二次方程式で、解が有理数になるのはb²-4acがどのような数のときか？

中学の数学の問題です。（画像めっちゃ粗くてすみません）

ワークの模範解答は、「ある数を2乗した数」なのですが、
自分は「有理数の2乗」でも良いんじゃないかと思って丸をつけました。

でも、よく考えると
　√2x²+√2x=0
などのときには、b²-4acは2と、無理数の2乗になりますが、
解は0,-1と有理数になります。
もしこのような場合も考慮するなら、色々場合分けが必要になると思います。

結局、どのように解答するのが数学的に正しいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• a,b,cに条件の記載はないです。
  実数という言葉は習いません。
  ワークの問題には整数係数の二次方程式しか出てきませんが、習うときに整数係数に限定する記載もないです。
  √2や√3などの他に、πも無理数として習います。

    補足日時：2024/09/25 21:49

No.10 回答者： rinkun 回答日時： 2024/09/29 12:23

間違っていますね。

a,b,cが整数とか有理数という限定を付けないと有理数の二乗では質問に書かれている反例がありますし、ある数の二乗だけだとa=1,b=0,c=-2でもb²-4ac=8は2√2の二乗ですが、x=±√2で有理数解ではありません。
正しい回答は『(b²-4ac)/a²が有理数の二乗である』ですね。
ただ問題設定が良くないですね。あらかじめ「a,b,cが有理数である」あるいは「a=1」という限定条件を付けておくのが妥当でしょう。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/09/29 16:44

No.9 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/09/26 13:40

続けて回答失礼します。

ちょいと詳しくお話します。
解の公式とはご存知の通りx=-b±√b^2-4ac/2aです。

んで、解が有理数となるためには、平方根の部分の√b^2 - 4acが整数である必要があります。理由は、平方根の部分が整数であれば式全体が分数の形分母が2a、分子が整数)となって結果的に有理数となるからです。

したがって、解が有理数となる条件は、b^2 - 4acが完全な平方数である場合です。つまり、ある整数nが存在して、
b^2-4ac=n^2
という条件が成立する時に有理数となります。

高校になるとb^2 - 4acは判別式という名前で出てきます。式の実数解の個数を判別式する時に使ったりします。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/09/29 16:44

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/26 13:26

訂正

>例 a=c=√(2)、b=12、b^2-4ac=4 →解=(-12±2)/(2√(2))=-5/√(2)、-7/√(2)
例 a=c=√(2)、b^2=12、b^2-4ac=4 →解=(-12±2)/(2√(2))=-5/√(2)、-7/√(2)

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/26 07:59

aが実数の場合、b^2-4ac だけ見ても解が有理数かどうかは決まらないことは明らか。

条件が足らず解けない問題です。
例 a=c=√(2)、b=12、b^2-4ac=4 →解=(-12±2)/(2√(2))=-5/√(2)、-7/√(2)

何か大きな前提を伝え忘れているのでしょう。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/09/29 16:43

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/25 21:08

中学校の範囲では x の係数が無理数の式は 出てこない筈です。

従って b²-4ac が 実数の二乗になれば良いでしょう。
尚、「a=1,b=2,c=0.5のときはb²-4acは2」で 、
2 は実数の二乗の数ではありませんね。

この回答へのお礼

確かにそれだと辻褄は合うんですが......。
個人的に、問題に出ない→考えなくて良い、はどうもおかしい気がしまして。
元々解の公式が、整数を係数に限定して習うとかなら別ですが。
あと、2は実数（±√2）の2乗です。

お礼日時：2024/09/25 21:27

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/25 20:42

厳密に書けるかなぁ.... 例えば

x^2 + (√5)x + 1 = 0
とかをもってきたときにどう答えればいいんだろうか.

とはいえ, 「ある数を 2乗した数」はいくらなんでもひどすぎるのではないだろうか. 3 = (√3)^2 なんだから, 任意の (中学生レベルなら非負の) 数が「ある数を 2乗した数」といえてしまうぞ.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/09/25 22:01

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/25 20:26

「a 二乗に 有理数の 二乗を掛けたものになるとき」とか？

a,b,c が有理数とか、特に整数だとかの仮定が
どこかにコッソリ書いてあるのなら、
「有理数の 二乗になるとき」でも構わないけど。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/09/25 22:01

No.3 回答者： rera1016 回答日時： 2024/09/25 18:57

高校のレベルなら実数と言う言葉が適切ですが中学校では勉強しないので、「ある数」と書くしかありません。

有理数も無理数も含まれるからです。

この回答へのお礼

実数の2乗は答えとして間違っている気がします。
例えば、a=1,b=2,c=0.5のときはb²-4acは2、すなわち実数の2乗になりますが、解は無理数です。

お礼日時：2024/09/25 19:32

No.2 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/09/25 18:13

ある数の2乗という表現で正しいです。

もちろん、そのある数には有理数も含みます。というか平方根の無理数の2乗は必ず有理数です。

ちなみに、下の方がπの場合を用いていますが、πは超越数といって方程式の解に出てくることはない数字です。

なのでb^2-4acの値がπの場合というのか考える必要がありません。

この回答へのお礼

つまりある数とは、有理数と平方根の無理数全体を表しているということでしょうか？
でも、例えばある数が√2の時、
b²-4ac=ある数の二乗=2
√(b²-4ac)=ある数=√2　となるので、
解が無理数の可能性が高いと思います。例えば、a=1,b=2,c=0.5のときは無理数になります。まあ、自分が出した例は有理数になってるんですが。

あと、超越数って調べてみたんですが、解にならないのは係数が有理数の場合だけみたいです。この問題はa,b,cに有理数という指定がないので、解にπが含まれる可能性もあるんじゃないかと思います。

お礼日時：2024/09/25 18:54

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/09/25 17:58

よく気が付きましたね。

まあ、
√2x²+√2x＝x²+x
なわけで、、、

中学生なのでa,b,cは２以上の共通の約数を持たない整数であるというのが前提なのかもしれません。

赤い正答にある「ある数」というのも、例えば　π（パイ）としたら、答えは無理数になっちゃいますので、有利数としたほうがよいとは思います。まあ、これは中学数学としてはこれは知識としての問題であって、証明の問題ではないように思います。

この回答へのお礼

確かに、前提がa,b,cは２以上の共通の約数を持たない整数ならこの答えにもなんとなく納得がいく気がします。にしても、整数の二乗とくらい書いていて欲しいですが。

お礼日時：2024/09/25 18:40