√2が無理数であることの証明では、背理法以外には方法はないのでしょうか？

まず√2が有理数であると仮定し√2₌a/bと置く

からしか始めませんよね。他の証明法がありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/14 11:13

ありますよ。

下記サイトを 参考にしてみて。
https://manabitimes.jp/math/1030

この回答へのお礼

＞正則連分数展開を用いた証明
これが一番良いです。

お礼日時：2024/08/14 17:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/14 19:25

表面上はあるかもね。

でも、証明に使った定理の証明を見てゆくと、
その中に背理法が隠されてるだけなんだよね。

「無理数」の定義は「有理数でない実数」で、
これ以外にはありえない。
ここに出てくる「有理数」の定義は「x が有理数
⇔ x=a/b となる整数 a,b が存在」だから、結局、
無理数の定義は、そのような a,b が存在しないこと
にならざるをえない。

存在否定型の命題を証明するには、おそらく、
背理法を使うしかない。
背理法を対偶法にすり替えて、表面上
背理法を避けたかのような形もとれるが、
対偶法自体が、背理法を使って証明するものだからねえ。

この回答へのお礼

有理数を素通りして、これは無理数であるという方法はないのでしょうか？

お礼日時：2024/08/14 23:03