lim[(h,k)→(0,0)](h^2 + 3yk^2 + k^3)/√(h^2 + k^2)=0の証明は?

lim(h^2 + 3yk^2 + k^3)/√(h^2 + k^2)=0
(h,k)→0

を極座標変換とかせずにごく普通にεδで証明したのです。

0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<√(h^2 + k^2)<δ⇒(h^2 + 3yk^2 + k^3)/√(h^2 + k^2)<ε
ですがδをどのように採ればいいのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/04/25 15:39

えっと,

√(h^2 + k^2) = δ とおくと
|h^2 + 3yk^2 + k^3| ≦ δ^2 + |3y|δ^2 + δ^3 = δ(δ + |3y|δ + δ^2)
なので
|(h^2 + 3yk^2 + k^3) / √(h^2 + k^2)| ≦ δ + |3y|δ + δ^2.
この右辺がεより小さいという条件からδを出せばいいのかな?

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。

0<∀ε∈R,δ∈{t∈R;t + |3y|t + t^2<ε}:=A
が採れるので
(∵t + |3y|t + t^2=(t+(1+|3y|)/2)^2-((1+|3y|)/2)^2となり、
この放物線の頂点はt軸より下に来るのでどんな小さな(0<)εを採っても
A≠Φ)
δ∈Aを採れば
(h^2 + 3yk^2 + k^3)/√(h^2 + k^2)<ε
とできますね。

納得です

お礼日時：2007/04/25 22:06