A,Bをそれぞれn次正方行列とする
命題1:
「A・B=B・AのときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」
これは反証がすぐに得られるので偽である
命題2:
「A・B=B・AでありAの任意の固有値に対する固有ベクトル空間が1次元のときAの固有ベクトルはBの固有ベクトルである」
kony0氏の証明より
vをAの固有ベクトルとしたときaを適当な複素数としてA・v=a・v
一方A・(B・v)=(A・B)・v=B・(A・v)=B・(a・v)=a・(B・v)
従ってB・vはAの固有値aの1次元固有ベクトル空間に含まれるから
適当な複素数bが存在してB・v=b・v

命題1に代わる真の命題があれば証明付きで教えてください

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A 回答 (2件)

元の表記は、


「二つのエルミート行列が同一のユニタリー変換によって対角化される
ことの必要十分条件は、それらが可換であることである。」
で、質問に沿うように私が書き換えました。

> 「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの
> 固有ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
> 意味は
> 「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの
> 固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるものが存在する」
> ですか?

このあたり、誤解を招く言い方ですみません。
固有ベクトルは対角化したときのユニタリー行列の列ベクトルに
なっているのですから、同一のユニタリー変換で対角化されると
いうことは、同じ固有ベクトルの(こういう言い方がいいのかどうか)
セットが存在します。こういう意味なのですが、わかりますでしょうか。

> 「Aの固有値の数とAの固有ベクトル空間の次元」と
> 「Bの固有値の数とBの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりは
> ないのですか?

A、Bとも、固有値の数はn、固有ベクトル空間の次元もnです。
固有値の数は、縮退(重根がある場合)していても数えています。

> もっと一般的に
> 「A・B=B・AならばλをAの任意の固有値としたときλを
> 固有値とするAの固有ベクトルであってBの固有ベクトルである
> ベクトルが存在する」
> は正しくないですか?

んー、そこは私にはわかりません。

昔、量子力学を勉強したのを復習しつつ書いていますので、
間違いがあるかもしれません。
一応「自身なし」としておきます。

この回答への補足

「正方行列A,Bが対角化可能でA・B=B・AならばP^(-1)・A・P,P^(-1)・B・Pがともに対角行列になるような正方行列Pが存在する」
というのがあるようですね

どうもありがとうございました

補足日時:2002/03/06 11:00
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この回答へのお礼

physicist_nakaさんの定理をいろいろ調べていくとさらに一般的な

「n次正規行列A,Bが同じユニタリ行列Uで対角化できるための必要十分条件は
A・B=B・Aが成り立つことである」
というのがありました

どもありがとうございました

お礼日時:2002/03/06 13:49

物理の量子力学で出てくるのですが、


「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有
ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
というのがあります。
つまり、A、Bとも、同じユニタリー変換で対角化出来ます。
証明は量子力学の本に書いていますが、
ちょっと面倒そうですのでパスさせてください。

以下参考です。
A、Bは物理量を意味し(例えばエネルギー、角運動量等)、
固有値は、その物理量を測定したときの値になります。
ですから、固有値は実数でなければならず、そのためA、Bはエルミート
行列でなければなりません。
固有ベクトルは、測定で、ある固有値が観測されたときに、その固有値に
対応する状態を意味します。
A、Bが可換であることは、同時に確定値を有する状態が存在することを
意味します。

この回答への補足

「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有ベクトルとBの固有ベクトルを共通にとることができる。」
意味は
「A、Bがエルミート行列で、A・B=B・A(可換)ならば、Aの固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるものが存在する」
ですか?
「Aの固有値の数とAの固有ベクトル空間の次元」と
「Bの固有値の数とBの固有ベクトル空間の次元」に対する関わりはないのですか?
もし詳しい表記があるのなら教えてください
よろしくお願いします

補足日時:2002/03/05 23:22
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この回答へのお礼

もっと一般的に
「A・B=B・AならばλをAの任意の固有値としたときλを固有値とするAの固有ベクトルであってBの固有ベクトルであるベクトルが存在する」
は正しくないですか?

お礼日時:2002/03/06 00:45

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詳しくわかりやすい回答お願いします!!!!!

Aベストアンサー

M&Aをビジネスにしています。
残念ながら#1さんの回答は誤りがあります。
一般的なケースについて以下に記載します。例外もあるのですがあまり細々書いて誤解があるといけませんので。

合併と株式買収はM&Aの一形態ですが、根本的に形態が違います。
買収(吸収)する側をA社、される側をB社として以下説明します。

株式買収
 B社の株主が所有している株式を、A社が現金で買い取ることによりB社の株主総会を支配する方法。
 支配する株式の割合によって影響度が異なり、過半数を取得した時点でほぼ経営権を取得したとみなされる。
 B社は、株主の変更(+経営陣の変更)に留まり、A社の子会社としてそのまま企業体が存続する。

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 B社は組織としては消滅する。
 B社の株主は、その保有するB社株を一定の交換比率でA社の株式に交換してもらう(つまりA社の株主に加わる)。
 A社は自社の株式を新規に発行しB社株主に割り当てればよいため、原則、買収のための現金は不要。
 但し、A社の株主の中にB社の株主が加わるため、自社の株主支配地図が変わる可能性がある。

これら以外にも色々なM&A手法(営業譲渡、株式交換など)があります。いずれも一長一短がありますので
ケースによって使い分けが必要です。

M&Aをビジネスにしています。
残念ながら#1さんの回答は誤りがあります。
一般的なケースについて以下に記載します。例外もあるのですがあまり細々書いて誤解があるといけませんので。

合併と株式買収はM&Aの一形態ですが、根本的に形態が違います。
買収(吸収)する側をA社、される側をB社として以下説明します。

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解説
P≧0であるから P≧|ベクトルa|はP^2-|ベクトルa|^2≧0と変形できる。・・・(1)

与式のP=|ベクトルa+tベクトルb|を2乗し変形すると、
P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbtになるので、
(1)よりP^2-|ベクトルa|^2=P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt

よってP^2-|ベクトルa|^2がすべての実数tに対して成り立つ条件は

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または
|ベクトルb|^2>0かつ|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt
の判別式D=ベクトルa・ベクトルb≦0・・・(3)

(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0
したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0である


が答えだそうなんですが、最後の
>したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0

が理解できません。
>(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb=0
なので、すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件は
ベクトルb=0またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0ってことですよね?
そこからどうして
「したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0」になるのでしょうか?すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件から、
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という問題で分からない箇所がございました。

解説
P≧0であるから P≧|ベクトルa|はP^2-|ベクトルa|^2≧0と変形できる。・・・(1)

与式のP=|ベクトルa+tベクトルb|を2乗し変形すると、
P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbtになるので、
(1)よりP^2-|ベクトルa|^2=P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^...続きを読む

Aベストアンサー

>>(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb=0
>なので、すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件はベクトルb=0またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0ってことですよね?
>そこからどうして「したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0」になるのでしょうか?

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 最後のところは 「b=0 または (b≠0 かつ a・b=0)」⇔「a・b=0」 を言っているのです。


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