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(問題)
不等式 {∫(0→1)(x-a)(x-b)dx}^2≦∫(0→1)(x-a)^2dx∫(0→1)(x-b)^2dx を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。ただし、a,bは定数とする。
(解き方)
(右辺)-(左辺)
=[1/3(x-a)^3](0→1)[1/3(x-b)^3](0→1)-[{∫(0→1)(x-a)^2+(x-a)(a-b)}dx]^2
={1/3(1-a)^3-1/3a^3}{1/3(1-b)^3+1/3b^3}-{[1/3(x-a)^3+1/2(a-b)(x-a)^2](0→1)}^2
=1/9(1-3a+3a^2)(1-3b+3b^2)-{1/3(1-3a+3a^2)+1/2(a-b)(1-2a)}^2
…この続きをお願いします!
違うやり方の方が簡単と言われるかもしれませんが、事情があってこの続きの解き方を教えてください!
No.4
- 回答日時:
これは、既に指摘があるように“シュワルツの積分不等式”の証明に過ぎない。
しかし、それを使わないなら、一見して計算が面倒な事が分る。
従って、指定の解法でやるにしても、猪突猛進は賢明ではないから、簡素化して進もう。
a+b=m、ab=n とすると、m^2-4n≧0 ‥‥(1)
(x-a)(x-b)=x^2-mx+nであるから、{∫(0→1)(x-a)(x-b)dx}^2=(置き換えを使って実際に計算して)=(1/36)*(2-3m+6n)^2.
∫(0→1)(x-a)^2dx∫(0→1)(x-b)^2dx =(1/9)*(1+3m^2-3m+3n-9mn+9n^2)となる。
よって、右辺-左辺=(実際に計算して)=3*(m^2-4n)≧0、何故なら、(1)による。
等号は m^2-4n=0 → a=b=0 の時。
No.3
- 回答日時:
#1です。
A#1の補足の質問について
>1行目から2行目への式変形がわかりません。どのようになるのでしょうか?
全部括弧を展開してみましょう。そうすると3項を残して全部、プラスとマイナス項が打ち消しあって消えてしまいます。
それが
=(1/12)a^2-(1/6)ab+(1/12)b^2
の3項で、
1/12で括れば、(1/12)(a-b)^2
と(a-b)の2乗に因数分解できます。
No.2
- 回答日時:
少々大変な計算ですね。
最後の行
=1/9(1-3a+3a^2)(1-3b+3b^2)-{1/3(1-3a+3a^2)+1/2(a-b)(1-2a)}^2
まず、後ろの項の{…}内を計算するのがよいでしょう。
見た目、aと bのバランスが悪いですが、整理すると対称な式になります。
下手に分数をくくりだすよりも、係数も分数のままで計算した方がうまくいくと思います。
あと、証明したい不等式が (右辺) - (左辺)≧0 の形なので、
(…)^2の形になるであろうことが予想されると思います。
等号成立は(…)内が 0となる場合となります。
最後に、この問題は「シュワルツの不等式」とよばれるものの具体例になっています。
シュワルツの不等式の証明は「違うやり方」になりますので、
解いた後にでも検索してみてください。
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