ディリクレ指標について( mod=5 )の例で

ディリクレ指標でmod=5について考えました。
1,2,3,4,5は互いに素なので、余りが1,2,3,4で関数値を6/5→余り1→1, 7/5→余り2→-1,8/5→余り3→1, 9/5→余り4→-1,と順番に関数値を1, -1, 1, -1と取りました。
この時、mとnを整数値としてディリクレ指標を計算して見ますと、乗算m not= nならば上手く行くのですがm=nの時は指標を満たさない例が出て、上手く行きません。
例えば49 mod=5では余り4で関数値は-1になりますが、49=7*7, 7 mod=5で7は-1を関数値に取ります。結果、7*7の関数値は(-1)*(-1)=1となり、ディリクレ指標を満足していません。

mod=3で奇数の場合でもm=nの時は、指標を満たさない例が出て上手く行きません。
modが偶数の場合は上手く行く気がしますが、modが奇数の場合の関数値の取り方が把握できていません。
ご回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/09/18 12:25

指標については

高木、初等整数論講義(共立出版)の第一章最後に説明がありますので
参照されては？
それによると
mod5のばあい
6→1、7→－1、8→－1、9→1ととります。
mod3のばあい
4→1、5→－1ととります。
ようするにmodｐでｐが寄素数の場合
1、2、･･･(ｐ-1)/2の各２乗がｐの平方剰余になるので
その平方剰余になる各数については1で、その他のついては－1と定義せよ
と解いています。
いいかえるとχ(ｘ)を指標とすれば
χ(ｘ)＝(ｘ/ｐ)ルジャンドルの記号　です。
その他のmodについては上著書参照を、