ちょっと急ぎなもので教えてください。
いま背理法の証明をしているのですが、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=378364
行き詰まってしまいました。
[問題]
a+b√3=c+d√3 ・・・(1) (a,b,c,dは有理数[整数÷整数の分数で表せる数])
のときに, a=c, b=d であることを証明せよ
証明方法はわかるのですが、いまいち理解できていません。
0は無理数なのかわかるとありがたいのですが。
よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
maruru01です。0=0/1
0=0/2
などと表せるので、0は有理数です。
それから、0で割ってはいけません。
(a-c)/(b-d)としている時点ですでに、
b≠d
と仮定していることになります。
だから、
>b=d、かつa=cと仮定すると
>√3=(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。
ちなみに
b≠d
の場合に、a=cでも、
√3=0
で、無理数=有理数なので矛盾になります。
早速の返信ありがとうございます。
確認なのですが、
>>b=d、かつa=cと仮定すると
>√3=(c-a)/(b-d)
ということをしてはいけません。
ありえません。
ということですが、そんな気がしてきました。
私は>b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。
その場合は、素直に
a+b√3=c+d√3
をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか?
確かにこれはこのままでb=d、かつa=cだと矛盾しませんね。
No.3
- 回答日時:
こんにちは。
a+b√3=c+d√3
a-c=(d-b)√3
b≠dとすると
d-b=e:0以外の有理数 とおける
a-c=e√3
となり、左辺は有理数、右辺は無理数となり、矛盾。
よってb=d
a≠cとすると
a-c=f:0以外の有理数 とおけるが
f=0 となり矛盾。
よってa=cも成り立つ
以上より、a=c,b=d が成り立つ。
No.4
- 回答日時:
a+b√3=c+d√3
これを展開して…
√3(b-d)=(c-a)
a,b,c,dが有理数の場合、
(c-a) (b-d) は必ず有理数です
一方、√3は無理数です
無理数にいくら有理数を乗じても有理数にはなりません
したがってこの式を成立させるためには(b-d)=0として無理数√3を消さねばならず、その結果(c-a)も=0になる
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
かなりむちゃな設問ですが、このような手順で証明されればで宜しいのでは?
No.5
- 回答日時:
>私は>b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。
>その場合は、素直に a+b√3=c+d√3 をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか?
全くその通りです. b=d、かつa=cと仮定する場合に, 与式(1)が成立することは認めてしまって良いです.
それ以上いじる必要はありません.
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