A,Bをそれぞれn次正方行列とする
命題1:
「A・B=B・AのときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」
これは反証がすぐに得られるので偽である
命題2:
「A・B=B・AでありAの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が1次元のときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」
kony0氏の証明より
vをAの固有ベクトルとしたときaを適当な複素数としてA・v=a・v
一方A・(B・v)=(A・B)・v=B・(A・v)=B・(a・v)=a・(B・v)
従ってB・vはAの固有値aの1次元固有ベクトル空間に含まれるから
適当な複素数bが存在してB・v=b・v

命題1に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください

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A 回答 (2件)

元の表記は、


「二つのエルミート行列が同一のユニタリー変換によって対角化される
ことの必要十分条件は、それらが可換であることである。」
で、質問に沿うように私が書き換えました。

> 「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの
> 固有ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
> 意味は
> 「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの
> 固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるものが存在する」
> ですか?

このあたり、誤解を招く言い方ですみません。
固有ベクトルは対角化したときのユニタリー行列の列ベクトルに
なっているのですから、同一のユニタリー変換で対角化されると
いうことは、同じ固有ベクトルの(こういう言い方がいいのかどうか)
セットが存在します。こういう意味なのですが、わかりますでしょうか。

> 「Aの固有値の数とAの固有ベクトル空間の次元」と
> 「Bの固有値の数とBの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりは
> ないのですか?

A、Bとも、固有値の数はn、固有ベクトル空間の次元もnです。
固有値の数は、縮退(重根がある場合)していても数えています。

> もっと一般的に
> 「A・B=B・AならばλをAの任意の固有値としたときλを
> 固有値とするAの固有ベクトルであってBの固有ベクトルである
> ベクトルが存在する」
> は正しくないですか?

んー、そこは私にはわかりません。

昔、量子力学を勉強したのを復習しつつ書いていますので、
間違いがあるかもしれません。
一応「自身なし」としておきます。

この回答への補足

「正方行列A,Bが対角化可能でA・B=B・AならばP^(-1)・A・P,P^(-1)・B・Pがともに対角行列になるような正方行列Pが存在する」
というのがあるようですね

どうもありがとうございました

補足日時:2002/03/06 11:00
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この回答へのお礼

physicist_nakaさんの定理をいろいろ調べていくとさらに一般的な

「n次正規行列A,Bが同じユニタリ行列Uで対角化できるための必要十分条件は
A・B=B・Aが成り立つことである」
というのがありました

どもありがとうございました

お礼日時:2002/03/06 13:49

物理の量子力学で出てくるのですが、


「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有
ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
というのがあります。
つまり、A、Bとも、同じユニタリー変換で対角化出来ます。
証明は量子力学の本に書いていますが、
ちょっと面倒そうですのでパスさせてください。

以下参考です。
A、Bは物理量を意味し(例えばエネルギー、角運動量等)、
固有値は、その物理量を測定したときの値になります。
ですから、固有値は実数でなければならず、そのためA、Bはエルミート
行列でなければなりません。
固有ベクトルは、測定で、ある固有値が観測されたときに、その固有値に
対応する状態を意味します。
A、Bが可換であることは、同時に確定値を有する状態が存在することを
意味します。

この回答への補足

「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
意味は
「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるものが存在する」
ですか?
「Aの固有値の数とAの固有ベクトル空間の次元」と
「Bの固有値の数とBの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりはないのですか?
もし詳しい表記があるのなら教えてください
よろしくお願いします

補足日時:2002/03/05 23:22
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    • 0
この回答へのお礼

もっと一般的に
「A・B=B・AならばλをAの任意の固有値としたときλを固有値とするAの固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるベクトルが存在する」
は正しくないですか?

お礼日時:2002/03/06 00:45

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Q可換で対角化可能な2つの行列は同時対角化可能である

命題:AB=BAである対角化可能な2つの行列A,Bは同時対角化可能である.

この命題の証明を教えてください.
よろしくお願いします.

Aベストアンサー

(P^-1)Q = T1 (+) … (+) Tk となる Q は、
Q = P( T1 (+) … (+) Tk ) で構成すれば充分です。
先に (P^-1)Q と書いた時点では、まだ、
そのような Q があるということしか判っていないし、
そうとしか使っていないのだから。方程式を解けばいい。
先に Q を構成して T1 (+) … (+) Tk と分解する話は、
A No.2 には出てきません。

S1, …, Sk が対角化可能なことについては、
X, Y と同じ区切りのブロック対角行列全体が成す環が
S1, …, Sk それぞれが属する行列環の直積であることから、
Y を対角化する変換行列の存在 ⇔
  S1, …, Sk それぞれを対角化する変換行列の存在
が自明となります。
そもそも、この背景があるから、ブロック対角行列を
Y = S1 (+) … (+) Sk と表記するのですよね。
その上で、各 Si に対応する R'i の積を Y ヘの変換行列
とすればよい訳で。 難しく考えすぎていませんか?

Q行列の証明がわからない!!

だいぶ考えたんですけど、わからないんで解説付きで教えて下さい。
n次正方行列A,BがAB=BAを満たす時,次の事を証明せよ。
1)Aの固有ベクトルはBの固有ベクトルである。
2)ABとBAの固有値は等しい。
1)はまったくわからないんです。2)はABとBAは同じなんじゃないのかなって思うんですけど、違うんですかね?

Aベストアンサー

1)は私も分かりません

2)「AとBがA・B=B・Aとは限らないn次正方行列であるときA・Bの固有値とB・Aの固有値は等しい」ことを証明せよ

証明:
・Aが正則であるとき
λを複素数の変数とする
(B・A-λ・E)=A^(-1)・(A・B-λ・E)・Aであるから
|B・A-λ・E|=|A|^(-1)・|A・B-λ・E|・|A|=|A・B-λ・E|
従ってA・Bの固有多項式とB・Aの固有多項式が一致するので明白
・Bが正則であるとき
同様に明白
・Aが正則でなくBが正則でないとき
|A・B-0・E|=|A・B|=0であるからA・Bは固有値0を持つ
|B・A-0・E|=|B・A|=0であるからB・Aは固有値0を持つ
すなわち0はA・Bの固有値であり0はB・Aの固有値である
λ(≠0)をA・Bの固有値としv(≠0)をλに対応する固有ベクトルとする
このとき(A・B)・v=λ・vである
B・v=0とするとv=(A・B)・v/λ=A・(B・v)/λ=0だからB・v≠0
一方(B・A)・(B・v)=B・((A・B)・v)=B・(λ・v)=λ・(B・v)
B・v≠0だからλはB・Aの固有値である
すなわちλがA・Bの固有値ならばλはB・Aの固有値である
同様にしてλがB・Aの固有値ならばλはA・Bの固有値である

1)は私も分かりません

2)「AとBがA・B=B・Aとは限らないn次正方行列であるときA・Bの固有値とB・Aの固有値は等しい」ことを証明せよ

証明:
・Aが正則であるとき
λを複素数の変数とする
(B・A-λ・E)=A^(-1)・(A・B-λ・E)・Aであるから
|B・A-λ・E|=|A|^(-1)・|A・B-λ・E|・|A|=|A・B-λ・E|
従ってA・Bの固有多項式とB・Aの固有多項式が一致するので明白
・Bが正則であるとき
同様に明白
・Aが正則でなくBが正則でないとき
|A...続きを読む

Q線形代数 同時対角化について

A1,A2:対角化可能なn次の対称行列
A1A2=A2A1 (A1,A2:可換)

の条件下でT1,T2が同時対角化可能であるということの証明を参考書で読みました。

「対称行列」という条件を抜きにしてもこの結果が成り立つ、という補注があったのでその証明をしてみようと思ってやってみましたが、うまくいきません。

A1の固有値の一つをα1
α1に対するA1の固有空間をW1
W1の直交補空間をW1'
とするときに
「W1'がA2-不変である」
ということは成立するのでしょうか?

成立すれば証明もクリアできると思うのですが。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

3つの同時対角化は考えたこともありませんでしたが、たぶん同様にできると思います。A,B,Cを全部互いに可換なn次正方行列として、すべて対角化できる(半単純)とします。2つの場合の結果から、C^nはW(α)∩W(β)の直和に分解されました。またこの直和分解に従って独立なベクトルをとればA,Bは同時対角化されました。いまv∈W(α)∩W(β)として、vをCの固有空間分解に従ってv=w_1+…+w_kと一意的に分解します。各w_jはCの固有値γ_jに属する固有ベクトルだとします。このとき
Av=Aw_1+…+Aw_k=αw_1+…+αw_k
Bv=Bw_1+…+Bw_k=βw_1+…+βw_k
です。さらにA,CあるいはB,Cは互いに可換ですから、
C(Aw_j)=A(Cw_j)=Aγ_jw_j=γ_j(Aw_j)
ですので、各Aw_jは全部固有値γ_jに属する固有ベクトルになっています。Bw_jについても同じです。したがって直和分解の一意性から、上の式で各項ずつが全部対応することがわかります。結局、
Aw_j=αw_j、Bw_j=βw_j、j=1,…,k
が成り立ちます。上記のことはW(α)∩W(β)がさらにCの固有空間の直和に分解されたことを示しています。結局W(α)∩W(β)∩W(γ)でα、β、γをA,B,Cのすべての固有値を動かして足し合わせれば、C^n全体に一致し、したがって同時対角化が可能になります。

当然ですが、ほとんどのW(α)∩W(β)∩W(γ)はつぶれている部分空間(0次元ベクトル空間)になっていると思いますけれど。

あと余談ですが、たとえばCが二つの固有値γ1とγ2を持つ対角化可能行列だったとします。このとき同時対角化ができないというのはどういうことかというと、W(α)∩W(β)∩W(γ1)+W(α)∩W(β)∩W(γ2)⊂W(α)∩W(β)は当然成り立つのですが、左辺の集合が真に右辺の集合に含まれてしまうようなA、Bの固有値α、βが存在するということになります。左辺が右辺に必ず一致するような場合は異なる固有空間どうしにねじれがないというイメージでしょうか。可換性が等号成立の必要十分条件になっているのですね。

ついでにさらに余談になりますが、半単純(対角化可能)有限次元リー環の同時対角化なんて問題も可換性が必要十分条件になっていますが、本質的にまったくこれと同じことをやるだけです。

3つの同時対角化は考えたこともありませんでしたが、たぶん同様にできると思います。A,B,Cを全部互いに可換なn次正方行列として、すべて対角化できる(半単純)とします。2つの場合の結果から、C^nはW(α)∩W(β)の直和に分解されました。またこの直和分解に従って独立なベクトルをとればA,Bは同時対角化されました。いまv∈W(α)∩W(β)として、vをCの固有空間分解に従ってv=w_1+…+w_kと一意的に分解します。各w_jはCの固有値γ_jに属する固有ベクトルだとします。このとき
Av=Aw_1+…+Aw_k=αw_1+…+αw_k
Bv=Bw_1+…+Bw_k=...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q行列・対角化可能の条件は?

行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

Aベストアンサー

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。

Q他大学から東大大学院入試の難易度

自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。将来哲学の研究をしていきたいと思っています。
自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。

自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです(大学受験の倍率は約3倍)。数字だけをみると大学受験よりも門は閉ざされているような気がします。
色々と調べてみて(もちろんok web内も)、院の研究室に通って問題傾向を把握することができたら内部生との差も大きく縮まる(もちろんこれは東大院に限らない)ということはわかりました。また東大院は他大学生に対して門戸を開いている大学院である、ということも。
しかしこれだけが難易度が低い理由ではないと(ただの推測ですが)思っています。

私と同じ立場での東大院入学者、またはこれらの数字が示す本当の意味や実際の事情について知っていらっしゃる方がいましたらぜひ教えてください。

参考;http://www.u-tokyo.ac.jp/stu01/e02_01_j.html

自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。将来哲学の研究をしていきたいと思っています。
自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。

自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです(大学受験の倍率は約3倍...続きを読む

Aベストアンサー

東大の院はここ数年でかなりレベルが下がったと聞きます。私もw稲田大ですが、同期の友人が東大の院試を受けて理工研究科に進学しました。彼の話では、大学レベルではやはりかなり差があるものの、院になったら早大との差はほとんどない、むしろ東大の方がレベル低いように感じる、とのこと。

学部や研究科によって違いはあるのでしょうが、以前と比べて東大の院のレベルが落ちてきていることはどうやら間違いなさそうです。

単純な受験倍率だけで見れば上がっているのかもしれませんが、レベルが落ちてきたことで、受験者が増えてきたというだけかもしれませんよ。

Q正定値行列は正則行列

らしいのですが、証明法が思いつきません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

NO.1です。
>行列式がその固有値の積となる
がわかりませんでした。
とのことですが、
行列Aは適当な行列Pを取るとP^{-1}APがジョルダン標準形に変形することが出来ます。Det(P^{-1}AP)=DetAであり、Det{P^{-1}AP)は対角成分をかけたものであり、対角成分はAの固有値と一致します。

Q固有ベクトルと基底

まず行列Aの固有値を求めてから、次に「Aの各固有値に属する固有空間の基底を求めよ」という問題で悩んでいます。
ここでの「各固有値に属する固有空間の基底」とは、固有ベクトルのことですか?よって各固有値における固有ベクトルを示せば良いのですか。
それとも、その固有ベクトルを列成分にもつ行列Pのことですか。
すみませんが、教えて下さい。

Aベストアンサー

> 固有空間の基底は、(1 1 1)で良いのでしょうか。
良いでしょう。
というより基底としても問題ないということです。
基底となる条件は列ベクトルが1次独立であること。列ベクトルの線形結合で固有ベクトルはいくつも作れますが、一次独立な列ベクトルであれば、基底に選べますので、(0 0 0)を除く固有ベクトルはどれでも、基底に選べます。

Q積分の問題

∫1/logx dx この積分ってどうやってやりますか?
詳しい方法をお願いします。

Aベストアンサー

定積分ではないので少し違うかもしれませんが、対数積分と呼ばれるものです。

下記URLを参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86

Qエルミート行列の固有値

エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

Aベストアンサー

どこの教科書にも載ってるような話だけど、
本で調べなかったの?

行列 A の転置共役を A* と書くことにする。
行列 H がエルミートであるとは、H* = H のこと。

H の固有値 λ に属する固有ベクトルを x と置く。
(x*)Hx = (x*)(Hx) = (x*)λx = λ(x*)x.
また、
(x*)Hx = (x*)(H*)x = ((Hx)*)x = ((λx)*)x = (λ*)(x*)x.
固有ベクトル x は零ベクトルではないから、
λ(x*)x = (λ*)(x*)x の両辺を (x*)x で割って、
λ = λ*. これは、λ の共役が λ と等しいこと、
つまり、λ が実数であることを示している。


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