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週明けに提出しなければならない問題なのですが、
証明問題の解答の仕方がよくわかりません。
つきましては、
以下に現時点での解答を示しましたので
そこでの間違い、不十分な点を指摘して頂ければ有難いです。
どうぞよろしくお願いいたしますm(_ _)m
<問>
→
0でない2つのベクトルa、b(以下、a、b上には
「→」があるものと思ってください・・・)
に対して、
a⊥b⇔|a+b|=|a-b|
を証明しなさい。
<解答>
左辺を2乗すると、
|a+b|^2
=(a+b)(a+b)
=a・a+a・b+b・a+b・b
=|a|^2+2a・b+|b|^2
ここで、a⊥bよりa・b=0なので、
=|a|^2+|b|^2…(1)
右辺を2乗すると、
|a-b|^2
=(a-b)(a-b)
=a・a-a・b-b・a+b・b
=|a|^2-2a・b+|b|^2
ここで、a⊥bよりa・b=0なので、
=|a|^2+|b|^2…(2)
(1)、(2)より、
a⊥bならば、|a+b|=|a-b|は成り立つ。
ここまでが、a⊥b⇒|a+b|=|a-b|の証明で、
逆の場合の|a+b|=|a-b|⇒a⊥bについては・・・
左辺を2乗すると、
|a+b|^2
=(a+b)(a+b)
=a・a+a・b+b・a+b・b
=|a|^2+2a・b+|b|^2…(1)
右辺を2乗すると、
|a-b|^2
=(a-b)(a-b)
=a・a-a・b-b・a+b・b
=|a|^2-2a・b+|b|^2…(2)
|a+b|=|a-b|より、
(1)=(2)が成り立つには
2a・b=-2a・bでなければならない。
よって、4a・b=0
a・b=0
したがって、|a+b|=|a-b|ならば、a⊥bが成り立つ。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ほぼ完全に正しいですが, 気がついた点を少々.
>=(a+b)(a+b)
>=(a-b)(a-b)
これらは,内積を表す"・"が必要で,
(a+b)・(a+b), (a-b)・(a-b)
などです.
>a・b=0
>したがって、|a+b|=|a-b|ならば、a⊥bが成り立つ。
証明問題では(たとえ問題文にあっても)必要なところで用いた条件を述べる必要があって,
『a・b=0 で, (→省略)a,bは0ベクトルでないから, a⊥bが成り立つ。』
というように話を運ばないと, 揚げ足を取られたりします.
(0ベクトルだと, 高校数学では直交とは言わないので, 別扱い.)
ご説明ありがとうございました!
自分ひとりでやってますと、
根本を理解できてないものですから・・
証明でもついなんとなく書いてしまうのでよく叱られます(^^;
自分の気付けない不備を指摘して頂けて助かりました。
No.2
- 回答日時:
もっと安直な解答としては(あまり最初から悪いことを教えてはいけない?)
[証明]
|a+b|=|a-b| (≧0)
⇔|a+b|^2=|a-b|^2 (上式は両辺0以上より,2乗しても同値)
[⇔(a+b)・(a+b)=(a-b)・(a-b) ](省略可)
⇔|a|^2+2a・b+|b|^2=|a|^2-2a・b+|b|^2
[⇔2a・b=-2a・b]
⇔4a・b=0
⇔a・b=0
⇔a⊥b (∵|a|≠0, |b|≠0)
よって題意は示された.
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