中国剰余式定理(一般形)の証明について

一般の環論の参考書に中国剰余式定理(一般形)の証明の前に、(I₁…Iₙ-₁)＋Iₙ=A(補題①)、 I₁∩…∩Iₙ=I₁…Iₙ(補題②)が成り立つことを示しておりますが、
補題②は中国剰余式定理(一般形)の証明に必要でしょうか？

実際、中国剰余式定理(一般形)を証明する際に、数学的帰納法(n=2の時、A/(I₁∩I₂)≅A/I₁×A/I₂が成り立つ事は示せています)からA/(I₁∩…∩Iₙ-₁)≅A/I₁×…×A/Iₙ-₁が成り立つと仮定すると、
補題①より(I₁…Iₙ-₁)∘Iₙ=Aなので、n=2の時の結果が適用でき、
A/(I₁∩…∩Iₙ-₁)∩Iₙ≅A/((I₁∩…∩Iₙ-₁)×A/Iₙ( n=2の時の結果)≅(A/I₁×…×A/Iₙ-₁)×A/Iₙ(帰納法の仮定)となる。
以上、数学的帰納法からA/(I₁∩…∩Iₙ)≅A/I₁×…×A/Iₙが成り立つ。

という具合に補題②を使わなくても示せているかと思うのですが上記の証明何か間違っている部分ありますか…？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/03 10:40

補題①より

(I₁…Iₙ-₁)+Iₙ=A
だけれども
(I₁∩…∩Iₙ-₁)+Iₙ=A
が示されていないので
n=2の時の結果が適用できないから、
A/{(I₁∩…∩Iₙ-₁)∩Iₙ}≅A/((I₁∩…∩Iₙ-₁)×A/Iₙ
とはいえない

この回答へのお礼

ごめんなさい、頭が追いついておらず見落としていました…
ありがとうございます、助かりました！

お礼日時：2024/06/03 12:09

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2024/06/03 10:37

Copilotの回答は以下の通りです。

補題②を使わずに中国剰余式定理(一般形)を証明するアプローチを詳しく説明しますね。
中国剰余式定理は、与えられた剰余の系列 I1​,I2​,…,In​
に対して、次のような連立合同式を解く方法です：
xxx​≡a1​(modI1​)≡a2​(modI2​)⋮≡an​(modIn​)​
ここで、I1​,I2​,…,In​
は互いに素な正整数であり、a1​,a2​,…,an​
は整数です。
証明のアイデアは、帰納法を用いて次のように示すことです：


基底部 (n=2):


まず、n=2
の場合を考えます。つまり、以下の連立合同式を解くことを考えます：
xx​≡a1​(modI1​)≡a2​(modI2​)​


この場合、中国剰余定理により、解 x
は次のように表されます：
x≡a1​⋅I2​⋅(I2−1​(modI1​))+a2​⋅I1​⋅(I1−1​(modI2​))(modI1​⋅I2​)


ここで、I1−1​
は I1​
の逆元を意味します。




帰納法の仮定:


仮定として、n=k
の場合に中国剰余定理が成り立つと仮定します。つまり、以下の連立合同式を解くことを考えます：
xxx​≡a1​(modI1​)≡a2​(modI2​)⋮≡ak​(modIk​)​


この場合、解 x
は次のように表されます：
x≡i=1∑k​ai​⋅​j=i∏​Ij​​⋅​​j=i∏​Ij​​−1(modIi​)​(modM)
ここで、M=I1​⋅I2​⋅…⋅Ik​
です。




帰納法のステップ (n=k+1):


さて、n=k+1
の場合を考えます。新たに Ik+1​
と ak+1​
を追加した連立合同式を解くことを考えます：
xxxx​≡a1​(modI1​)≡a2​(modI2​)⋮≡ak​(modIk​)≡ak+1​(modIk+1​)​


この場合、x
の解は次のように表されます：
x≡i=1∑k+1​ai​⋅​j=i∏​Ij​​⋅