(a、bは定数) z、x、yという変数があったときz=ax+byという式があったら微分形は(δz/δ

(a、bは定数) z、x、yという変数があったときz=ax+byという式があったら微分形は(δz/δx)y=a、(δz/δy)x=b
でいいですか？

全微分形式で書くとdz= (δz/δx)y.dx+ (δz/δy)xdy
ですか？

全微分形式と微分形は違いますよね？

この3つについて教えていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/24 06:37

z=ax+by

∂z/∂x=a
∂z/∂y=b

全微分は

dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy

です

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/05/24 13:56

他のコメントでツッコミがあった「微分形」と言う表現は「積分形」と言うものがある場合にそれとの対比で用いられる場合があります。

例えば電磁気学の基礎方程式であるマクスウェル方程式には微分形と積分形があって、例えば電磁誘導の法則で言えば

rotE=-∂B/∂t

と言う式が微分形で、一方積分形は

∮E･ds=-∫(∂B/∂t)･dS

などとなります。こう言った場合にしか「微分形」と言う表現は使わないはずなので、質問文にある「微分形」と言うのは単に「偏微分したもの」とでも書くべき所ではないかと。

なお「微分」と書くと、多変数関数で言う全微分の一変数関数バージョンすなわち

dy=(dy/dx)dx

と言った式の左辺のdyを指す場合もあるので一応気を付けた方がいいと思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/24 09:31

(1)

いいかわるいかは、(δz/δx)y という記号の意味しだいかなあ。
まず、偏微分の記号に普通 δ は使わないです。∂ を使います。
これは、PC のフォントがよくわからなかったのだと解釈するとして、
では (∂z/∂x)y ならどうかというと... 微妙ですね。
そういう書き方がなくはないんですよ。標準的ではないけれど。

普通、関数 f(x,y) があって、y を固定して x で偏微分したものを
∂f(x,y)/∂x と書きます。∂f/∂x と書いてしまうことも多いし、
たいていの場合、それでちゃんと意図が伝わる。でもね、
数学だと、関数 f(x,y) を提示して話を始めることが多いから
∂f/∂x でも伝わるけれど、物理とか、自然科学や経済学で
出てくる数式だと、変数 x と f があって ∂f/∂x と書いても
何の変数を固定して偏微分したのかがわからない。

例えば、気体状態方程式 PV=nRT で ∂V/∂T を考えるとき
P を固定したのと PV を固定したのとでは、∂/∂T の意味は違います。
そこを明示するために、「Pを固定したんだよ」ということを
(∂V/∂T)P と表記する場合があります。参考↓
https://eman-physics.net/thermo/state_eq.html

その一方で、∂f/∂x のことを fx と書いてしまう記法もあって、
むしろこちらのほうがメジャーなので、説明なく (∂V/∂T)P 式の
書き方をしても、意図が伝わらないことが多いでしょう。
ちゃんと記法を説明してから使うことが大切です。

(2)
「全微分形式」という言葉は無いかなあ。
z = ax + by のとき、z の「全微分」は (∂z/∂x)dx+ (∂z/∂y)dy であり、
そのことを dz = (∂z/∂x)dx+ (∂z/∂y)dy と書きます。

(3)
「微分形」という言葉も、正式には無いでしょう。
z = ax + by の両辺の微分をとると dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy になる
ことを、口語的というか、非標準的な言い方で
「z = ax + by の微分形は dz = (∂z/∂x)dx+ (∂z/∂y)dy」と言ったり
することが少なくないですが、あくまで口語です。

(3’)
似た言葉として「微分形式」ってのがありますが、
dz も (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy も微分形式「の一種」です。
「全微分」＝「微分形式」 ってわけではないです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/24 08:29

>(δz/δx)y=a、(δz/δy)x=b

微分/偏微分にδは使わないし、yやxを掛ける意味が不明です。
#δは「物理の仮想変位」や変分で使うけど
#使い方がまるで違います。
独立変数、x、yそれぞれの偏微分係数は
∂z/∂x、∂z/∂y
と書きます。
全微分dzはxとyの微小変化dx、dyに対するzの微小変化量で
dz=(∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy