ガウスの定理とストークスの定理

この二つの定理を視覚的に理解できるように説明お願いします

No.1 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/02/10 07:26

wiki の　ストークスの定理

http://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=%E3%82% …

の　微分形式による一般化を見てください。

一番、きれいです。

No.2 回答者： masudaya 回答日時： 2012/02/10 08:42

物理数学の直感的方法の5章をご覧ください.

rotの視覚的理解方法が書いてあったと思います.
divの視覚的説明は上の本もそうですが,
たいていの教科書に書かれていると思います.

ガウスの定理は,直感的に言うと
体積を包んだ表面からででくる流れを全部足すと
体積内からわき出してている分になる.
ということになるかと思います.

ストークスの定理は,同じように直感的に言うと
面の端部分で発生する面を回そうとする力(トルク)は
面内の渦を全部足した物である.

という感じでしょうか.

No.3 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/02/11 13:06

　一方向に一様な速度ｕで流れる流体（水でかまいません）を想像します（2次元でかまいません）。

流れ方向と直角になるように長さａの線を引き、線の単位法線ベクトル（流れ方向そのもの）をｎとすると、ａを通って秒当たりに流れ出す流体の流出量速度が、ｕ・ｎａである事は、図を書くまでもなく、わかると思います。・は内積です。

　次に流れｕをａに対してθ傾けると、流出速度がｕ・ｎａに「減る」事が、図を書くと本当にすぐわかります。そこで・・・。


(1)閉じた領域Ｒを考えます。
　Ｒが任意の流れ（一様でない）ｕの中に置かれた時、Ｒの境界Ｓを通って秒当たりに流れ出す流体の流出量速度は、Ｓの場所ごとに違うでしょうが、局所的に考えれば、さっきと事情は同じです。Ｓの微小部分の長さをｄａで表し、その単位法線ベクトルをｎとすれば、

　ｕ・ｎda　　　　　　　　　　　　　式(1)

です。そしてｎdaを、ｎda＝ｄｓと表し、3次元の場合には、これに面素ベクトルという名前を与えます。式(1)をＳ全体で集めれば、Ｒからの流出量速度の合計が得られるはずです（ｕの符号を考えれば、流入も込みで）。

　∫ｕ・ｄｓ　　　　　　　　　　　　式(2)

です。式(2)の積分領域は、Ｒの境界Ｓ全体です。式(2)が得られたので、次に・・・。


(2)Ｒを微小矩形で考えます。
　Ｒの幅，高さが微小という事から、ｕの偏微分を考慮して式(2)をガリガリ計算すると、それがｄｉｖの定義になっている事がわかります。

　ｄｉｖ・ｕ　　　　　　　　　　　　　　式(3)


　しかし式(2)と式(3)は、Ｒの大きさの大小の違いがあるだけで、物理的には同じ事実を表しています。その事を念頭に、式(2)と式(3)をじっと眺めていると、・・・ふと・・・、

　∬(ｄｉｖ・ｕ)ｄｖ＝∫ｕ・ｄｓ　　　　式(4)

・・・に、思い至るはずなんですが・・・(^^；)。式(4)は非圧縮性流体（水でかまいません）の場合、内部で沸いた分だけ出て行くよ、という式です。


　ストークスの定理の方は、あまり図的に考えた事はありません。どうしてかと言うと、ガウスの定理があるとストークスの定理は、変形されたガウス定理とみなせるからです。うるさい事を言わなければ、

　　ガウス定理　⇔　ストークスの定理

です。


　長沼伸一郎「物理数学の直感的方法」は、自分も持っています。確か新版が出ていたはずです。