
0=0/2
などと表せるので、0は有理数です。
それから、0で割ってはいけません。
(a-c)/(b-d)としている時点ですでに、
b≠d
と仮定していることになります。
だから、
>b=d、かつa=cと仮定すると
>√3=(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。
ちなみに
b≠d
の場合に、a=cでも、
√3=0
で、無理数=有理数なので矛盾になります。
早速の返信ありがとうございます。
確認なのですが、
>>b=d、かつa=cと仮定すると
>√3=(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。
ということですが、そんな気がしてきました。
私は>b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。
その場合は、素直に
a+b√3=c+d√3
をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか?
確かにこれはこのままでb=d、かつa=cだと矛盾しませんね。
No.5
- 回答日時:
>私は>b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。
>その場合は、素直に a+b√3=c+d√3 をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか?
全くその通りです. b=d、かつa=cと仮定する場合に, 与式(1)が成立することは認めてしまって良いです.
それ以上いじる必要はありません.
No.4
- 回答日時:
a+b√3=c+d√3
これを展開して…
√3(b-d)=(c-a)
a,b,c,dが有理数の場合、
(c-a) (b-d) は必ず有理数です
一方、√3は無理数です
無理数にいくら有理数を乗じても有理数にはなりません
したがってこの式を成立させるためには(b-d)=0として無理数√3を消さねばならず、その結果(c-a)も=0になる
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
かなりむちゃな設問ですが、このような手順で証明されればで宜しいのでは?
No.3
- 回答日時:
こんにちは。
a+b√3=c+d√3
a-c=(d-b)√3
b≠dとすると
d-b=e:0以外の有理数 とおける
a-c=e√3
となり、左辺は有理数、右辺は無理数となり、矛盾。
よってb=d
a≠cとすると
a-c=f:0以外の有理数 とおけるが
f=0 となり矛盾。
よってa=cも成り立つ
以上より、a=c,b=d が成り立つ。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の問題についてです。 この問題は背理法による証明の問題なのですが、 写真右上の赤線「rを有理数と 2 2022/06/28 16:28
- 教育学 数学の問題についてです。 この問題は背理法による証明の問題なのですが、 写真右上の赤線「rを有理数と 1 2022/06/28 16:26
- 数学 この証明は高校数学の範囲でできますか?数1 数と式 5 2023/04/06 09:24
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 √nが有理数ならばnが整数 証明 なぜ √nが有理数ならばnが整数の証明の解答です。わからない部分が 2 2022/08/04 09:41
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 数学 8の倍数の証明(nの倍数の証明)をするとき、 k,lを整数とすると、−8(k+l)が8の倍数って答え 3 2022/12/02 17:59
- 大学受験 整数問題 Nを正の整数とする。 N+18がN+2の倍数となるようなNの値の個数を求めたい。 解説に、 1 2022/08/13 12:25
- 数学 アマチュア数学者について 2 2022/06/08 17:55
- 数学 多項式の性質と無理数・有理数 2 2022/06/21 06:50
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明
-
x2+2xy+2y2-2x+2y+13>0 不等式...
-
√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体...
-
(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2
-
(2n+1)!!・n!・2^n=(2n)!
-
相加・相乗平均は最小値を示す...
-
なぜ等号は常に成り立たないの...
-
何時間 何分 何秒を記号で表...
-
電子回路の記号
-
自分の知識では解けそうにない...
-
鋼材について
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
数学のハット、キャレットの意...
-
数学の問題で丸に真ん中に線が...
-
「∝」←この記号ってどういう意味?
-
証明終了の記号。
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
(-1) ^2πってなんで1じゃないん...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
-
なぜ等号は常に成り立たないの...
-
nの階乗と2のn乗の比較
-
変数の関係に相加相乗平均を使...
-
数II a^2−ab+b^2≧a+b−1の不等式...
-
部分分数分解について。 1/a・b ...
-
√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体...
-
「次の不等式を証明せよりまた...
-
数学IIの問題です 0≧xのとき、...
-
x2+2xy+2y2-2x+2y+13>0 不等式...
-
||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明
-
相加・相乗平均は最小値を示す...
-
絶対値の不等式の証明ができません
-
数学的帰納法 不等式の証明
-
不等式の問題で
-
チェビシェフの不等式について
-
数学的帰納法の証明2
-
大学数学(位相数学)の問題です
-
数学的帰納法
-
整数問題 19 島根大学
おすすめ情報