電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n = 1 から始めてだんだん n の値を大きくしていくと、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e(2.718281828…)の時らしいことに気づきました。

そこで質問なんですが、このことは、数学的に証明されているのでしょうか?(○○○の定理という名前がついているとか)

また、この結果の数値(1.444667861…)は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか?

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A 回答 (6件)

[電卓と戯れていて興味を持ったのですが、n の n 乗根の値が最大になるのは、n = e(2.718281828…)の時らしいことに気づきました。

]
電卓で調べて発見したのですか。すばらしいですね。
[また、この結果の数値(1.444667861…)は、自然科学的にみて何か意味のある数値なんでしょうか?]
きっと、何か大きな意味があるんじゃないか、とあなたの問いかけを見て、思いました。
[数学的に証明されているのでしょうか?]
証明は高校で学習する微分(理系の人だけ学ぶ進んだ微分)を用いると、比較的簡単にできます。
[(○○○の定理という名前がついているとか)]
定理名は無いと思います。これに定理名が付いているのを見たことがありません。

「証明」
X のX乗 を X^X と書きます。
さて、「n乗根」 というものは、「1/n乗」 と同じです。
たとえば、「8の3乗根」 は、「8の1/3乗」 と同じです。
試しに、この「8の1/3乗」を3乗してみると、
(8^(1/3))^3=8^(1/3 * 3)=8^1=8  (* は 「掛ける」の意味の記号です)
8になりますね。
「3乗すると8になる数」だから「8の3乗根」です。
こうして、「8の1/3乗」は「8の3乗根」ということがわかりました。

同様に、「n の n 乗根」 は、「n の1/n乗」 と同じです。

そこで、「xのx乗根」を y と置いて、
関数 y=x^(1/x) の最大値を微分法によって考えてみましょう。

「何々の何乗」といった式はそのままでは扱いにくいものです。
その扱いにくいものを扱いやすくする方法として、考え出されたのが対数です。
  y=x^(1/x)  の両辺の対数というものを作ると、
Log[e](y)=Log[e](x^(1/x))

この[ ]内の数を底(てい)と言います。
Log[e]( A * B ) の形の式は、
Aの上に乗っかっているBをLogの前に出して、B*Log[e](A)と積の形に直せる、
という法則があります。
これを使うと、Log[e](x^(1/x))は、x の上に乗っている(1/x)をLogの前に出して、
(1/x)*Log[e](x) と積形に直せます。すると、
   Log[e](y)=(1/x)*Log[e](x)   ---(@)     

ここで、両辺を微分します。
その際、知っておかなければいけないことが5つあります。
(1つ目) Y=Log[e](x) を普通に微分した答え(導関数と言います。)は、Y'=1/x です。
(2つ目) このY'をdY/dx と「分数のように」書くことがあります。
      だから、dY/dx= 1/x です。
      dY/dxは、Yをxの関数と見て微分したもの、という意味の記号です。      
      「分数のように」と書きましたが、実際「分数のように」計算している
       みたいなシーンが登場することもあります。「(5つ目)」に出てきます。

(3つ目) Yが2つの関数f(x)、g(x)の積になっているとき、つまり、
      Y=f(x)*g(x) のとき、これを微分した答え(導関数)は、
      Y’=f’(x)*g’(x) じゃなくて、
      Y’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
      で求まります。
      (@)の右辺は 1/x と Log[e](x) の積ですから、微分すると、
      (1/xの微分)*Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
      =(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
      となります。

(4つ目) Y=g(u) で u=f(x) のとき、
      Y=g(u)=g(f(x))
  と書けますね。
      xをYに対応させるこの関数を、fとgの合成関数と言います。
(5つ目)
dy/du=g'(u) ---yをuの関数と見て微分したときの答えがg'(u)
   du/dx=f'(u) ---uをxの関数と見て微分したときの答えがf'(u)
  のとき、y' つまり、 dy/dx は、dy/du とdu/dxの積で求まります。
  これを使って、左辺を微分します。
  z=Log[e](y) と置きます。(また、y=x^x です)
  dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx)
=(zをyで微分した答え)*(dy/dx)
=(1/y)* (dy/dx)

以上の補足で、(@)の両辺の微分が次のようになることがわかると思います。
(@)の両辺を微分すると、
(1/y)* (dy/dx)=(1/xの微分)* Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
=(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
=(1/x)^2*(-Log[e](x)) + (1/x)^2 *1
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))
この両辺にyを掛けて、導関数は
      dy/dx =(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))* y
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))*x^(1/x)
     関数y=x^(1/x)はxが0より大きい場合で考えますので、ここに出てきた(1/x)^2やx^(1/x)は0より大きい正の数です。
y’=0 とすると、 1-Log[e](x) =0 
     ∴Log[e](x) =1 ∴x=e^1=e
y’>0 とすると、 (1-Log[e](x))>0 ∴1>Log[e](x)
     ∴Log[e](x) <1 ∴x<e^(1)=e  
     ここで、x>0がもともとの条件としてありますので、 0<x<e

y’<0 とすると、 (1-Log[e](x))<0 ∴1<Log[e](x))
     ∴Log[e](x) >-1 ∴x>e^(1)=e
     
以上から、この関数y=x^(1/x)の増減は、
0<x<e のとき、y’>0 より、増加の状態、
x>e   のとき、y’<0 より、減少の状態、
となりますから、この関数は、
x=e のとき、最大値をとることがわかります。

xが0からeの間の数 のとき、
xが増えれば増えるほどx^(1/x)は大きくなり、
x=e のとき最大になり、
xがe より大きくなると、
xが増えるに従って、x^(1/x)はだんだんと減っていく、
ということがわかります。
最大値は、x=e のときで、
y=x^(1/x)=(e)^(1/e)=(eのe乗根)

2.718281828…の2.718281828…乗根が最大
って、何か深遠な意味があるかもしれませんね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
n=e の時に最大になることが、ようやく納得できたような気がします。
(最初、読んでいて目が回ってしまった(^^)のですが…)

お礼日時:2002/03/24 11:45

No.5の回答の中の式の一部に間違いが、残っていましたので、訂正致します。



「以上の補足で、(@)の両辺の微分が次のようになることがわかると思います。
(@)の両辺を微分すると、
(1/y)* (dy/dx)=(1/xの微分)*Log[e](x)+(1/x)*(Log[e](x)の微分)
=(-1/x^2)*Log[e](x) +(1/x) *(1/x)
=(1/x)^2*(-Log[e](x)) + (1/x)^2 *1 」

ここまではいいのですが、この次の行の式に間違いがあります。
=(1/x)^2*(1-X*Log[e](x))
とありますが、正しくは、
=(1/x)^2*(1-Log[e](x))
で、Log[e](x)の前に付いている変なxを取り除いてください。

その2行下、3行下にも同じ式中に出てくるので、Log[e](x)の前に付いている不要なxを取り除いてください。実はこのxは、投稿前に計算の間違いに気付いて1度計算し直し、式を書き直した際に、取り除き損なったものです。

ついでに、対数がわかりにくい思いますので、
対数について、補足しておきます。

「対数」というものは、外国語のようなものと思ったらいい、と思います。
「2の3乗が8」 ということを、対数Logを用いた言葉に翻訳して言うと、
「Log[2](8)=3」というのです。
日本人なら「2の3乗が8」と言うところを、何か訳のわからん言葉を喋っている、黒船に乗ってやって来た目の青い連中が 「Log[2](8)=3」と言っている、そんなイメージでとらえたら解りやすいと思うのです。
だから、「3の2乗が9」だったら、「Log[3](9)=2」となるし、
「5の0乗が1」だったら、「Log[5](1)=0」となるわけです。

逆に、彼らの言葉で「Log[2](32)=5」と言っているのを、通訳が日本語に直したら、「2の5乗=32」となるわけで、変に聞こえるけど、言ってる内容は変じゃないわけです。ちんぷんかんぷんな言葉だけれど、わかる言葉に直す方法さえ、知っていれば、納得できてくるわけです。

さて、「2の3乗が8」 ということを、「Log[2](8)=3」なんて言うのは、めちゃくちゃですね。一見、滅茶苦茶に見えるけれど、実は彼らには我々とは違う考えがあって、そんな言い方をしているのです。実は、「Log[2](8)」とは、
「2の何乗が8になるか?」という問いの答え、という意味なのです。
「2の3乗が8になる」から、その答えは3。これを、彼らは、
「Log[2](8)=3」 と表現しているんです。何で素直に「2の3乗が8」って
言わないのか、って言っても、文化が違うからしようがありません。それに、彼らは、「何乗か?」ということに異様な程、関心を持っている人々なのです。
だから、常に、何の「何乗」が何になるか、を考えて、物を喋っているわけです。
そんな人たちにわかるように、話してあげるしかないわけです。

・・・なんていう、イマジネーションで、対数を捉えてみる試みに、付き合って戴きました。無理やり引き込んでごめんなさい。それでは。

(蛇足)
それから、これはこうした方が、わかりやすいかも・・・、という観点から導入したイメージであり、筆者の説明上の工夫に過ぎません。青い目、とか、やつらとかいう言葉を使っても、筆者は、西洋人に対して、蔑視等の気持ちはありませんことを、お断りしておきます。また、実際の西洋人が上で書いたような思考をしている、と信じ込む人はないと思いますが、念のため、「これは、理解するための、単なる想像であって事実ではない」ことを明記しておきます。
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この回答へのお礼

わざわざ補足ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/24 11:46

蛇足に蛇足、しかも、他人からの蛇足になってしまいますが・・・



>ついでに,x^x は x=1/e で最小になります.
>お暇でしたらどうぞ.

y=x^x^x^・・・
は、確か、[e^(-e),e^(1/e)]で定義されるそうです。(オイラー)
証明はともかく、説明なら割と簡単にできます。
ヒントは、y=x^x^x^・・・→y=x^y
驚くべきは、e^(1/e)は1より大きいことです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/24 11:41

たいしたことじゃないのですが^^



> ところで、この式を
> -(1/n)log(1/n)
> と変形すると、情報理論でお目にかかるものになります。
> 参考URLの「エントロピーとは?」というところを見て下さい。
> n=eの時の値に意味があるかどうかも、私は知りません。
このn=eのとき最大になる
「eにちかい整数は2と3。どちらかといえば、3の方が近いですが、2進数であらわすというのは結構、合理的と言えます。」
というような記述は見かけたことがあります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
エントロピーの件も、難しくて私には理解できませんでしたが、奥が深いのですね。

お礼日時:2002/03/24 11:40

蛇足です.


○○○の定理という名前なないと思います.

有名な数学者のガウスはこういうことが好きだったようです.
もちろん電卓なんてないころのお話.
e^π とかそんなものを十桁,二十桁,手で計算したようです.
単に遊びではなくて,楕円関数などの関係式を得るヒントにもなっていたようです.
高木貞治の「近世数学史談」にはそういうことが書いてあります.
(今手元にないので,細かいところは記憶違いがあるかも知れません)

ついでに,x^x は x=1/e で最小になります.
お暇でしたらどうぞ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり名前は無いのですか。何か深遠な意味があるのかと思ったもので…

お礼日時:2002/03/24 11:38

対数をとってみましょう。


(1/n)log(n)
となりますね。
n=eの時に最大となるのは、微分してみればすぐ分かります。
名前のある定理なのかどうかは私は知りません。

ところで、この式を
-(1/n)log(1/n)
と変形すると、情報理論でお目にかかるものになります。
参考URLの「エントロピーとは?」というところを見て下さい。
n=eの時の値に意味があるかどうかも、私は知りません。

参考URL:http://prius.hc.t.u-tokyo.ac.jp/~naemura/ee-facu …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
数学は昔から苦手なので話が難しかったですが、n=e の時に最大となることは証明できるのですね。

お礼日時:2002/03/24 11:37

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参考URL:http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%B5%F0%BA%AC&kind=jn&mode=0

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(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
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までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

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よく、アソコのサイズは特に気にしない。その相手であることが大事と聞きます。
一方で、巨根の男性とのセックスは苦痛という意見から、小さいよりは大きい方が良いとする方も見ます。
一慨にどうこう言えませんが、意見として参考にしたく、質問致しました。
お手数ですが、ご意見・ご回答お願いします。

Aベストアンサー

巨根の男性と、2年弱お付き合いしています。

男性が気にされているほど、女性はお付き合いするにあたって、ペニスのサイズの大小にはこだわりがないと思います。
質問者様のおっしゃるように、「その相手であることが大事」そのとおりです。

ただ、やはり最初に見たときは、驚きを隠せないかもしれないので、リアクションに対しての覚悟はしておいたほうがいいかもしれません。

私は初めて彼のものを見たとき、正直すごくびっくりしたのと、男性はみな「大きい!」と言われると喜ぶと思っていたので、そう言ったのですが、大きすぎることをコンプレックスに思っていた彼を傷つけてしまったようでした。
大きさに対しては、嬉しいも、イヤもありません。

ただ、正直「入るのか!?」という心配が、一瞬あたまをよぎりました。
でも、私は経産婦なので、大丈夫だと思うようにして、下半身の力を抜きました。
大きいことを気にしている彼は、気遣ってゆっくり入れてくれたので、普通サイズの人より、嬉しかったです。

初回は、多少痛みがあったような気もしますが、2回目以降は痛みもなく、奥のすごくいい部分にガンガン当たって、イキまくって、意識が失いそうなくらい良くなりました。
経産婦ですので、広がりやすかったのもあるかもしれませんが。
たとえば、愛情を別にして、セックスだけの善し悪しを評価するとしても、大きさはさほど問題でなく、硬さや持続力など、女性と合うかどうかだと思います。

私の濡れ方が少ないとき、普通サイズの男性と比べると、摩擦で痛くなりやすいというのは、あります。そういうときは、ローションを使っています。

愛情でセックスしているので、苦痛というのは、ないです。

摩擦で痛くなりかけるときもあるけれど、ローションを使えば解決するし、なんら問題とは思っていません。

私の場合、彼のセックスがすごく良くて、他の男性のセックスでは満足できなくなりました。これは、サイズとは関係がないかもしれませんね(汗)
そういうこともあるので、質問者様、大きさを気にしないでくださいね。

私は、なにげない、ふとしたときに、彼のペニスが大きいことを、自慢に思うこともあります(笑)誰にも言えませんが、心の奥底でこっそりピースしてます。自分の所有物であるペニスが大きくて、世の中のほかの女性に対しての、勝手な優越感みたいなもの?へんですね。

巨根の男性と、2年弱お付き合いしています。

男性が気にされているほど、女性はお付き合いするにあたって、ペニスのサイズの大小にはこだわりがないと思います。
質問者様のおっしゃるように、「その相手であることが大事」そのとおりです。

ただ、やはり最初に見たときは、驚きを隠せないかもしれないので、リアクションに対しての覚悟はしておいたほうがいいかもしれません。

私は初めて彼のものを見たとき、正直すごくびっくりしたのと、男性はみな「大きい!」と言われると喜ぶと思っていたので、そう言っ...続きを読む

Q何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む


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