１６個の反交換関係を満たすγ行列について

こんにちは、下記につきまして教えてください。

｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij
の反交換関係を満たすγ行列はn個のパウリ行列の直積として次にように与えらるらしいのですが、
（「群と物理」　佐藤光先生著　　P182より）
γ1＝δ2（1）δ3（2）・・・・・δ3（n）
γ2＝-δ1（1）δ3（2）・・・・・δ3（n）
γ3＝δ0（1）δ2（2）δ3（3）・・・・δ3（n）
γ4＝-δ0（1）δ1（2）δ3（2）・・・・δ3（n）
・ ・・・
γ2n-1＝δ0（1）・・・・δ0（n-1）δ2（n）
γ2n＝-δ0（1）・・・・δ0（n-1）δ1（n）


これは、取りあえず置いておきまして、
｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij
を満たし、かつ
γ0＝ββ
γ1＝α1α1
γ2＝α2α2
γ3＝α3α3
γ4＝α1α2
γ5＝α2α1
γ6＝α2α3
γ7＝α3α2
γ8＝α1α3
γ9＝α3α1
γ10＝α1β
γ11＝α2β
γ12＝α2β
γ13＝βα1
γ14＝βα2
γ15＝βα3
の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？
（この行列は少なくとも、２５６×２５６行列になるはずです。）

No.2 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/08/06 08:42

書くのを忘れていましたが、下の回答の様に構成したΓは２５６×２５６行列ではなく、16行16列行列になります。

物理学者はテンソル積のことをしばしば直積と呼びますが、数学ではテンソル積と直積は別のものです。
参考URLの本間泰史：「スピン幾何入門」等が参考になります

参考URL：http://surgery.matrix.jp/topologynotes.html

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

＞書くのを忘れていましたが、下の回答の様に構成したΓは２５６×２５６行列ではなく、
＞16行16列行列になります。

γiγj+γjγi=2δij　 (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列は、間違いなく２５６×２５６行列以上になります。下記の本には、

（「群と物理」　佐藤光先生著　　P182より）
クリフォード代数の次元は、
N 　　 r N
ΣC N =2 (6.82)
r=0


であり、従ってNが偶数、N=2nのとき、γ行列は2^n×2^n行列になり、、、

と記載されております。
従いまして、γiγj+γjγi=2δij　 (i,j=0,1,2,3)を満たす組み合わせは、１６×１６行列では８組、４×４行列では４組しかないということになります。


また私は、上記を知らずに、γiγj+γjγi=2δij　 (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列を、１６×１６行列だろうと予想して、mathematicaを使用して探したのですが、２年間計算して見つけられませんでした。間違いなく、２５６×２５６行列以上になります。
参考までに、γiγj+γjγi=2δij　 (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の２５６×２５６行列のmathematica　プログラムを記載します。

但し、γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3・・・・等の条件は満たしてないです。

demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];
pauli8times[g1_,g2_,g3_,g4_,g5_,g6_,g7_,g8_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,demoteRank4to2[Oute
r[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]],demoteRank4to2[Outer[Times,g3,g4]]]],demoteRank4t
o2[Outer[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g5,g6]],demoteRank4to2[Outer[Times,g7,g8]]]]]];
g[1]={{0,1},{1,0}};
g[2]={{0,-I},{I,0}};
g[3]={{1,0},{0,-1}};
g[0]={{1,0},{0,1}};

e256=IdentityMatrix[256];

gu[0]=pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2]];
gu[1]=-I*pauli8times[g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[2]=-I*pauli8times[g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[3]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[4]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[5]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3]];
gu[6]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3]];
gu[7]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3]];
gu[8]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1]];
gu[9]=I*pauli8times[g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[10]=I*pauli8times[g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[11]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[12]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3]];
gu[13]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3]];
gu[14]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3]];
gu[15]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3]];


For[x=0,x<16,x++,
For[y=0,y<16,y++,
If[x==y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==-2*e256]];
If[x=!=y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==0*e256]];
]];



｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij
を満たし、かつ
γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3等の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？



追伸
「光と電子のコンプトン散乱と同程度の計算について」では、基礎的な事項からご親切にご教示頂きましたにも関わらず、私の力不足により途中で挫折してしまい、申し訳ございませんでした。何卒、今後ともよろしくご指導頂きましたら幸いです。

補足日時：2006/08/06 09:36

この回答へのお礼

｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij
を満たし、かつ
γ0＝ββ
γ1＝α1α1
γ2＝α2α2
γ3＝α3α3
γ4＝α1α2
γ5＝α2α1
γ6＝α2α3
γ7＝α3α2
γ8＝α1α3
γ9＝α3α1
γ10＝α1β
γ11＝α2β
γ12＝α2β
γ13＝βα1
γ14＝βα2
γ15＝βα3
の条件を満たす１６個のγ行列は存在しませんし、存在しても、満たすことを確認する方法は無いかもしれません。すっきりしませんが、締め切らせて頂きます。再度、質問するかもしれません。

お礼日時：2006/08/26 15:37

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/08/05 23:30

大変重要なご質問です。

まず
　γiγj+γjγi=2δij　 (i,j=0,1,2,3)

を満たす4行4列の行列をとってきます。もちろんこれは通常のγ行列です。次にこれらのテンソル積によって次の16個の行列を定義します。

Γ0＝γ0×γ0
Γ1＝γ1×γ1
Γ2＝γ2×γ2
Γ3＝γ3×γ3
Γ4＝γ1×γ2
Γ5＝γ2×γ1
Γ6＝γ2×γ3
Γ7＝γ3×γ2
Γ8＝γ1×γ3
Γ9＝γ3×γ1
Γ10＝γ1×γ0
Γ11＝γ2×γ0
Γ12＝γ3×γ0
Γ13＝γ0×γ1
Γ14＝γ0×γ2
Γ15＝γ0×γ3

ここで×はテンソル積を表わします（通常は×のまわりに◯の記号で表わされるもの)。するとテンソル積の性質より
　ΓiΓj+ΓjΓi=2δij　 (i,j=0,1,…,15)

が成立します。これらはClifford代数と呼ばれ、現代数学および物理学で大変重要なものになっています。
http://arxiv.org/abs/hep-th/0506011