停留点と極値を求める問題の答えがあっているか確かめたい

f(x,y)=2x^3-2xy-y^2-3x+yの停留点と極値を求める問題を解きました。
すると(x,y) = (-1,3/2), (-2/3, -5/6)が導け、
極値はどちらも極大となりました。

これが答えとしてあっているかを確かめたいのですが、あっているでしょうか？
また、どのように確認すれば良いのかについても教えていただけると幸いです。

ご教授よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答ありがとうございます。
  
  見直したところ、(x,y) = (-1, 3/2), (2/3, 7/6)が導けました。
  またヘッシアン
  H(-1, 3/2) = 20 > 0
  H(2/3, 7/6) = -14 < 0
  と、fxx(-1, 3/2) = 12 * (-1) < 0より、
  
  (-1, 3/2)で極大値をとることがわかりました。合っていますでしょうか？
  お手数をおかけして申し訳ありませんが、ご教授よろしくお願いします。

    補足日時：2020/04/09 13:15

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/09 23:00

＞見直したところ、(x,y) = (-1, 3/2), (2/3, 7/6)が導けました。

＞(-1, 3/2)で極大値をとることがわかりました。合っていますでしょうか？

f(-1, 3/2) が極大値であることは、合っています。
もうひとつの停留点は、(2/3, 7/6) ではなく (2/3, -1/6) ですね。
あと、(x,y) = (2/3, -1/6) が鞍点であることも言えば、

＞停留点と極値を求める問題

の完答となります。

＞またヘッシアン
＞H(-1, 3/2) = 20 > 0
＞H(2/3, 7/6) = -14 < 0
＞と、fxx(-1, 3/2) = 12 * (-1) < 0より、

ごく細かいこと言えば、普通「へッシアン」と言ったらヘッセ行列のことです。
「ヤコビアン」がヤコビ行列式のことであるのとは少し違います。
あなたがヘッシアンと呼んでいるものは、「へッシアンの行列式」だろうと思います。

ヘッセ行列式を用いた極値の判定については、正直よく知りません。
そういう受験数学っぽい公式があまり好きではないので。
ヘッセ行列そのものを使うと...

停留点でのヘッセ行列のテイラー展開は、
(x,y) = (-1, 3/2) のとき f(x+h,y+k) = 13/4 -12h^2 - 4hk -2k^2 + o(k,h)^2.
二次項 -12h^2 - 4hk -2k^2 の対角化は、ヘッセ行列の固有値が -7±√29 であることから
(-7+√29)(x,yの一次式)^2 + (-7-√29)(x,yの一次式) という形をとり、
-7±√29 がどちらも負なので f(-1, 3/2) = 13/4 が極大値であることが判る。

(x,y) = (2/3, -1/6) のときは、同様に
f(x+h,y+k) = f(2/3, -1/6) + 8h^2 - 4hk - 4y^2 + o(h,k)^2 の 二次項の対角化が、
ヘッセ行列の固有値が 3±√29 であることから
8h^2 - 4hk - 4y^2 = (3+√29)(h,kの一次式)^2 + (3-√29)(h,kの一次式)^2
という形をとり、3+√29 > 0, 3-√29 < 0 と異符合なので
(x,y) = (2/3, -1/6) は f(x,y) の鞍点であると判る。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/09 07:54

＞あっているでしょうか？

-2/3 が違っている。

＞どのように確認すれば良いのかについて

方程式を解いたら、解を原式へ代入して検算する。

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2020/04/09 02:22

<-3 - 16 y + 12 y^2, -1 + 2 x + 2 y>=<(-3 + 2 y) (1 + 6 y), -1 + 2 x + 2 y>

　　　　　　　　　　　　　　　　KARA 再考を；

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/04/09 00:18

∂f/∂x=6x^2-2y-3=0

∂f/∂y=-2x-2y+1=0
→6x^2+2x-4=0
3x^2+x-2=0
x=(-1±5)/6=-1, 2/3
y=x+1/2

この時点で合いませんね。