No.3ベストアンサー
- 回答日時:
3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)
=3ax+3by+3cz-ax-ay-az-bx-by-bz-cx-cy-cz
=a(2x-y-z)+b(-x+2y-z)+c(-x-y+2z)
=a{(x-y)+(x-z)}+b{(y-x)+(y-z)}+c{(z-x)+(z-y)}
=a(x-y)-a(z-x)-b(x-y)+b(y-z)+c(z-x)-c(y-z)
=(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)
ここで、a≧b≧c, x≧y≧z であるから
a-b≧0, x-y≧0 よって (a-b)(x-y)≧0 ・・・・・ ①
b-c≧0, y-z≧0 よって (b-c)(y-z)≧0 ・・・・・ ②
c-a≦0, z-x≦0 よって (c-a)(z-x)≧0 ・・・・・ ③
これより
(a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)≧0
よって
3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)≧0
したがって
(a+b+c)(x+y+z)≦3(ax+by+cz)
等号成立は、①、②、③より
(a=b または x=y) かつ (b=c または y=z) かつ (c=a または z=x)
つまり
a=b=c または x=y=z
(1) がなくて(2)だけで出題されることはあると思う。
この場合は、自分で(1)を証明しなければならない。
(1)を無理に使わなくても証明できるのでは?
No.2
- 回答日時:
大学による。
よくあるのは(1)で不等式の証明をさせて、2問目で(1)の結果を使わせる問題を出すパターン。この場合は、もし1問目ができなくても、2問目で「(1)の結果より...」から始めて解けば、正解なら2問目の点数はもらえる。
難関大学になると、いきなり写真の(2)を解かせる場合もあり得る。これは(1)がなければ難問。
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