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No.1
- 回答日時:
ボレル集合体:
位相空間X上の開集合全体から構成される
完全加法族のこと
この定義ですよね.
そしたら,
R^n上のボレル集合族は
R^n上のルベーク可測集合全体の部分集合
という性質があるので
ルベーク可測ではない集合があれば
それはボレル集合族の元ではないことになります.
以下,可測=ルベーク可測とします.
#実際のところは,もうちょっと弱くて
#多分,平行移動で普遍であればよいはずだけども
それじゃ非可測な集合の具体例は何だ?となりますが
これは Vitaliの定理とかいうのを
探してみてください.
非可測集合を具体的にこれだと示すことは
実は非現実的です.
なぜかというと・・・非可測集合の構成そのものに
選択公理とかツォルンの補題が顔を出すんです
たしか,選択公理なしで非可測集合は
構成できないよってというようなことが
証明されてるはずです.
このあたり,
あっという間にゲーデルさんがでてくる話に
到達するようですよ.
ここまで話を大きくしなくても
ボレルと可測の間のものを探せばいいじゃんと
なるかもしれませんが。。。
実はボレルと可測の間を探すのも
大差がない話だったような気がします.
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