電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n = 1 から始めてだんだん n の値を大きくしていくと、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e(2.718281828…)の時らしいことに気づきました。

そこで質問なんですが、このことは、数学的に証明されているのでしょうか?(○○○の定理という名前がついているとか)

また、この結果の数値(1.444667861…)は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか?

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A 回答 (6件)

[電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e(2.718281828…)の時らしいことに気づきました。

]
電卓で調べて発見したのですか。すばらしいですね。
[また、この結果の数値(1.444667861…)は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか?]
きっと、何か大きな意味があるんじゃないか、とあなたの問いかけを見て、思いました。
[数学的に証明されているのでしょうか?]
証明は高校で学習する微分(理系の人だけ学ぶ進んだ微分)を用いると、比較的簡単にできます。
[(○○○の定理という名前がついているとか)]
定理名は無いと思います。これに定理名が付いているのを見たことがありません。

「証明」
X のX乗 を X^X と書きます。
さて、「n乗根」 というものは、「1/n乗」 と同じです。
たとえば、「8の3乗根」 は、「8の1/3乗」 と同じです。
試しに、この「8の1/3乗」を3乗してみると、
(8^(1/3))^3=8^(1/3 * 3)=8^1=8  (* は 「掛ける」の意味の記号です)
8になりますね。
「3乗すると8になる数」だから「8の3乗根」です。
こうして、「8の1/3乗」は「8の3乗根」ということがわかりました。

同様に、「n の n 乗根」 は、「n の1/n乗」 と同じです。

そこで、「xのx乗根」を y と置いて、
関数 y=x^(1/x) の最大値を微分法によって考えてみましょう。

「何々の何乗」といった式はそのままでは扱いにくいものです。
その扱いにくいものを扱いやすくする方法として、考え出されたのが対数です。
  y=x^(1/x)  の両辺の対数というものを作ると、
Log[e](y)=Log[e](x^(1/x))

この[ ]内の数を底(てい)と言います。
Log[e]( A * B ) の形の式は、
Aの上に乗っかっているBをLogの前に出して、B*Log[e](A)と積の形に直せる、
という法則があります。
これを使うと、Log[e](x^(1/x))は、x の上に乗っている(1/x)をLogの前に出して、
(1/x)*Log[e](x) と積形に直せます。すると、
   Log[e](y)=(1/x)*Log[e](x)   ---(@)     

ここで、両辺を微分します。
その際、知っておかなければいけないことが5つあります。
(1つ目) Y=Log[e](x) を普通に微分した答え(導関数と言います。)は、Y'=1/x です。
(2つ目) このY'をdY/dx と「分数のように」書くことがあります。
      だから、dY/dx= 1/x です。
      dY/dxは、Yをxの関数と見て微分したもの、という意味の記号です。      
      「分数のように」と書きましたが、実際「分数のように」計算している
       みたいなシーンが登場することもあります。「(5つ目)」に出てきます。

(3つ目) Yが2つの関数f(x)、g(x)の積になっているとき、つまり、
      Y=f(x)*g(x) のとき、これを微分した答え(導関数)は、
      Y’=f’(x)*g’(x) じゃなくて、
      Y’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
      で求まります。
      (@)の右辺は 1/x と Log[e](x) の積ですから、微分すると、
      (1/xの微分)*Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
      =(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
      となります。

(4つ目) Y=g(u) で u=f(x) のとき、
      Y=g(u)=g(f(x))
  と書けますね。
      xをYに対応させるこの関数を、fとgの合成関数と言います。
(5つ目)
dy/du=g'(u) ---yをuの関数と見て微分したときの答えがg'(u)
   du/dx=f'(u) ---uをxの関数と見て微分したときの答えがf'(u)
  のとき、y' つまり、 dy/dx は、dy/du とdu/dxの積で求まります。
  これを使って、左辺を微分します。
  z=Log[e](y) と置きます。(また、y=x^x です)
  dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx)
=(zをyで微分した答え)*(dy/dx)
=(1/y)* (dy/dx)

以上の補足で、(@)の両辺の微分が次のようになることがわかると思います。
(@)の両辺を微分すると、
(1/y)* (dy/dx)=(1/xの微分)* Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
=(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
=(1/x)^2*(-Log[e](x)) + (1/x)^2 *1
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))
この両辺にyを掛けて、導関数は
      dy/dx =(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))* y
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))*x^(1/x)
     関数y=x^(1/x)はxが0より大きい場合で考えますので、ここに出てきた(1/x)^2やx^(1/x)は0より大きい正の数です。
y’=0 とすると、 1-Log[e](x) =0 
     ∴Log[e](x) =1 ∴x=e^1=e
y’>0 とすると、 (1-Log[e](x))>0 ∴1>Log[e](x)
     ∴Log[e](x) <1 ∴x<e^(1)=e  
     ここで、x>0がもともとの条件としてありますので、 0<x<e

y’<0 とすると、 (1-Log[e](x))<0 ∴1<Log[e](x))
     ∴Log[e](x) >-1 ∴x>e^(1)=e
     
以上から、この関数y=x^(1/x)の増減は、
0<x<e のとき、y’>0 より、増加の状態、
x>e   のとき、y’<0 より、減少の状態、
となりますから、この関数は、
x=e のとき、最大値をとることがわかります。

xが0からeの間の数 のとき、
xが増えれば増えるほどx^(1/x)は大きくなり、
x=e のとき最大になり、
xがe より大きくなると、
xが増えるに従って、x^(1/x)はだんだんと減っていく、
ということがわかります。
最大値は、x=e のときで、
y=x^(1/x)=(e)^(1/e)=(eのe乗根)

2.718281828…の2.718281828…乗根が最大
って、何か深遠な意味があるかもしれませんね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
n=e の時に最大になることが、ようやく納得できたような気がします。
(最初、読んでいて目が回ってしまった(^^)のですが…)

お礼日時:2002/03/24 11:45

No.5の回答の中の式の一部に間違いが、残っていましたので、訂正致します。



「以上の補足で、(@)の両辺の微分が次のようになることがわかると思います。
(@)の両辺を微分すると、
(1/y)* (dy/dx)=(1/xの微分)*Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
=(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
=(1/x)^2*(-Log[e](x)) + (1/x)^2 *1 」

ここまではいいのですが、この次の行の式に間違いがあります。
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))
とありますが、正しくは、
=(1/x)^2*(1-Log[e](x))
で、Log[e](x)の前に付いている変なxを取り除いてください。

その2行下、3行下にも同じ式中に出てくるので、Log[e](x)の前に付いている不要なxを取り除いてください。実はこのxは、投稿前に計算の間違いに気付いて1度計算し直し、式を書き直した際に、取り除き損なったものです。

ついでに、対数がわかりにくい思いますので、
対数について、補足しておきます。

「対数」というものは、外国語のようなものと思ったらいい、と思います。
「2の3乗が8」 ということを、対数Logを用いた言葉に翻訳して言うと、
「Log[2](8)=3」というのです。
日本人なら「2の3乗が8」と言うところを、何か訳のわからん言葉を喋っている、黒船に乗ってやって来た目の青い連中が 「Log[2](8)=3」と言っている、そんなイメージでとらえたら解りやすいと思うのです。
だから、「3の2乗が9」だったら、「Log[3](9)=2」となるし、
「5の0乗が1」だったら、「Log[5](1)=0」となるわけです。

逆に、彼らの言葉で「Log[2](32)=5」と言っているのを、通訳が日本語に直したら、「2の5乗=32」となるわけで、変に聞こえるけど、言ってる内容は変じゃないわけです。ちんぷんかんぷんな言葉だけれど、わかる言葉に直す方法さえ、知っていれば、納得できてくるわけです。

さて、「2の3乗が8」 ということを、「Log[2](8)=3」なんて言うのは、めちゃくちゃですね。一見、滅茶苦茶に見えるけれど、実は彼らには我々とは違う考えがあって、そんな言い方をしているのです。実は、「Log[2](8)」とは、
「2の何乗が8になるか?」という問いの答え、という意味なのです。
「2の3乗が8になる」から、その答えは3。これを、彼らは、
「Log[2](8)=3」 と表現しているんです。何で素直に「2の3乗が8」って
言わないのか、って言っても、文化が違うからしようがありません。それに、彼らは、「何乗か?」ということに異様な程、関心を持っている人々なのです。
だから、常に、何の「何乗」が何になるか、を考えて、物を喋っているわけです。
そんな人たちにわかるように、話してあげるしかないわけです。

・・・なんていう、イマジネーションで、対数を捉えてみる試みに、付き合って戴きました。無理やり引き込んでごめんなさい。それでは。

(蛇足)
それから、これはこうした方が、わかりやすいかも・・・、という観点から導入したイメージであり、筆者の説明上の工夫に過ぎません。青い目、とか、やつらとかいう言葉を使っても、筆者は、西洋人に対して、蔑視等の気持ちはありませんことを、お断りしておきます。また、実際の西洋人が上で書いたような思考をしている、と信じ込む人はないと思いますが、念のため、「これは、理解するための、単なる想像であって事実ではない」ことを明記しておきます。
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この回答へのお礼

わざわざ補足ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/24 11:46

蛇足に蛇足、しかも、他人からの蛇足になってしまいますが・・・



>ついでに,x^x は x=1/e で最小になります.
>お暇でしたらどうぞ.

y=x^x^x^・・・
は、確か、[e^(-e),e^(1/e)]で定義されるそうです。(オイラー)
証明はともかく、説明なら割と簡単にできます。
ヒントは、y=x^x^x^・・・→y=x^y
驚くべきは、e^(1/e)は1より大きいことです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/24 11:41

たいしたことじゃないのですが^^



> ところで、この式を
> -(1/n)log(1/n)
> と変形すると、情報理論でお目にかかるものになります。
> 参考URLの「エントロピーとは?」というところを見て下さい。
> n=eの時の値に意味があるかどうかも、私は知りません。
このn=eのとき最大になる
「eにちかい整数は2と3。どちらかといえば、3の方が近いですが、2進数であらわすというのは結構、合理的と言えます。」
というような記述は見かけたことがあります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
エントロピーの件も、難しくて私には理解できませんでしたが、奥が深いのですね。

お礼日時:2002/03/24 11:40

蛇足です.


○○○の定理という名前なないと思います.

有名な数学者のガウスはこういうことが好きだったようです.
もちろん電卓なんてないころのお話.
e^π とかそんなものを十桁,二十桁,手で計算したようです.
単に遊びではなくて,楕円関数などの関係式を得るヒントにもなっていたようです.
高木貞治の「近世数学史談」にはそういうことが書いてあります.
(今手元にないので,細かいところは記憶違いがあるかも知れません)

ついでに,x^x は x=1/e で最小になります.
お暇でしたらどうぞ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり名前は無いのですか。何か深遠な意味があるのかと思ったもので…

お礼日時:2002/03/24 11:38

対数をとってみましょう。


(1/n)log(n)
となりますね。
n=eの時に最大となるのは、微分してみればすぐ分かります。
名前のある定理なのかどうかは私は知りません。

ところで、この式を
-(1/n)log(1/n)
と変形すると、情報理論でお目にかかるものになります。
参考URLの「エントロピーとは?」というところを見て下さい。
n=eの時の値に意味があるかどうかも、私は知りません。

参考URL:http://prius.hc.t.u-tokyo.ac.jp/~naemura/ee-facu …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
数学は昔から苦手なので話が難しかったですが、n=e の時に最大となることは証明できるのですね。

お礼日時:2002/03/24 11:37

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